《2022年抛物线知识点归纳总结与经典习题 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年抛物线知识点归纳总结与经典习题 .docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_抛物线经典结论和例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2小y y =2px抛x2小= 2py P0xpL=-2py 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P0物丄线2 = -2pxy |P0*0xlylO F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面内与一个定点 F 和一条定直线 1 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F定义叫做抛物线的焦点,直线 1 叫做抛物线的准线.M |MF 1 =点 M到直线 1 的距离范畴x 兰 0, 厂 Rx 兰 0, y . RXE R, y 20x. R, y 兰 00）对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称
2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_隹占 八、八、（ 2 诗,0焦点在对称轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点00,0离心率e=1准线-2Px 诗y 七方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等.顶点到准p2线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点到准P线的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦半径Axi, y iAF =捲 + E2AF = -X j + E2AF = y 2AF = yi +上2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点弦 长|AB|一 X i +
3、X 2 + pyi +y 2 + p一 yi + y2 + p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Xi +X 2 +pyJ Xi ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点弦AB 的几条性质Ax i, yjBX 2,y2 o 圧 xBx , y2i 以 AB 为直径的圆必与准线丨相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 AB 的倾斜角为 a , 就|AB| =寺一sin a如 AB 的倾斜角为 a,贝就 AB =仝一cos a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2P2XM =%y 2= P41
4、卜 1AF +BFAB2AF BF AF *BF AF *BF p切线yoy = px +x oyy = px +x oxox = py + yoXoX = py+y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程1. 直线与抛物线的位置关系直线, 抛物线* .廿,J7= fc+i才二 2 砂,消 y 得： +2（妬- p）x+护二 0（1） 当 k=0 时,直线 I 与抛物线的对称轴平行,有一个交点.（2） 当 k #0 时,A0 ,直线 I 与抛物线相交,两个不同交点. Y0 , 直线丨与抛物线相切 ,一个切点 . A0 的焦点为 F, 准线为 I, 经过 F 的直线与抛物线交于A、
5、B 两点,交准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK 丄 l, 垂足为 K, 如|BC 匸2|BF|,且 |AF|4 ,贝 U AKF的面积是A.4B.3C.4 .3D.8例 4、过抛物线 y2 = 2pxp0 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B, 交其准线 I于点 C, 如|BC| = 2|BF| , 且|AF| = 3 就此抛物线的方程为39A.y2 =尹B.y2= 9xC.y2 =D .y2= 3x三、抛物线的综合问题例 5、已知过抛物线 y2 = 2pxp0 的焦点, 斜率为 2 ： 2 的直线交抛物线于AX 1,y,Bg y 2 X10 上,M 点到抛物线 C 的焦点 F1的
6、距离为 2, 直线 I:y = -x+ b 与抛物线 C 交于 A,B 两点.21求抛物线 C 的方程.如以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程.练习题1. 已知抛物线 x2= ay 的焦点恰好为双曲线 y2 x22 的上焦点,就 a 等于 A.1B.4C.8D.162. 抛物线-4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为1, 就点 M 的纵坐标是 1715715A. B. C.D. 161616163. 2022 辽宁高考 已知 F 是拋物线 y2 = x 的焦点, A,B 是该拋物线上的两点 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|AF| + |BF| = 3, 就线段
7、AB 的中点到 y 轴的距离为357A-B. 1c.D-444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知抛物线A. 相离y2 二 2px , 以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是B. 相交C. 相切D. 不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知 F 为抛物线 y2 = 8x 的焦点, 过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于点,就|FA| -|FB| 的值等于B. 8C .D.166. 在 y = 2x 2 上有一点 P, 它到 A1,3 的距离与它到焦点的距离之和最小, 就点P 的坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.- 2
8、,1B.1,2C.2,1D.-1,27. 设抛物线 y2= 8x 的焦点为 F, 准线为 I,P 为抛物线上一点 , PA 丄 I,A 为垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_足. 假如直线 AF 的斜率为 - 3,那么|PF 匸A. 4 .3B.8168. 抛物线的顶点在原点,准线方程为x= 2, 抛物线的方程A.y2= 8xB.y2 =8xC.y2 = 4xD.y2 = 4x9 以抛物线 x2= 16y 的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切的圆的方程为10. 已知抛物线的顶点在原点 , 对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q- 3,m到焦点的距离是 5, 就抛物线的方程为.11 .
9、 已知抛物线 y2= 4x 与直线 2x +y - 4 = 0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 F, 那么IFA | + | FB | =.12. 过抛物线如 x1 + x2 =y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于6, 那么|AB|等于 Ax1 ,y1,Bx2 ,y2两点,13 . 依据以下条件求抛物线的标准方程：(1) 抛物线的焦点是双曲线 16x 2 9y 2= 144 的左顶点.过点 P2 , 4.14. 已知点 A 1,0 ,B1 , 1, 抛物线 C:y2= 4x ,O 为坐标原点 , 过点 A 的动直线 I 交抛物线 C 于
10、M,P 两点,直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q. 如向量OM与 OP的夹角为一,求厶 POM 的面积.4解析一、抛物线的定义及其应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、如图,易知抛物线的焦点为F1,0 , 准线是 x= 1.由抛物线的定义知：点 P 到直线 x 二一 1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离.于是,问题转化为：在曲线上求一点P,使点 P 到点 A 1,1 的距离与点 P 到F1,0 的距离之和最小 . 明显,连结 AF 交曲线于 P 点,就所求的最小值为 |AF|,即为丐.(2) 如图,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,就|P1Q
11、| = |P1F|. 就有|PB| + |PF| |P1B| + |P1Q| = |BQ| = 4.即|PB| + |PF|的最小值为 4.例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p,即 p = 4,依据已 知只要 |FM|4 即 可. 依据抛物线定 |FM| = y0 + 2 由 y0 + 24 ,解得 y02 ,故 y0 的取值范畴是 2,+. 二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、设点 AX 1,y1,其中 y10. 由点 B 作抛物线的准线的垂线 ,垂足为 .就|BF|=|BB 1|.又|CB| = 2|FB| ,因此有 |CB|= 2|BB| ,cosZCBB 1 =|BC|1nnp.
12、,/ CBB 1 = j.即直线 AB 与 x 轴的夹角为 .又|AF| = |AK| = X1 +. =4,因此因此 AKF 的面积等于 .|AK|y 1=： M X 2 . 3 = 4 3.|BB 1|例 4 . 分别过点 A、B 作 AA1、BB 1 垂直于 I,且垂足分别为 B1,由已知条件|BC| = 2|BF| 得 |BC| = 2|BB 1|, A/ BCBi = 30.,又 |AA 1|= |AF 匸 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.|AC=| F2|AA 1|= 6, ：|CF| = |AC| |AF| = 6 3 = 3, ：F 为线段 AC 的中点.
13、 故点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13到准线的距离为 p = ： |AA 1 匸 2, 故抛物线的方程为 y2 = 3x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、抛物线的综合问题 例 5、直线 AB 的方程是 y = 2- 2x- 2 , 与 y1 2 3 4 = 2px 联立,从而有 4x2 5px5p+ p2 = 0, 所以： xi + X2 =, 由抛物线定义得： |AB| = xi + X2+ p = 9, 所以 p =44, 从而抛物线方程是 y2= 8x.由 p = 4,4x 2 5px + p2= 0 可简化为 x2 5x + 4 = 0, 从而 1
14、,X2 = 4,yi = 2 2 y2 二 4 ： 2 , 从而 A1 , 2-. 2,B4,4 2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 OC = X3,y3 = 1, 2 : 2 + .4,4 2 二4 入 +1,4, 2 入一 2 : 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y2 = 8X3, 即2 22 入一 1 2 = 84 入 +1.即2 入一 12 = 4 X+ 1.解得入 =0, 或入=2.例 6、 1 设动点 P 的坐标为 x,y, 由题意有 .x 1 2+ y2 |x|= 1.化简得y2= 2x + 2|x|.当 xX 时, y2 = 4x;
15、 当 x0 时, y = 0.所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2 = 4xxM 和 y = 0x0 的准线为 x = ,p由抛物线定义和已知条件可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p P|MF| = 1 2= 1+2 = 2, 解得 p = 2,故所求抛物线 C 的方程为 y2 = 4x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立17一 x +b消去 x 并化简整理得 y2 + 8y 8b = 0.y2 =4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意应
16、有64 + 32b0 , 解得 b 2. 设 Ax ,y,Bx 2,y2 , 贝 U y1 +X1 + X2y + y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2= 8,yy2= 8b, 设圆心 Qx ,y,就应用 x= 丁,y 尸二一 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由于以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,所以圆的半径为 r 二|y匸 4. 又 lAB|= - ： x X2 2 +可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1 y2 2 = 1 1 + 4y1 y2 2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精
17、品_精品资料_练习题 :16.y1 + y264 + 32b所以 |AB| 2r - ： 5 64 + 32b 8, 解得8b .548所以 x1 + X2 2b 2y 1 + 2b 2y2 4b + 16 ,24就圆心 Q 的坐标为 .,4. 故所求圆的方程为 x242 + y+ 42a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 .解析：依据抛物线方程可得其焦点坐标为 0, . , 双曲线的上焦点为 ,2 ,a依题意就有一 2 解得 a 8.45 .解析：抛物线方程可化为 x2 -, 其准线方程为 y 丄设 Mx 0,y0 , 贝仙416可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
18、_115抛物线的定义,可知一 yo = 1.y o= .16 y 163. 解析：依据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到 y 轴的距离113 15为：一 |AF| + |BF| = 一一一 =一24 2 4 44 .解析：设抛物线焦点弦为 AB, 中点为 M , 准线 I,A1、B1 分别为 A、B 在直1线 I 上的射影,就 |AA 1 匸|AF| ,|BB 1|=|BF|, 于是 M 到 I 的距离 d 电 刖 1|+ |BB|1 1=2 |AF |+ |BF| =2ABI=半径,故相切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=x2, 5.解析：依题意 F2,0
19、, 所以直线方程为 y= x 2 由 y2 = 8x, 消去 y 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 12x + 4 = 0.设 AX 1,y1 ,Bx 2,y2 , 就|FA| |FB| = |x1 + 2 x2 + 2| =凶 x2|= ,. X1 + X22 4x 1x2 = 144 16 = 8 :2.6 .解析：如下列图 , 直线 I 为抛物线 y 二 2x 2 的准线, F 为其焦点, PN 丄 I,AN 1 丄 I, 由抛物线的定义知 , |PF| =|PN| ,. . AP| +|PF= |AP| + |PN|AN 1| , 当且仅当 A、P、N 三点共线时
20、取等号.P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1, 就可排除 A、C、D.答案： B7 .解析：设抛物线 y2 = 8x 的焦点为 F , 准线为 I , P 为抛物线上一点 , PA 丄 I ,A为垂足. 假如直线 AF 的斜率为一 3 , 那么|PF|=A. 4B.8C.8 ： 3D.168 .解析：由准线方程 x= 2, 可知抛物线为焦点在 x 轴正,半轴上的标准方程,同时得 p = 4, 所以标准方程为 y2 = 2px = 8x9 .解析：抛物线的焦点为 F0,4 , 准线为 y 二一 4, 就圆心为 0,4 , 半径 r = 8. 所以, 圆的方程为 x2 + y 4 2 二
21、64.a10 .解析：设抛物线方程为 x2 = aya#0 , 就准线为 y = 一. Q 3 ,m 在抛物4a线上, . . 二 am. 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离, jm 一 匸 5.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_99 a将 m = - 代入,得 +- 1 = 5, 解得, a = 2, 或 a= 18 , . 所求抛物线的方程为aa 4x2= 2y , 或 x2=18y.齐 4x11 .解析：由,消去 y, 得 X2 5x+ 4 = 0* , 方程* 的两根为2x+ y 4= 0A、B 两点的横坐标 , 故冷+ X2= 5, 由于抛物线 y2 =
22、4x 的焦点为 F1,0 , 所以|FA | + | FB | = X1 + 1 + 化+ 1= 712 . 解析：因线段 AB 过焦点 F, 就|AB|=|AF| + |BF|. 又由抛物线的定义知 |AF| = x1 + 1 ,|BF| = x2 + 1 , 故|AB| = x1 + x2 + 2 = 8.x2 y213 .解析：双曲线方程化为 9 16 = 1 , 左顶点为 3,0 , 由题设抛物线方程为py2= 2pxp0 , 就一-= 3,： p = 6,. 抛物线方程为 y2 = 12x.2由于 P2 , 4在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2 =mx或 x2=
23、ny, 代入 P 点坐标求得 m = 8,n = 1,.所求抛物线方程为 y2 = 8x 或 x2 = y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 解：设点y1yi yi,y2P： ,y2,vP ,M ,A 三点共线,.4y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 =代y2 y2即芦 =y+2 ,. y2=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+14OM . OPn4 4y2 y2宀 T一 T=.+ yy =5. .向量 OM与 OP 4 41n 5| OM| |- OP | sin = 一.n 的夹角为. ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| cos = 5. .SAPOM =42 42可编辑资料 - - - 欢迎下载