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1、抛物线经典结论和例题抛物线经典结论和例题y2 2px(p 0)抛物线lyy2 2px(p 0)yx2 2py(p 0)yFOxx2 2py(p 0)yOFlOxlxOFxF定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。M MFl=点 M 到直线l的距离x 0, yRxR, y 0 xR, y 0范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦半径A(x1, y1)x 0, yR关于x轴对称(p,0)2关于y轴对称pp,0)(0,)22焦点在对称轴上(0,p)2O(0,0)e=1x p2x p2p2y
2、p2y p2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。pAF x1p2AF x1p2AF y1p2AF y1p2焦焦 点弦点弦长长(x1 x2) p(x1 x2) p(y1 y2) p(y1 y2) pAB焦点弦y yo oAx1, y1x xBx2, y2F FAB的几条性质A(x1, y1)B(x2, y2)以以AB为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线l相切相切2p2pAB 若若的倾斜角为的倾斜角为，则，则ABsin2cos2若若AB的倾斜角为的倾斜角为，则，则AB p2x1x2y1y2 p2411AF BFAB2AFBFAF BFAF BFp切线y0y p(x x0)y0y p(x x0
3、)方程1. 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系2.直线，抛物线，x0 x p(y y0)x0 x p(y y0)3.，消 y 得：4. （1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5. （2）当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）6.6. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：y kx b抛物线联立方程法：联立方程法：y kxbk2x22(kb p)xb2 02
4、y 2px，(p 0)设交点坐标为A(x1, y1),B(x2, y2)，则有 0,以及x1 x2,x1x2，还可进一步求出y1 y2 kx1bkx2b k(x1 x2)2by1y2 (kx1b)(kx2b) k2x1x2kb(x1 x2)b2，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.a. 相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长AB 1k2x1 x21k2(x1 x2)24x1x21k2a或AB 11122y y1(y y ) 4y y1k121212k2k2ab. 中点中点M(x0, y0),x0点差法：点差法：x1 x2y y2，y0122设交点坐标为A(x1, y1)，B(
5、x2, y2)，代入抛物线方程，得y1 2px1y2 2px2将两式相减，可得(y1 y2)(y1 y2) 2p(x1 x2)所以y1 y22px1 x2y1 y222a. 在涉及斜率问题时，在涉及斜率问题时，kAB2py1 y2b. 在在 涉涉 及及 中中 点点 轨轨 迹迹 问问 题题 时时 ， 设 线 段AB的 中 点 为M(x0, y0)，py1 y22p2pp，即kAB，y0 x1 x2y1 y22y0y0同理，对于抛物线x2 2py(p 0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0, y0)是弦AB的中点，则有kABx1 x22x0 x02p2pp（注意能用这个公式的条件：1）
6、直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用一、抛物线的定义及其应用例例 1 1、设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1 的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例例 2 2、设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0 的取值范围是() A(0,2)B0,2 C(2，) D2，)二、抛物线的标准方程和几何性质二、抛物线的标准方程和几何性质例例 3 3、 抛物线y22px(p0)的焦点为F， 准线为l，
7、 经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是 ()A4 B3 3 C4 3 D8例例 4 4、过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3 则此抛物线的方程为 ( )39Ay2xBy29x Cy2x Dy23x22三、抛物线的综合问题三、抛物线的综合问题例例 5 5、已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的1距离为 2，直线l：yxb与
8、抛物线C交于A，B两点2(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程练习题练习题1已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22 的上焦点，则a等于(）A1B4 C8D162抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是 ( )A1716B15163(2011辽宁高考)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()B14 已知抛物线y22px， 以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A相离B相交 C相切D不确定5已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为 1 的直线交抛物线于A
9、、B两点，则|FA|FB|的值等于 ()A4 2B8C 8 2D166在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ()A(2,1)B(1,2) C(2,1)D(1,2)7设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为 3，那么|PF| ()A4 3 B8 C8 3 D168抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，抛物线的方程 （） Ay28x By28x Cy24x Dy24x9 以抛物线x216y的焦点为圆心， 且与抛物线的准线相切的圆的方程为_10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m
10、)到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为_11已知抛物线y24x与直线 2xy40 相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FAFA| |FBFB| _.12过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1x26，那么 |AB|等于_13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)过点P(2，4)14已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点， 直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMOM与OPOP的夹角为，求POM的面积4解析解析一、抛物
11、线的定义及其应用一、抛物线的定义及其应用例例 1 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1 的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.例例 2 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p4，根据已 知只要|FM|4 即可根据抛物线定|FM|y02
12、 由y024，解得y02，故y0 的取值范围是(2，)二、抛物线的标准方程和几何性质二、抛物线的标准方程和几何性质例例 3 3、设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1|BB1|1 ，|BC|2pCBB1.即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|AK|x1 4，因此y1332114sin2 3，因此AKF的面积等于 |AK|y1 42 34 3.322例例 4 4分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，B
13、CB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故13点F到准线的距离为p |AA1| ，故抛物线的方程为y23x.22三、抛物线的综合问题三、抛物线的综合问题例例 5 5、(1)直线AB的方程是y2 2(x )，与y22px联立，从而有 4x25px25pp20，所以：x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以p4，4从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20 可简化为x25x40，从而x11，x24，y12 2，y24 2，从而A(1，2 2)，B(4,4 2)；设OCOC(x3，y3)(1，2 2)(4,4
14、 2)(41,4 22 2)又y22(21)28(41)38x3，即2p即(21)241.解得0，或2.例例 6 6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有 ?x1?2y2|x|1.化简得y22x2|x|. 当x0 时，y24x；当x0 时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)的准线为x ，由抛物线定义和已知条件可知2|MF|1( )1 2，解得p2, 故所求抛物线C的方程为y24x.22pppy1xb，2(2)联立y4x2消去x并化简整理得y28y8b0.依题意应有6432b0，解得b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2y1y28，y
15、1y28b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0，y04.22因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r|y0|4.又|AB| ?x1x2?2?y1y2?2 ?14?y1y2?25?y1y2?24y1y2 5?6432b?8所以|AB|2r 5?6432b?8，解得b .548所以x1x22b2y12b2y24b16，52424则圆心Q的坐标为(，4)故所求圆的方程为(x)2(y4)216.55练习题：练习题：1 1解析解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0， )，双曲线的上焦点为(0,2)，4依题意则有 2 解得a8.4aay12 2解析解析：抛物线方程可化为x2 ，其准线方程为y.设
16、M(x0，y0)，则由416115抛物线的定义，可知y01?y0.16163 3解析解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：11315(|AF|BF|) .242444 4解析解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线1l上的射影， 则|AA1|AF|， |BB1|BF|， 于是M到l的距离d (|AA1|BB1|)211 (|AF|BF|) |AB|半径，故相切22yx2，5 5解析解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为yx2 由2，消去yy8x得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x
17、22)|x1x2| (x1x2)24x1x2 144168 2.6 6解析解析：如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为 1，则可排除 A、C、D.答案：B7 7解析解析：设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为 3，那么|PF| ()A4 3 B8C8 3 D168 8解析解析：由准线方程x2，可知抛物线为焦点在x轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为 y22p
18、x8x9 9解析解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8. 所以，圆的方程为x2(y4)264.1010解析解析：设抛物线方程为x2ay(a0)，则准线为y .Q(3，m)在抛4物线上，9am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，|m( )|499a5.将m 代入，得| |5，解得，a2，或a18，所求抛物线的aa422方程为x2y，或x18y.y4x1111解析解析：由2xy402aa，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1x25，因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所以|FAFA| |FBFB| (x11)(x2
19、1)71212解析解析：因线段AB过焦点F，则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.1313解析解析：双曲线方程化为 1，左顶点为(3,0)，由题设抛物线方程为916x2y2py22px(p0)，则 3，p6，抛物线方程为y212x.2(2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx或x2ny，代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.1414解解：设点M( ，y1)，P( ，y2)，P，M，A三点共线，kAM44kPM，y1y1y2y11即22，即2，y1y24.y1y1y2y14y1y2214442y21y2OMOMOPOP y1y25.向量OMOM与OPOP的夹角为，4 4415|OMOM|OPOP |cos5.SPOM |OMOM| |OPOP| sin .4242y21y22