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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数学问点讲解同学编号：年级： 九年级课时数： 2同学姓名：辅导科目：数学学科老师：课题授课日期准时段教学目的教学内容【学问点梳理归纳】1. 定义：一般地,假如yax2bxc a,b ,c是常数,a0,那么 y 叫做 x 的二次函数 . k；2. 二次函数yax2的性质（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. （2）函数yax2的图像与 a 的符号关系 . 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3. 二次函数y
2、ax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 . 4. 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式,其中hb,k4acb2. 2a4 a5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式： yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2yax2bxc. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0时,开口向上；当a0时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同. 平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh. 特殊地, y 轴记作直线x0. 7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口
3、方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y2 axbxcaxb24 acab2,顶点是（b4,acab2）,对称轴是直线xb. 2 a42a42a（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线xh. 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的 第 1 页,共 8 页（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. b0（即用配方法求得的顶点,再
4、用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9. 抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为 y 轴；b0（即 a 、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧； 2 aaaa 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 . （3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：c0,抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0
5、, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0. a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴顶点坐标yax2当a0yax2开口yaxh2当a0时开口yaxh2yax2bxc11. 二次函数的解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立条件,依据不同条件挑选不同的设法：（1）设 一般式 ：y=ax 2+bx+c（a 0）如已知条件是图像上的三个点,就设所求二次函数为 y=ax 2+bx+c,将已知条件代入,求出 a,b, c 的值；（2）设 交点式 ：y=a（x 1x）（
6、x 2x）（a 0）如已知二次函数图像与 x 轴的两个交点的坐标为（1x ,0）,（x ,0）,设所求二次函数为y=a（x x 1）（x x 2）,将第三点（ m,n）的坐标（其中 m、n 为已知数）或其他已知条件代入,求出待定系数a,最终将解析式化为一般形式；（3）设 顶点式 ：y=a（xh）2 +k（a 0）,设所求二次函数为第 2 页,共 8 页如已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y=a（xh）2 +k（a 0）,将已知条件代入,求出待定系数,最终将解析式化为一般形式；12.
7、 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax2hbxc得交点为 0, c . ax2bxc0与抛物线yax2bxc有且只有一个交点 h ,ah2bhc. （2）与 y 轴平行的直线x（3）抛物线与x 轴的交点c的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元二次方程二次函数yax2bx的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 有一个交点（顶点在0抛物线与 x 轴相交；x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 . （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、
8、2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . （ 5 ） 一 次 函 数 y kx n k 0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 y ax 2bx c a 0 的 图 像 G 的 交 点 , 由 方 程 组y kx n2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解y ax bx c时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点 . （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1,B x 2,由
9、于 x 、x 2是方程 ax 2bx c 0 的两个x 1 x 2 b , x 1 x 2 ca a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24 x 1 x 2 b 4 c b 4 aca a a a题型一：二次函数的定义相关例 1 以下函数中,是二次函数的是 . y x 2 4 x 1； y 2x 2； y 2 x 24 x； y 3 x； y 2x 1； y mx 2 nx p； y 4； y 5 x . xk 2 3 k 2例 2 假如函数 y=k-3 x +kx+1 是二次函数 , 就 k 的值肯定是 _. 例 3 二次函数 y=x 2+2x7 的函数值是 8,那
10、么对应的 x 的值是（）A3 B 5 C 3 和 5 D 3 和 5 . 【巩固练习】1已知二次函数y3x25x2,当x1时 y2 D x. y210. 第 3 页,共 8 页2以下各式中,2y 是 x 的二次函数的是 Axyx21Bx2y20Cy2ax3如ym2m xm 22m1是二次函数,就m= . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4如函数yym22m8 x24x5是关于 x 的二次函数,就m的取值范畴为 . 5已知函数m3 m x271 是二次函数,就m . 题型二：一般式化为顶点式例 4 分别运用公式法和配方法将二次函数y=x2
11、4x+ 6 化为 y=x h2+k 的形式： y=_. 【巩固练习】分别用配方法和公式法把二次函数y=x24x+5 化成 y=x h2+k 的形式 .题型三：二次函数的性质例 5 抛物线y1x23x2与yax2的外形相同,就a= ）y . 3例 6 二次函数yax2bxc的图象, 如下列图, 依据图象可得a、b、c 与 0 的大小关系是 （ A a 0,b0,c0 Ba0,b0,c0Ca0,b 0,c0 时,开口向 _,具有性质：当x.0.时, .函数值 y.随 x.的增大而 _,当 x0 时,函数值y 随 x 的增大而 _,当 x=0.时,.函数取最 _.值为 _当 a0 时,函数值 y 随
12、 x 的增大而 _,.当 x” ,“ 0 B a0； b0；b24 ac0；其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个8抛物线y1x2,y5x2,y8x2共有的性质是（）4A开口方向相同 B 开口大小相同C当 x0 时, y 随 x 的增大而增大9抛物线y1 x 22不具有的性质是（）A开口向下； B对称轴是y 轴；C当 x0 时, y 随 x 的增大而减小； D 函数有最小值. 10如图,当ab0 时,函数 y=ax2与函数 y=bx+a 的图象大致是（）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11. 已知二次函数yax2bxc的图
13、象如下列图,就一次函数的图象不经过（）A.第一象限 B. 其次象限 C. 第三象限 D. 第四象限12. 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如下列图,如点 A（1,y 1）、 B（2,y 2）是它图象上的两点,就 y1 与 y 2的大小关系是（） Ay 1 y 2 By 1 y 2 Cy 1 y 2 D不能确定13. 在平面直角坐标系中,先将抛物线 y x 2x 2 关于 x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）Ay x 2x 2 By x 2x 2 C y x 2x 2 Dy x 2x 2二、解答题1 已知一次函ym2x
14、2m3xm2的图象过点（ 0,5）求 m的值,并写出二次函数的关系式；求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴2 2022年厦门湖里模拟 一次函数 yx3 的图象与x 轴, y 轴分别交于点A,B一个二次函数yx 2bxc 的图象经过点A,B（1）求点 A,B 的坐标；（2）求二次函数的解析式及它的最小值1. 已知二次函数y1x22x5. （2）求出抛物线与x 轴、 y 轴交点坐标；22（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；2. （09 浙江）如图抛物线yax25x4a 与轴相交于点、,且过点（,）1 求 a 的值和该抛物线顶点 P的坐标2 请你设计一种平移的方法, 使平移后抛物线的顶点落在其次象限,并写出平移 后抛物线的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知抛物线yx2bxc的部分图象如下列图.1 求 b、c 的值； 2求 y 的最大值； 3 写出当y0时, x 的取值范畴 . y 5 4 32 1-2-1-1O123x-2名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页