2022年概率论第二章答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 习题 2- 21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P(A)=p(0p1). 定义随机变量X1,A 发生,0,A 不发生 .写出随机变量X 的分布律 . 解PX=1= p, PX=0=1 - p. 或者X 0 1 P 1- pp2. 已 知 随 机 变 量 X 只 能 取 - 1,0,1,2 四 个 值 , 且 取 这 四 个 值 的 相 应 概 率 依 次 为名师归纳总结 1,3 , 5 , 7. 试确定常数 c, 并计算条件概率4 c 8 c 16 c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，P X1|X0 . 第 1 页，共 12 页2 c1

2、3571,2c4c8 c16c所以c37. 16所求概率为P X1| X0=P X11178. 2 c5P X0 253. 设随机变量2 c 8 c 16 cX 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为3, p 的二项分布 , 若P X15, 求P Y 1 . 9解注意 px=k=k kC p qn k,由题设5 9P X 11P X01q2,故q1p2. 从而3P Y 11P Y01(2)319.3274. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为19, 求每次试验成功的概率. 27解设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的

3、概率是19 ，那么一次都 27- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 没有成功的概率是8 27. 即 ( 1 p ) 3 8 , 故 p =27的泊松分布 , 且 P X 11. 3, 求参数. 3P X5. 若 X 服从参数为解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5. 在袋中同时取 3 只球 , 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 . 解 从 1，2，3， 4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值，X 的可能取值是33，4， 5，在 5 个数中取 3

4、 个共有 C 5 10 种取法 . 2 X=3 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P X=3= C 23 = 1; C 5 102 X=4 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P X=4= CC 35 3 10 3; 2 X=5 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P X=5= CC 45 3 35 . X 的分布律是X 3 4 5 P 13310105习题 2-3 1. 设 X 的分布律为X- 1 0 1 P 0.15 0.20 0.65 求分布函数 F(x), 并计算概率 P X0, P X2, P - 2X1. 0, x 1,0.15, 1x 0,解 (1) F(x)=0.

5、35, 0x 1,1, x1.(2) P X0= P X=-1=0.15; (3) P X2= P X=- 1+ P X=0+ P X=1=1; (4) P - 2 x1= P X=- 1+ P X =0=0.35. 名师归纳总结 2. 设随机变量X 的分布函数为- x+ . 第 2 页，共 12 页F(x) = A+Barctanx 试求 : (1) 常数 A 与 B; (2) X 落在 (- 1, 1内的概率 . 解(1) 由于 F(- ) = 0, F(+ ) = 1, 可知- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB(22)10A1,B1.AB()2

6、于是(2) P 1F x ( )11arctan ,x.2X1F(1)F( 1)3. 设随机变量(11arctan1)(11arctan( 1)221 2.11411(4)22X 的分布函数为0,x0,1,F(x)=x,x21, 1,求 P X -1, P0.3 X0.7, P0 X 2. 解P X1F( 1)0, P0.3 X0.7= F (0.7)- F0.3 - P X=0.7=0.2, P0 X 2= F(2)- F(0)=1. 名师归纳总结 5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; P X11,P X11; 在事件第 3 页，共 12 页84 1X1出现的条件下 , X 在(-1,1

7、)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数F x ( )P X x; (2) 求 X 取负值的概率p. 解(1) 由条件可知 , 当x1时, F x ( )0; 当x11时 , F( 1)1; 8当x时 , F(1)=P X 1=P(S)=1. 所以P 1X1F(1)F( 1)P X1 11 18 4x的条件概率为5.8易见 , 在 X 的值属于 ( 1,1)的条件下 , 事件 1XP 1X x| 1X1k x( 1), - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 取 x=1 得到 1=k(1+1), 所以 k=1 2.

8、1XX11x21. 因此P 1Xx|于是 , 对于1x1, 有x , 1P 1X x P 1X P 1X1P 1Xx|1X1F(0 )7.5x15x5 .F(0 )对于 x 1, 有F x ( )8 1.216从而x1,0,F x ( )5x7,1x1,16x1.1,(2) X 取负值的概率0F(0)F(0)pP X0F(0)P X16习题 2- 41. 选择题(1) 设f x ( )2 ,x0, ,如果 c=( ), 则f x 是某一随机变量的概率密0,x0, .度函数 .(A) 1 3. (B) 1 2. (C) 1. 可得(D) 3 2. c1, 故本题c 02 d x x1解由概率密度

9、函数的性质f x ( )dx1, 于是应选 (C ). 名师归纳总结 (2) 设XN(0,1),又常数 c 满足P Xc P Xc , 则 c 等于 ( ). 第 4 页，共 12 页(A) 1. P X(B) 0. c (C) 1. c (D) - 1.c,即2解因为c P X, 所以 1P XP X2 P Xc 1, 从而P Xc 0.5,即( )0.5, 得 c=0. 因此本题应选 (B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ). - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - (A) f x ( )cos ,x0,(B) f x ( )

10、1, 2x2,0,其它.其它 .0,P 2(C) f x ( )0,1e(x)2,x0,(D) f x ( )ex,x0,222x0.0,x0.解由概率密度函数的性质f x dx1可知本题应选 (D). 4 , (4) 设随机变量XN2 ( , 4 ), YN2 ( ,5 ), P 1P XP Y 5 , 则 ( ). P . (A) 对任意的实数, P 1P . (B) 对任意的实数, P 1(C) 只对实数的个别值 , 有PP . (D) 对任意的实数, P 1P . 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1)1(1)P . 因此本题应选 (A). 名师归纳总结 (5) 设

11、随机变量X 的概率密度为fx, 且f x ( )f(x , 又 F(x)为分布函数 , 则对第 5 页，共 12 页任意实数 a , 有 ( ). (A) F(a )1af x ( ) dx. (B) F(a)1af x ( )dx. 020(C) F(a )F a ( ). (D) Fa2F a ( )1. 解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布N(1,2),Y 服从正态分布N(2,2),且12P X11P Y21,则下式中成立的是( ). (A) 1 2. (C) 1 2. 解(7) 设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给定的正数(

12、0)1, 数 u满足P Xu, 若P Xx , 则 x 等于 ( ). (A) u2. (B) u 12. (C) u1-. (D) u1. 2解答案是 (C). 2. 设连续型随机变量X 服从参数为的指数分布 , 要使P kX2 1成立 , 4应当怎样选择数k? - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解因为随机变量X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F x ( )1ex,x0,0, x0.由题意可知名师归纳总结 1P kX2 F(2 )F k ( )(1 e2k)(1 ek)eke2k. 第 6 页，共 12 页4于是kln 2.3. 设随机变量X

13、 有概率密度f x ( )4x3,0x1,0,其它 ,a 0.5, 于 是要使P Xa P Xa (其中 a0)成立 , 应当怎样选择数 a ? 解由 条 件 变 形 , 得 到 1P Xa P Xa,可 知P Xa 04x3dx0.5, 因此a1. 424. 设连续型随机变量X 的分布函数为0,x0,F x ( )x2,0 1,1,x1,求 : (1) X 的概率密度 ; (2)P 0.3X0.7. 解(1) 根据分布函数与概率密度的关系F( )f x , 可得f x ( )2 ,0x1,0,其它 . (2) P 0.3X0.7F(0.7)F(0.3)0.722 0.30.45. 设随机变量

14、X 的概率密度为f(x)2 , 0 x 1,0,其它 ,求 P X1 2与 P1 4X2. 解P X 112 d x xx211; 222400- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P 1X 212 d x xx2115. 14116446. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数2A1, x ,0x1,f x ( )Ax ,1x2,0,其它 .求 : (1) 常数 A； (2) X 的分布函数F(x). 解(1) 由概率密度的性质可得11x x2(Ax )dx1x21Ax1x2012021于是A2；(2) 由公式F x ( )xf x ( )dx可得当 x

15、 0 时, F x ( )0; 当 0x1 时 , F x ( )xx x1x2; 021; 当 1x2 时 , F x ( )1x x1x(2x )dx2xx202当 x2 时, F x ( )1. 0,x0,所以F x ( )1 2x2,1,0x ,x21x2,x , 2x21,x2.7. 设随机变量X 的概率密度为f x ( )1 ( 4x1),0x2,其它 ,0,对 X 独立观察 3 次 , 求至少有 2 次的结果大于1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P aX F b ( )F a ( )bf x ( )da可得名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12

16、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 , 3 次观察中至少有P X121( x 1)d x41 的概率为5. 182 次的结果大于名师归纳总结 C2( ) ( ) 5 2 38 8C3( ) 583175. ；第 8 页，共 12 页332568. 设XU(0,5), 求关于 x 的方程4x24Xx20有实根的概率 . 解随机变量 X 的概率密度为f x ( )1,0x5,50,其它 ,若方程有实根 , 则16X232 0, 于是X2 2. 故方程有实根的概率为PX22=1P X221P 2X21021dx512. 59. 设随机变量XN(3 2,2). (1) 计算P

17、2X 5, P 4X10, P |X| 2, P X3 (2) 确定 c 使得P XcP Xc ;)公式 , 得(3) 设 d 满足P Xd 0.9, 问 d 至多为多少？到解(1) 由 P ax b= Pa23X23b23 (b23)(a23P2 X5=(1)( 0.5)0.5328, P - 4X 10=(3.5)( 3.5)0.9996, P |X| 2=P X2+P X2=1(223)+(23)=0.6977, 2P X3=1P X31(323)1(0)=0.5 . (2) 若P Xc P Xc ,得 1P Xc P xc ,所以P Xc 0.5- - - - - - -精选学习资料

18、- - - - - - - - - 由(0)=0 推得c230,于是 c=3. 23)0.9, 也就是(3) P Xd0.9即 1(d(d23)0.9(1.282), P X0. 4)0.3 可知因分布函数是一个不减函数, 故3(d3)1.282,0.436. 2 2解得d ( 1.282)10. 设随机变量XN(2,2), 若P 0X40.3, 求解因为XN2,所以ZXN(0,1) . 由条件P 0X0.3P 0X4P 02X242 (2)(2, 于是2 (2)10.3, 从而(2)0.65 . )0.35. 所以P X0PX202 (2)1(2习题 2-5 Y1.选择题, 即(1) 设 X

19、 的分布函数为F(x), 则Y3X1的分布函数 G y为 ( ). (A) F(1y1). (B) F(3y1). 33(C) 3F y ( )1. (D) 1 F y ( ) 13 3, 本题应选 (A). . 解由随机变量函数的分布可得(2) 设XN0 1 ,令YX2, 则Y( ). (A)N( 2, 1). (B)N(0,1). (C)N( 2,1). (D)N(2,1). 解由正态分布函数的性质可知本题应选(C). 2. 设XN(1,2),Z2X3, 求 Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量XN( ,2), 则 X 的线性函数 YaXb 也服从正态分布aXbN ab,(a2 )

20、).这里1,2 , 所以 ZN(5,8). 概率密度为名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - f z ( )41e(x5)2,x. 163. 已知随机变量X 的分布律为3 7 X- 1 0 1 P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25 (1) 求 Y 2 X 的分布律；(2) 求 Y3X2 分布律 . 2 3 解(1) 2X- 5 - 1 1 P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 4. 已知随机变量3X23 412 52 P 0.05 0.57 0.13 0.25 X 的概率密度为1，x4

21、，fX( ) x 2 ln 20，其它，且 Y2X, 试求 Y 的概率密度 . 解先求 Y 的分布函数FY(y): P 2X P X 2yFY( y)=P Y y 1P X2y=1-2yfX( )dx.于是可得 Y 的概率密度为即fY( )fX(2y)(2y)=2(21) ln 2,122y4,y0,其它.的概率密度 . f Y( )2(21,2y1,y ) ln 2YX0,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (- 2,2)上的均匀分布 , 求随机变量解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为Xf( )1, 42x2,0,其它.因为对于 0y4, 名师归纳总结 - - - - - - -第

22、10 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - F Y( )P Y y P X2y P y Xy FX(y)FX(y). 于是随机变量YX2的概率密度函数为,y)21y41y,0y4.Yf( )fX(y)21yfX(即10y4,f( )4y0,其它.总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 . , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样解以 X 表示抽取的5 件样品中含有的次品数. 依题意知XB(5,0.2). (1) 恰好有 3 件次品的概率是P X=3=3 C 50.23 0.82. t 每

23、个设备被使用的(2) 至多有 3 件次品的概率是3Ck0 .2k08.5k. 5k02. 一办公楼装有5 个同类型的供水设备. 调查表明 , 在任一时刻概率为 0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？(3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？名师归纳总结 (4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则XB(5,0.1), 第 11 页，共 12 页P X=k=Ck0k 1.0 .95k,k=0,1, ,5. 5(1)所求的概率是P X=2=C202 1.09.30 .0729; 5(2)所求的概率是P X 1=1( 10 .1 )50 . 40951; (3)所求的概率是P X 3=1 - P X=4 - P X=5=0.99954; (4)所求的概率是P X 3= PX=3+ P X=4+ PX=5=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为f x ( )kex,x0,0，x0,且已知P X11, 求常数 k, . 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解由概率密度的性质可知0kexdx1得到 k=1. 名师归纳总结 由已知条件11exdx1, 得1.