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1、. . . . . . 专业 .专注. 抛物线抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F叫做抛物线的焦点 ，直线 l 叫做抛物线的准线 。MFM=点 M 到直线 l 的距离 范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称焦点(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1 准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准px y O l
2、F x y O l F l F x y O x y O l F . . . . . . 专业 .专注. 线的距离焦半径11(,)A xy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦 点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦AB 的几条性质11(,)A xy22(,)B xy以 AB 为直径的圆必与准线l相切若 AB 的倾斜角为，则22sinpAB若 AB 的倾斜角为，则22cospAB2124px x212y yp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()y yp xx00()y yp xx00()x xp yy00()x xp yyox
3、 22,B xyFy11,A xy. . . . . . 专业 .专注. 1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行 ，有一个交点 ；（2）当 k 0 时， 0，直线l与抛物线相交 ，两个不同交点 ； =0 ， 直线l与抛物线相切 ，一个切点 ； 0，直线l与抛物线相离 ，无公共点 。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定 ）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l ：bkxy抛物线，)0(p联立方程法 ：pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(2
4、2yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy. . . . . . 专业 .专注. 在涉及弦长 ，中点，对称，面积等问题时 ，常用此法 ，比如a.相交弦 AB 的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b. 中点),(00yxM, 2210 xxx，2210yyy点差法 ：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程 ，得1212pxy2222pxy将两式相减 ，可得)(2)(21
5、2121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时 ，212yypkABb.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段AB 的 中 点 为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理 ，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点 ，点),(00yxM是弦 AB 的中点 ，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在 ，且不等于零 ）. . . . . . 专业 .专注. 一、抛物线的定义及其应用例 1、设 P 是抛物线 y24x 上
6、的一个动点 (1)求点 P到点 A(1,1)的距离与点 P到直线 x1 的距离之和的最小值 ；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值 例 2、(2011 山东高考 )设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一 点，F为抛物线 C的焦点 ，以 F 为圆心 、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交 ，则 y0 的取值范围是( ) A(0,2) B0,2 C(2，) D2，) 二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，经过 F 的直线与抛物线交于A、B 两点，交准线于C 点，点 A 在 x 轴上方 ，AKl，垂足为 K，若|BC|2|
7、BF|，且|AF|4，则AKF的面积是( ) A4 B33 C43 D8 例 4、过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点A、B，交其准线 l于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3 则此抛物线的方程为( ) Ay232xBy29xCy292xDy23x三、抛物线的综合问题例 5、(2011 江西高考 )已知过抛物线y22px(p0)的焦点 ，斜率为 22的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10) 上，M 点到抛物线 C 的焦点 F的距离为 2，直线 l：y12xb 与抛物线 C 交于 A，B 两点(1)求抛物线 C 的方程；. . . . . . 专
8、业 .专注. (2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切 ，求该圆的方程 例题答案解析一、抛物线的定义及其应用例 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是 x1. 由抛物线的定义知 ：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P到焦点 F的距离 于是，问题转化为 ：在曲线上求一点P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到F(1,0)的距离之和最小 显然，连结 AF交曲线于 P点，则所求的最小值为 |AF|，即为5. (2)如图，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF| |P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为
9、 4. 例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p4，根据已 知只要 |FM|4 即可根据抛物线定 |FM|y02 由y024，解得y02 ，故y0 的取值范围是. . . . . . 专业 .专注. (2，)二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、设点 A(x1，y1)，其中 y10.由点 B 作抛物线的准线的垂线 ，垂足为 B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有 |CB|2|BB1|，cos CBB1|BB1|BC|12， CBB13.即直线 AB 与 x 轴的夹角为3.又|AF|AK|x1p24，因此 y14sin323，因此AKF的面积等于12|AK| y112 4
10、 2343. 例 4分别过点 A、B作 AA1、BB1垂直于 l，且垂足分别为 A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|， BCB130， 又|AA1|AF|3， |AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633， F为线段 AC的中点 故点 F到准线的距离为 p12|AA1|32，故抛物线的方程为y23x. 三、抛物线的综合问题例 5、(1)直线 AB 的方程是 y22(xp2)，与 y22px 联立，从而有 4x25pxp20，所以：x1x25p4，由抛物线定义得 ：|AB|x1x2p9，所以 p4，从而抛物线方程是y28x. (2)由 p4,4x25pxp20 可
11、简化为 x25x40，从而 x11，x24，y122，y242，从而 A(1，22)，B(4,42)；设OC(x3，y3)(1，22) (4,42)(4 1,42 22)又 y238x3，即22(2 1)28(4 1). . . . . . 专业 .专注. 即(2 1)24 1.解得 0，或 2. 例 6、 (1)设动点P的坐标为 (x，y)，由题意有x12y2|x|1.化简得y22x2|x|. 当 x 0 时，y24x；当 x0 时，y0. 所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 y24x(x 0)和 y0(x0)的准线为 xp2，由抛物线定义和已知条件可知|MF|1(p2)1p22，解得 p
12、2, 故所求抛物线 C 的方程为 y24x. . . . . . . 专业 .专注. (2)联立y12xb，y24x消去x并化简整理得y28y8b0. 依题意应有 6432b0，解得 b2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y28，y1y28b，设圆心 Q(x0，y0)，则应用 x0 x1x22，y0y1y224. 因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切 ，所以圆的半径为 r|y0|4. 又|AB|x1x22y1y2214y1y225y1y224y1y256432b所以|AB|2r56432b8，解得 b85. 所以 x1x22b2y12b2y24b16485，则圆心 Q 的坐标
13、为 (245，4)故所求圆的方程为 (x245)2(y4)216. . . . . . . 专业 .专注. 练习题1已知抛物线x2ay 的焦点恰好为双曲线y2x22 的上焦点 ，则 a 等于( ) A1 B4 C8 D16 2抛物线y 4x2上的一点M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是( ) A1716B1516C.716D.15163(2011 辽宁高考 )已知 F是拋物线 y2x的焦点 ，A，B是该拋物线上的两点 ，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) A.34B1 C.54D.744已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
14、 A相离B相交C相切D不确定5(2012 宜宾检测 )已知 F为抛物线 y28x 的焦点 ，过 F且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B两点，则|FA|FB|的值等于( ) A42 B8C82 D16 6在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点. . . . . . 专业 .专注. P的坐标是( ) A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 7设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点 ，PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|( ) A43 B8 C83 D16 8(2011 陕西高考 )设抛物线的
15、顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是( ) Ay28xBy28x Cy24xDy24x9(2012 永州模拟 )以抛物线 x216y 的焦点为圆心 ，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 _10已知抛物线的顶点在原点 ，对称轴为 y 轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为 _ 11已知抛物线 y24x 与直线 2xy40 相交于 A、B 两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| |FB| _. 12过抛物线y24x 的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若 x1x26，那么 |AB|等于_ 13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦
16、点是双曲线16x29y2144 的左顶点 ；(2)过点 P(2，4). . . . . . 专业 .专注. 14已知点 A(1,0)，B(1，1)，抛物线 C：y24x，O 为坐标原点 ，过点 A的动直线 l 交抛物线 C 于 M，P 两点，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量OM 与OP 的夹角为4，求POM 的面积 练习题 ：1解析 ：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为 (0,2)，依题意则有a42 解得 a8. 2解析：抛物线方程可化为x2y4，其准线方程为 y116.设 M(x0，y0)，则由抛物线的定义 ，可知116y01? y01516. . .
17、 . . . . 专业 .专注. 3解析 ：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到 y 轴的距离为：12(|AF|BF|)14321454. 4解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为 M ，准线 l，A1、B1分别为 A、B 在直线 l上的射影 ，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是 M 到 l的距离 d12(|AA1|BB1|)12(|AF|BF|)12|AB|半径，故相切 5解析：依题意 F(2,0)，所以直线方程为yx2 由yx2，y28x，消去 y 得x212x40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|(x1x2)24x
18、1x21441682. 6解析：如图所示 ，直线 l 为抛物线 y2x2的准线 ，F 为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知 ，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N 三点共线时取等号 P点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为1，则可排除 A、C、D.答案：B 7解析：设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P为抛物线上一点 ，PAl，A为垂足 如果直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|( ) A43 B8 C83 D16 8解析：由准线方程 x2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得 p4，所以标准方程为y22px8x. . . .
19、 . . 专业 .专注. 9解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为 y4，则圆心为 (0,4)，半径 r8. 所以，圆的方程为 x2(y4)264. 10解析：设抛物线方程为x2ay(a 0)，则准线为 ya4. Q(3，m)在抛物线上， 9am.而点 Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离 ， |m(a4)|5.将m9a代入，得|9aa4|5，解得，a 2，或 a18， 所求抛物线的方程为x22y，或 x218y. 11解析：由y24x2xy40，消去 y，得 x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B 两点的横坐标 ，故 x1x25，因为抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，所以|
20、FA| |FB| (x11)(x21)7 12解析：因线段 AB 过焦点 F，则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知 |AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228. 13解析：双曲线方程化为x29y2161，左顶点为 (3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则p23，p6，抛物线方程为 y212x. (2)由于 P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx 或 x2ny，代入 P点坐标求得 m8，n1， 所求抛物线方程为y28x 或 x2y. . . . . . . 专业 .专注. 14解：设点 M(y214，y1)，P(y224，y2)， P，M，A 三点共线 ， kAMkPM，即y1y2141y1y2y214y224，即y1y2141y1y2， y1y24. OM OP y214y224y1y25. 向量 OM 与 OP 的夹角为4， | OM|OP| cos45. SPOM12| OM| | OP| sin452.