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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果习题二（ A ）1同时抛掷 3 枚硬币,以 X 表示显现正面的枚数,求 X 的分布律；1 3 3 1解：P X 0 , P X 1 , P X 2 , P X 38 8 8 8 2. 一口袋中有 6 个球,依次标有数字 1,2,2,2,3,3 ,从口袋中任取一球,设随机变量 X 为取到的球上标有的数字,求 X 的分布律以及分布函数 . 解：P X 1 16P X 2 362P X 360, x 11 , 1 x 2F x 64 ,2 x 361,3 x3. 已知随机变量 X 的分布函数为1, x 02F x x ,0 x
2、2,41,2 x求概率 P 1 X 2解：P 1 X 2 F 2 F 1 1 1 34 40, x 0;4. 设随机变量 X 的分布函数为 F x A sin x , 0 x 2; 求：1, x 2.（1） A 的值；名师归纳总结 （2）求P |X|6. 2处右连续,所以F2F20, 即第 1 页,共 10 页解：由于F x 在点x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Asin2多练出技巧巧思出硕果1,A1；P X6P 6X6F6F6P X61001225. 设离散型随机变量X 的分布律为 1P Xia2 3 ,11,2,3;2P Xi a 2 3 , i
3、i1,2,分别求出上述各式中的a . 解：（1）1a2a4a8,a2739273822a,a1 2 1a 2 232 2 33a1233236. 已知连续型随机变量X 的分布函数为0;0,xF x kxb,0x,1,x.求常数 k 和 b ；解： 0b , 1kb ,k1；1x,7. 已知连续型随机变量X 的概率密度为f x 1kx2求常数 k 和概率P 1X1. 解：11k2dxk2,k2xP 1X111112dx11x228. 已知连续型随机变量X 的概率密度为x,0xf x 2x ,1x0,其他求 X 的分布函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资
4、料 - - - - - - - - - 多练出技巧0,x巧思出硕果0解：F x xf t dt2 xx 22,0x122x1,1x21,2x9. 连续不断地掷一枚匀称的硬币,于 0.99. 问至少掷多少次才能使正面至少显现一次的概率不少解：1 1 n0.99,1 n0.01,lg 1 nlg 0.012 2 2lg 0.01n 1 7lg 210 . 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量 X 听从泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有两辆车通过的概率 . 解：P X 0 P X 1 , e e,1 ；1P X 2 1 P X 0 P X 1 1 2 e
5、0.264211. 设每次射击命中目标的概率为0.001 ,共射击 5000 次,如 X 表示命中目标的次数；（1）求随机变量X 的分布律；k1np50.0330.9596（2）运算至少有两次命中目标的概率. 解：（1）P Xkk C 5000k 50000.001 0.999（2）P X21P X0P X1,P X21P X0P X10.006712. 设随机变量X 的密度函数为f x Ae| |,x. （1）求常数 A ；（2）求 X 的分布函数；名师归纳总结 （3）求P 0X1. x e dx0x e dx 2A,A,10第 3 页,共 10 页解：（ 1）1f x dxA 02（2）F
6、 x xf t dt0t edtxt edtx e,x0x221exxetdt（3）P 0X11ex2022dx1 21022e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 证明：函数f x 多练出技巧巧思出硕果X 的密度x e cx 22 ,x0;（ c 为正常数）是某个随机变量0,x0.函数 . 所以,证明：由于在, 内,f x 0,且,1,求：2f x dx0x ecx 2dxex2c2c01ef x 是某随机变量的概率密度；20000x014. 设随机变量X 的概率密度为f x x100 30 ,其他（1） X 的分布函数；（2）求P X200.
7、, f x ke3 ,x0,解：（ 1）F x xf t dt10,x0,x010000x1002（2）P X2001F2001. 915. 某种显像管的寿命X （单位：千小时）的概率密度为0,x0.（1）求常数 k 的值；名师归纳总结 （2）求寿命小于1 千小时的概率 . k,k3P 1X2. ,求常第 4 页,共 10 页解：（1）1f x dx0ke3x dx3（2）p x113 e3x dx1e3；016. 设XN0,1,P |X| 1.96,（1）求P X1.96,P X1.96（2）已知P Xa 0.7019,P |X|b 0.9242,P Xc0.2981数a b c . 0.9
8、75解： （1）P X1.961.96- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P X1.96多练出技巧巧思出硕果11.960.025P |X| 1.961.96 1.960.9750.0250.951,求随P 1X22 10.977210.84130.8185（2）查表知a0.53,c0.53,P |X|b b2 10.92421.9242 2b 1.780.9621,17. 设XN8,0.5 2,求：（1）P7.5X10；（2）P|X8| 1；（3）P|X9 | 0.5. 解： （1）P 7.5X101087.580.84130.50.50,X（2）P |
9、X8 | 1110.95440.50.5（3）P |X9 | 0.5310.157418. 设随机变量X 听从参数为1 的泊松分布,记随机变量Y1,X1.机变量 Y 的分布律 . 解：P Y0P X0P X0P X120.36790.7358P Y11P Y010.73580.2642. 19. 设随机变量 X 的概率密度为名师归纳总结 f x 2 ,0x1,3,0.25,第 5 页,共 10 页0,其他对 X 独立重复观看三次,求至少有两次观看值不大于0.5 的概率 . 解：用 Y 表示观看值不大于0.5 的次数,p0.25,就YBP Y2P Y2P Y32 3 0.250.753 0.25
10、0.1563- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20. 已知电源电压服多练出技巧N巧思出硕果X200 V , X 听从正态分布2 220,25 , 在电源电压处于200 VX240 V ,X240 V三 种 情 况 下 , 某 电 子 元 件 损 坏 的 概 率 分 别 为0.1 , 0.01 , 0.2 ；（1）求该电子元件损坏的概率；10 或大（2）已知该电子元件损坏,求电压在200 V 240 V 的概率解：P X200 0.80.2119P 200X2400.8 0.80.5762P X24010.80.2119 1 0.1 0.21190.01
11、0.57620.20.21190.0693 2 0.010.57620.0830.069321. 假设自动生产线加工的某种零件的内径听从正态分布N11,1,内径小于于 12 为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品就亏损,如销售利润 Y 与销售零件的内径 X 有以下关系1, X 10,Y 20, 10 X 12,5, X 12.求 Y 的分布律 . 名师归纳总结 求Y解：P Y1P X10 10.158734,第 6 页,共 10 页P Y20P 10X121 10.6826P Y5P X12110.158722. 已知随机变量X 的分布律为3210120.050.100
12、.250.150.050.200.150.05X2的分布律；解：P Y00.15P Y10.3P Y40.3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P Y90.2多练出技巧巧思出硕果P Y160.05YsinX 的概率密度 . 23. 设随机变量 X 听从 2,2上的匀称分布,求解：fX 1 ,2x2sin e2X,求随机变量 Y 的密0,其他F Y = P Yy P sinXy P X0,y11y2, 1x1,11, x1fY 1y2, 1x110,其他24. 设随机变量 X 听从参数为2 的指数分布,令Y1度函数 . 当 0解：fX 2 e2x,x00,
13、yy ； =0；当y1时,F Y =1；0,xF Y = P Yy P 1e2X由于01e2X1,所以当0时,F Yy1时,y P X1 2ln1yF Y = P YyP 1e2X01 ln1 2y2e2xdx,于是名师归纳总结 f Y F Y 1,0y1YeX的密度函数 . 第 7 页,共 10 页0, 其他25. 设随机变量XN ,2,求随机变量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：Xf 1e多练出技巧巧思出硕果x222,2当F Y = P Yy X P ey lnyfX x dx,y0时,F y =0；当y0时,F Y = P e Xy P Xl
14、n 于是,fY F Y 21yelny2y022,0,其他（ B ）1. 某种电子元件的寿命X （单位：小时）的概率密度为f x 1ex,x0,1000 小时的概率；20002000（1）求该电子元件能正常使用0,x01000 小时以上的概率；（2）已知该电子元件已经使用了1000 小时,求它仍能只用1解：（1）P X10001000f x dxe2；y （2）P X2000X1000P X2000e1；2P X1000 2. 设连续型随机变量X 的密度函数f x 是偶函数,证明：（1）X 和 X 有相同的分布；（2）FaP X1 aa 2 0 f x dx. X ,就 Y 的分布函数证明：（
15、 1）令 YF Y P Yy P Xy 1P X1yXf x dx,从而 Y 的概率密度为fY yfX x dx fXyfX y,所以 Y 与 X 具有相同的概率密度；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）FaP Xa 多练出技巧巧思出硕果t ,就afX x dx,令xFaP Xa aafX x dxaafXt dtafX t dt1afX t dtfX t dta1afX t dt2afX t dt01Fa 2fX x dx,0所以Fa1a 0f x dx；x,23. 设随机变量 X 的概率密度为112 x,f
16、 x 求（1）随机变量YX2的概率密度；P yXy yfX x dx,（2）随机变量ZarctanX 的概率密度；解： （ 1）F Y P Yy P X2y 当y0时,F Y 0,当y0时,F Y P Yy P X2y y进而fY F Y fXy21fXy21yyXfy1y ；yy1综上所述,（2）当z2fY 0,y1y,y0z ；tan FX z ,1y0时,F Z P Zz P arctanXP X于是 Z 的概率密度为名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - fZ fX多练出技巧巧思出硕果1；2 tan seczse
17、c 2z12 tanz 当z22时,F Z P Zz P arctanXz 10；当z时,F Z P Zz P arctanXz ,于是（fZ 1 ,y2；N t 听从参数为t0,其他4. 设一大型设备在任何长度为t的时间间隔内发生故障的次数8 小时的概率；0 为常数）的泊松分布；1 求相继两次故障之间的时间间隔T 的概率密度；（2）求在设备已经无故障工作8 小时的情形下再无故障工作解：P N t k tket,k0,1,2,；k.0；当t0时,（1） T 的分布函数为F T P Tt ,当t0时,F T F t P Tt 1P Tt1P N t 01et,于是 T 的概率密度为名师归纳总结 （2）P T16f T et,t0；P T16e16e8；第 10 页,共 10 页0,t0T8P T161P T81P T8e8- - - - - - -