《2022年概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案.docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 习题二1. 设随机变量 X 的分布函数为试求 X 的概率分布列及P X1Fx 0 ,Px,0,1P X3 . 14 ,0x1,31x,3,P X12 ,3x6 ,1x6 .,1 ,X3 解 : 随机变量 X 的分布列为就X013611；. b7p141121612P X1P 01；P X1P 0P 1F143且P X3 P 6 1；P X3P 3 P 6 1226232. 设离散型随机变量X 的分布函数为x,10 ,Fx a ,2a ,1x,11x2 ,13 ab ,x.2P X2 12,试求 a , b和 X 的分布列 . 解：由分布函数的定
2、义可知ab120 ab2又由于P X2 12,就故P X2 P X2 P X2 F 2 Fa2 a326a16,b56. 3. 设随机变量 X 的分布函数为名师归纳总结 0,x1 ,第 1 页,共 12 页Fxlnx ,1xe ,1xe .试求P X2 5.,P 0X5.3 ,P .15X2 5. . 解 : 依据题意 X 为连续型随机变量,就P X.25F 2 5.0 F .25 ln5ln2,P 0X5.3 F.35F00 F.35 F0 1,P 5.1X2 5. F5.20 F1 5.0 F .25 F.15 ln5ln3；4. 如PX1x1,PXx21,其中x 1x2,试求Px 1Xx
3、2. 解 : Px 1Xx 2PXx 2PXx 1PXx 21PXx 11111. 5. 一只口袋中有5 个球,编号分别为1,2,3, 4,5.从中任意取3 个,以 X 表示取出的3 个球中的最大号码. 1 求 X 的分布列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 写出 X 的分布函数,并作图 . 解： 1依据题意 X 表示取出球中最大的号码,就其可能取值为3,4,5,故 其分布列为p kPXk2 C k1 1 C 1,k3 ,4 ,5. C 5 3即X133465p1010102 由分布函数的定义可知Fx0 ,1,x3 ,4,3x10 2 , 5 1
4、,4x5,x5.作图略 . 6. 有三个盒子,第一个盒子装有 1 个白球、 4 个黑球；其次个盒子装有 2 个白球、 3 个黑球；第三个盒子装有 3 个白球和 2 个黑球 .现任取一个盒子,从中任取 3 个球 ,以 X 表示所取到的白球数 . 1 试求 X 的概率分布列；2 取到的白球数不少于 2 个的概率为多少？解： 1依据题意 X 表示所取到的白球数,就其可能取值为 ,1,0 2 , 3,故 其分布列为k 3 k k 3 k k 3 k1 C 1 C 4 1 C 2 C 3 1 C 3 C 2p k P X k 3 3 3,k 0 ,1, 2 3, . 3 C 5 3 C 5 3 C 5即
5、X013213p161210302依据题意,所求概率为PX2PX2PX31. 37. 掷一颗骰子4 次,求点数6 显现的次数的概率分布. 解：以 X 表示骰子点数显现6 的次数,就X B4,16故 其分布列为p kP XkCk1k114k,k0 1, ,2 3,4,. 466即X01234. p0 .48230.38580. 11570.01540.00088. 一批产品共有100 件,其中 10 件是不合格品 .依据验收规章, 从中任取 5 件产品进行质量检验,假如5 件中无不合格品,就这批产品被接受,否就就要重新对这批产品逐个检验1 试求 5 件中不合格品数X 的分布列；2 需要对这批产品
6、进行逐个检验的概率为多少？解： 1以 X 表示件产品中的不合格品数,就其可能取值为0,1,2,4,5. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故 其分布列为pkP Xkk C 105 C 90k,k0,1,2 ,3,45. X 的分布列 . C 100 52 依据题意,所求概率为PX01PX0 1P00 . 4162. 9. 设某人射击命中率为0.8,现向一目标射击20 次,试写出目标被击中次数解：以 X 表示目标被击中的次数,就X B20,0 .8 故 其分布列为pkPXkCk0.8 k0.220k,k0 ,1,2
7、,20. 10 分钟使用电力 .假2010. 某车间有 5 台车床,每台车床使用电力是间歇的,平均每小时有定每台车床的工作是相互独立的,试求1 同一时刻至少有3 台车床用电的概率；2 同一时刻至多有3 台车床用电的概率. 解：以 X 表示同一时刻用电车床的台数,就X B5,16故 其分布列为p kPXkk C 51k55k,k0 1, 2,5,.0.0355；661 依据题意所求概率为PX3 PX3PX4PX5 2 依据题意所求概率为50 .9967. PX3 1PX3 1PX4PX11. 某优秀的射击手命中10 环的概率为0.7,命中 9 环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于
8、29 环的概率？解：以 X 表示射击手命中环10 的次数,就X B3 0,.7故 其分布列为p kPXkCk07.k0.3 3k,k0,1,23,. 3依据题意所求概率为PX21PX2 1PX0P X1 ,0 . 784. 2. 12. 设随机变量X 和 Y 均听从二项分布,即XB2 ,p,YB 4p.如P X1 89,试求PY1 . ,k0,1,2. p01p28 9p解：依据题意随机变量XB 2,p,就PXkCkpk 1p2k2又由于PX189,就0 1C0 2PX1 1P X1 1PX3就Y B4 ,2. 1C0201480. 3故P Y11P Y11P Y0 4338113. 已知一电
9、话交换台每分钟的呼吁次数听从参数为 1 每分钟恰有 8 次呼吁的概率；4 的泊松分布,求：2 每分钟呼吁次数大于8 的概率 . X P4 解：以 X 表示交换台每分钟的呼吁次数,就故 其分布列为名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - p kPXkk 4e4,k0 1, 2, ,.k.1 依据题意所求概率为p 8PX8 8 4e4.00298；0.01,问该种产0839 . 8 .2 依据题意所求概率为PX8 1PX810.9790. 021. 14. 某公司生产的一种产品,依据历史生产记录可知,该产品的次品率为品 300
10、 件中次品数大于5 的概率为多少？解：以 X 表示 300 件产品中的次品数,就X B300 ,0 .01 用参数为np3000. 013的泊松分布作近似运算,得所求概率为PX5 1PX5 1k503ke310 . 9161.0k.15. 保险公司在一天内承保了 如投保人死亡,就公司需赔付5000 份同年龄段,为期一年的寿险保单,在合同有效期内 3 万元 .设在一年内,该年龄段的死亡率为 0.0015,且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30 万元的概率 . .解：以 X 表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数,就X B50000,.0015用参数为np5000.0
11、0015.75的泊松分布作近似运算,得所求概率为P X10 10k C 5000 0 . 0015 k10 0 . 9985 k10k 7 5.e75.08622k0k0k.16. 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001.在某天的该段时间内有1000 辆汽车通过 ,问出事故的车辆数不小于2 的概率是多少？解：以 X 表示该汽车站每天出事故的车辆数,就X B 1000,0 .0001 1p用参数为np1000.00001.01 的泊松分布作近似运算,得所求概率为PX2 1PX21k2001.ke0.10.k.17. 进行重复独立试验,设每次
12、试验胜利的概率为p ,就失败的概率为q0p1. 1 将试验进行到第一次胜利为止,求所需试验次数 2 将试验进行到第 r 次胜利为止,求所需试验次数 布）X 的分布列 . Y 的分布列 .（此分布被称为 负二项分解： 1依据题意, 以 X 表示试验第一次胜利为止所需试验次数,就 X 听从参数为p 的几何分布,其分布列为名师归纳总结 pkPXkp1pk1,k,12 ,0p1 第 4 页,共 12 页r,2 依据题意,以 Y 表示试验第 r 次胜利为止所需试验次数,就 Y 的可能取值为r ,1 , r m ,（即在 k 次伯努利试验中,最终已此肯定是胜利,而前面 k1次中一定有r1 次是胜利的,由二
13、项分布得其概率为r C k1pr11pkr,再乘以最终一次胜利的1概率 p ）,就其分布列为pkPXkCr1pr 1pkr,kr,r,1,0p1 . k118.一篮球运动员的投篮命中率为 运算 X 为偶数的概率 . 0.45,求他首次投中时累计已投篮次数X 的分布列,并解：依据题意,以X 表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数,就其分布列为k 1p k P X k 0 . 45 1 0 . 45 ,k ,1 2 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情形是互不相容的,即所求概率为19. 设随机变量. pPX2
14、kk10.45 10 .452k10. 3548. k1X 的概率密度为试求PX1.5 x x,x,0x,1f21x2 ,0其它.解：由概率密度函数的定义可知PX1 .5 15.fxdxA1 0xdx15.2,x dx0.875. 120. 设随机变量X 的概率密度为xcosx ,x2f,0x2.试求：1 常数 A; 2 X 落在区间0 ,4内的概率 . 2Acosxdx2AA1；解： 1由概率密度函数的正就性可知1fx dx222 依据题意,所求概率为21. 设随机变量P0X4x04fxdx041 2cosxdx2. 4X 的分布函数为F0 ,2,x0,1 ,Ax0x,1x1.试求：1 常数
15、 A ；0 .,307.内的概率；2 X 落在区间3 X 的概率密度 . 解： 1由分布函数的连续性可知F10Xlim x 1Fxlim x 1Ax2AF1 1A1；2 依据题意,所求概率为.07 F 0 7. F 0 3. 0 . 4；P 0 . 33 由分布函数和密度函数的关系可知fx Fx 2x ,0x,10 ,其它.22. 某加油站每周补给一次油,假如这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变 量,其概率密度为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx .0051x4,0x100 ,100,0其它.试问该加
16、油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概率掌握在 5%以下？解：设该油站的储油罐容量为 a 升 a 0 ,以 X 表示该加油站每周油品销售量,就依据题意5P X a .0 05 a f x dx a 1000 . 05 1100 x dx 1100 a 0 . 055a 100 0 . 05 a 46 . 23. 在区间 0 , a 上任意投掷一个质点,以 X 表示这个质点的坐标 .设该质点落在区间 0 , a 中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正,试求 X 的分布函数和概率密度 . 解：设 X 的分布函数为 F x ,就当 x 0 时,由于 X x 是不行能大事,所以 F x P X
17、x 0；当 x a 时,由于 X x 是必定大事,所以 F x P X x 1；当 0 x a 时,有 F x P X x P 0 X x kx,其中 k 为比例系数,由分布函数的右连续性可知,1 F a F a 0 lim F x ka k 1x a a就 X 的分布函数为,0 x 0 ,F x x , 0 x a ,a,1 x a .由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为1f x a , 0 x a ,0 , 其它 .24. 设随机变量 X 听从区间 0 , 10 上的匀称分布,求对 X 进行 4 次独立观测中,至少有3 次的观测值大于 5 的概率？解：依据题意,随机变量 X U
18、0 , 10 ,就其概率密度函数为1f x 10 , 0 x 10 ,0 , 其它 .故 对 X 进行独立观测中观测值大于 5 的概率为10p P X 5 5 f x dx 5 0 1. dx 0 . 5以 Y 表示对 X 进行独立观测中观测值大于 5 的次数,就 Y B 4 , p 故 所求概率为P X3KP X3P X4C30 .5 30 .5 10C40.540.3125. 4425. 设随机变量 U0 5, ,求方程4x24KxK2无实根的概率和有实根的概率. 名师归纳总结 解：依据题意,随机变量KU0,5,就其密度函数为5,第 6 页,共 12 页1,0xfx5 0 ,其它.- -
19、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依据韦达定理可得,K3201K2时,方程无实根,其概率为当16K216当16KP1X22 1fx dx20 .2dx06.；1216K320K1或K2时,方程有实根,其概率为PX1X2 1P1X204. 26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）听从指数分布,其概率密度为.0 2 e 0 . 2 x , x 0 ,f x 0 , x .0某顾客在窗口等待服务,如超过 10 分钟他便离开,他每月要到银行 5 次,以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数,试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率 . 解：依据题意,顾
20、客在银行窗口等待服务的时间 X 听从指数分布,就等候时间超过 10 分钟的概率为0 . 2 x 2p P X 10 10 f x dx 10 0 . 2 e dx e2以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数,就 Y B 5 , e 故 所求概率为0 2 0 2 5P X 1 1 P X 1 1 P X 0 1 C 5 e 1 e 0 . 5167；27. 某仪器装了 3 个独立工作的同型号电子元件,其寿命 X （以小时计）都听从同一指数分布1f x 600 1e 600x, x 0 ,0 , x 0试求：此仪器在最初使用的 300 小时内,至少有一个该种电子元件损坏的概率 . 解：依据题意,
21、以 X 表示该型号电子元件的寿命,就该型号电子元件寿命小于 300 小时的概率为1 1p P X 300 300f x dx 0 300600 1e 600xdx 1 e 2.0 5以 Y 表示该型号电子元件损坏数,就 Y B 3 , 1 e 故 所求概率为名师归纳总结 P X1 1PX1 1P X01C01e.050e0.530 .3101. 第 7 页,共 12 页328. 设随机变量XN3 2,2,求；1P1X5 ；2P X5 ；PXa？3 确定 a ,使得PXa解：由正态分布标准化UXX23可得1P3X5 P13U523P2U1 21 2 1 2 10 .81852PX1 P13U12
22、3P2U1 212 2 1 0 .1359；3 依据题意PXaPXa,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PUa23PUa23PUa231PUa23即a231a23a231005.U12故a3；129. 设随机变量XN43,2,求1P2X52P X3 3 设 a 为参数,使得PXa09.,问 a 最多取为多少？解：由正态分布标准化UXX34可得1P2X5P24U534P2U33132 13 210 .6065；2PX31PX31P34U3341P7333173 13 0. 6392；a3401.3 依据题意PXa0 .9,就PUa341PUa340.9
23、PUa340 .1 1. 280 .8997, 1 .29 0 .9015 故 由标准正态分位数定义可得 a 4 1 . 2853即 参数 a 最大取为 0.145. 30. 测量到某一目标的距离时,发生的随机误差 x 20 2f x 1e 3200,40 2试求在三次测量中,至少有一次误差的肯定值不超过a0.145X 以 m 计具有概率密度x 30m 的概率 . 解：依据题意,以 X 表示测量中随机产生的误差,由其密度函数的定义可知2X N 20 , 40 ,就误差肯定值超过 30m 的概率为P X 30 1 P X 30 1 P 30 X 30 30 20 30 20P U P 1 . 2
24、5 U 0 . 25 40 40 0 . 25 1 . 25 0 . 25 1 . 25 1 0 . 4931 , 以 Y 表示测量中误差肯定值超过 30m 的次数,就 Y B 3 , 4931 故 全部概率为0 0 3P X 1 1 P X 1 1 P X 0 1 C 3 1 0 . 4931 0 . 5069 0 . 8698 . 31. 某单位聘请员工,共有 10000 人报考 .假设考试成果听从正态分布,且已知 90 分以上有 359 人, 60 分以下有 1151 人,现按考试成果从高分到低分一次录用 2500 人,试问被录用者中最低分数是多少？名师归纳总结 解：依据题意,以X 表示
25、报考人的成果分数,就XN,2第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故PX901PX901PU901903590. 0359（查表得）10000900. 9641901.80.1151PX60PU6060115110000601 2.（查表得）由、可得72 ,10,即XN72 , 102,设录用者中最低分数为a ,就PXa25000. 251PXa,100000 .251PUa721a721010. 680.7517 a720 .75,0.670.7486,010故a72.0 675a78 . 75310X 的分布列为32. 已知离散
26、型随机变量X2101p1516151151130试求YX2与ZX的分布列 . 解：依据题意可得X210133的概率YX241019ZX21013p1516151151130故 合并整理得YX2的分布列Y0149p15730151130ZX的分布列Z0123p1573015113033. 设随机变量X 的概率密度为fx .05cos 5.0x ,0x,0其它.对 X 独立重复观看4 次, Y 表示观看值大于3 的次数,求Z2Y1分布列 . 解：依据题意,由概率密度函数定义可知,对X 进行独立观测中观测值大于为名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - -
27、 - - - - - - pPX33fx dx30.5cos 0.5xdx0 .5. 5 以 Y 表示对 X 进行 4 次独立观测中观测值大于3 的次数,就Y B4 ,0 .故 其分布列为PXkCk05.k 10.5 4k,k0,1,23 ,4. p k4即ZY10010230.4152Y137p. 3750 .2506250 . 0625.25故Z 1 1 3 5 7p 0 . 0625 0 . 25 0 . 375 0 . 25 0 . 062534. 设随机变量 X U 0 1,试求以下随机变量函数的概率密度：X1 Y 1 X；2 Y e；3 Y 2 ln X；4 Y ln X . 解：
28、依据题意,随机变量 X U 0 1, ,就其密度函数为,1 0 x ,1f X x ,0 其它 .1 由 y 1 x x h y 1 y,且有 h y 1 0,就 Y 1 X 的密度函数为f X 1 y 1 y , 0 1 y ,1f Y y 0 , 其它 .,1 0 y ,10 , 其它 .x 1 X2 由 y e 0 x h y ln y,且有 h y 0,就 Y e 的密度函数为yf Y y f X ln y ln y , 0 ln y 1 ,0 , 其它 .1 y , 1 y e ,0 其它 .0 . 5 y 5.0 y X3 由 y 2 ln x 0 x h y e,且有 h y 0 5. e 0,就 Y e 的密度函数为4 由yln x0fYyfXe05.ye.05y,0e.05y,10,就YlnX的,0其它.,故当y0 . 5 e05.y,y,000 ,其它.0时,有FY y0,从而fY y 当y0时,ylnx0xh yey,且