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1、第九章第九章 压杆的稳定压杆的稳定 Column StabilityColumn Stability9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念构件的承载实力构件的承载实力强度强度刚度刚度稳定性稳定性失稳失稳P Pcrcr称为压杆的临界力，或称临界载荷称为压杆的临界力，或称临界载荷称为压杆的临界力，或称临界载荷称为压杆的临界力，或称临界载荷9-2 瘦瘦长压长压杆的杆的临临界力界力力矩力矩力矩力矩挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程若向下弯，所得挠曲方程是一样的若向下弯，所得挠曲方程是一样的若向下弯，所得挠曲方程是一样的若向下弯，所得挠曲方程是一样的1 1、两端铰支压
2、杆的临界力、两端铰支压杆的临界力、两端铰支压杆的临界力、两端铰支压杆的临界力微分方程的解微分方程的解微分方程的解微分方程的解确定积分常数确定积分常数确定积分常数确定积分常数 临界力临界力临界力临界力 P Pcrcr 是微弯下的最小压力是微弯下的最小压力是微弯下的最小压力是微弯下的最小压力，故只能取，故只能取，故只能取，故只能取n n=1=1 且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲此公式的应用条件：此公式的应用条件：1.志向压杆志向压杆2.线弹性范围内线弹性范围内3.两端为球铰支座两端为球铰支座两端铰支压杆临界力的欧拉公式两端铰支
3、压杆临界力的欧拉公式2 2、其他约束状况下压杆的临界力、其他约束状况下压杆的临界力、其他约束状况下压杆的临界力、其他约束状况下压杆的临界力其它支承状况下，压杆临界力为其它支承状况下，压杆临界力为 长度系数（或约束系数）长度系数（或约束系数）l相当于两端铰支压杆的半波正弦曲线的长相当于两端铰支压杆的半波正弦曲线的长度，称为相当长度度，称为相当长度即压杆临界力欧拉公式的一般形式即压杆临界力欧拉公式的一般形式两端约束不同的状况，分析方法与两端铰支的相同两端约束不同的状况，分析方法与两端铰支的相同但是含义不同，对于梁弯曲：但是含义不同，对于梁弯曲：虽然梁弯曲与柱稳定都用了虽然梁弯曲与柱稳定都用了力学上
4、力学上 载荷干脆引起了弯矩载荷干脆引起了弯矩数学上数学上 求解是一个积分运算问题求解是一个积分运算问题 对于柱屈曲（压杆稳定）：对于柱屈曲（压杆稳定）：力学上力学上 载荷在横向干扰力产生的变形上引起载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩了弯矩数学上数学上 是一个求解微分方程的问题是一个求解微分方程的问题3 3、杆端约束状况的简化、杆端约束状况的简化、杆端约束状况的简化、杆端约束状况的简化（1 1）柱形铰约束）柱形铰约束）柱形铰约束）柱形铰约束（2 2）焊接或铆接）焊接或铆接）焊接或铆接）焊接或铆接（3 3）螺母和丝杠连接）螺母和丝杠连接）螺母和丝杠连接）螺母和丝杠连接（4 4）固定端）固定端
5、）固定端）固定端对于与坚实的基础因结成一体的柱脚，可简化为固定端对于与坚实的基础因结成一体的柱脚，可简化为固定端对于与坚实的基础因结成一体的柱脚，可简化为固定端对于与坚实的基础因结成一体的柱脚，可简化为固定端9-3 欧拉公式的适用范围、小柔度杆欧拉公式的适用范围、小柔度杆的临界应力的临界应力一一.临界应力和柔度临界应力和柔度1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力3.柔度：柔度：2.瘦长压杆的临界应力：瘦长压杆的临界应力：同长度、截面性质、支撑条件有关同长度、截面性质、支撑条件有关二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围 着眼点着眼点
6、 临界应力在线弹性内（小于比例极限）临界应力在线弹性内（小于比例极限）三、阅历公式、临界应力总图三、阅历公式、临界应力总图1.直线型阅历公式直线型阅历公式 P S 时：时：S 时：时：临界应力总图临界应力总图bass-=l l PPE p pl l2 =2.抛物线型阅历公式抛物线型阅历公式我国建筑业常用：我国建筑业常用：P s 时：时：s 时：时：对于临界应力的理解对于临界应力的理解（1）它的实质：）它的实质：象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 平安因数就是稳定中的应力极限平安因数就是稳定中的应力极限（2）同作为常数的比例极限、屈服极限不同，）同作为常
7、数的比例极限、屈服极限不同，变更的临界应力依靠压杆自身因素而变变更的临界应力依靠压杆自身因素而变例例例例9-2 9-2 一截面为一截面为一截面为一截面为12X20cm212X20cm2的矩形木柱，长的矩形木柱，长的矩形木柱，长的矩形木柱，长l=4ml=4m，其支承状况，其支承状况，其支承状况，其支承状况是：在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支，在最小刚度平面是：在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支，在最小刚度平面是：在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支，在最小刚度平面是：在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支，在最小刚度平面内弯曲时为两端固定，木柱为松木，其弹性模量内弯曲时为两端固定，木柱为松木，其弹性模量内弯
8、曲时为两端固定，木柱为松木，其弹性模量内弯曲时为两端固定，木柱为松木，其弹性模量E=10GPaE=10GPa，试求木柱的临界力和临界应力试求木柱的临界力和临界应力试求木柱的临界力和临界应力试求木柱的临界力和临界应力解解解解:(1):(1)计算最大刚度平面内的临计算最大刚度平面内的临计算最大刚度平面内的临计算最大刚度平面内的临界力和临界应力。界力和临界应力。界力和临界应力。界力和临界应力。截面的惯性矩为：截面的惯性矩为：截面的惯性矩为：截面的惯性矩为：相应惯性半径：相应惯性半径：相应惯性半径：相应惯性半径：其柔度为：其柔度为：其柔度为：其柔度为：其临界力可用欧拉公式计算得：其临界力可用欧拉公式计
9、算得：其临界力可用欧拉公式计算得：其临界力可用欧拉公式计算得：临界应力为：临界应力为：临界应力为：临界应力为：(2)(2)计算最小刚度平面内的临界力和临界应力。计算最小刚度平面内的临界力和临界应力。计算最小刚度平面内的临界力和临界应力。计算最小刚度平面内的临界力和临界应力。截面的惯性矩为：截面的惯性矩为：截面的惯性矩为：截面的惯性矩为：相应惯性半径：相应惯性半径：相应惯性半径：相应惯性半径：其柔度为：其柔度为：其柔度为：其柔度为：由经验公式计算其临界应力由经验公式计算其临界应力由经验公式计算其临界应力由经验公式计算其临界应力临界力为：临界力为：临界力为：临界力为：比较计算结果可知，第一种状况的
10、临界力小，所以压杆比较计算结果可知，第一种状况的临界力小，所以压杆比较计算结果可知，第一种状况的临界力小，所以压杆比较计算结果可知，第一种状况的临界力小，所以压杆失稳时将在最大刚度平面内产生弯曲。失稳时将在最大刚度平面内产生弯曲。失稳时将在最大刚度平面内产生弯曲。失稳时将在最大刚度平面内产生弯曲。9-4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的稳定条件为：压杆的稳定条件为：压杆的稳定条件为：压杆的稳定条件为：例例例例9-3 9-3 千斤顶丝杠长度千斤顶丝杠长度千斤顶丝杠长度千斤顶丝杠长度l=37.5cml=37.5cm，内径，内径，内径，内径d=4cmd=4cm，材料为，材料为，材料为，材料为454
11、5钢，钢，钢，钢，最大起重量最大起重量最大起重量最大起重量P=80kNP=80kN，规定的稳定平安系数，规定的稳定平安系数，规定的稳定平安系数，规定的稳定平安系数nst=4,nst=4,试校核丝试校核丝试校核丝试校核丝杠的稳定性杠的稳定性杠的稳定性杠的稳定性解：（解：（解：（解：（1 1）计算柔度）计算柔度）计算柔度）计算柔度丝杠可简化为下端固定，上端自由丝杠可简化为下端固定，上端自由丝杠可简化为下端固定，上端自由丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆，长度系数取的压杆，长度系数取的压杆，长度系数取的压杆，长度系数取=2=2。丝杠的惯性半径为：丝杠的惯性半径为：丝杠的惯性半径为：丝杠的惯性半径为
12、：由表由表由表由表9-29-2中查得，中查得，中查得，中查得，4545钢的钢的钢的钢的s=60s=60，P=100 P=100，此丝杠的柔，此丝杠的柔，此丝杠的柔，此丝杠的柔度界于两者之间，为中柔度杆，故应用阅历公式计算度界于两者之间，为中柔度杆，故应用阅历公式计算度界于两者之间，为中柔度杆，故应用阅历公式计算度界于两者之间，为中柔度杆，故应用阅历公式计算其临界力。其临界力。其临界力。其临界力。（2 2）计算临界力，校核稳定）计算临界力，校核稳定）计算临界力，校核稳定）计算临界力，校核稳定又由表又由表又由表又由表9-29-2查得：查得：查得：查得：a=589MPaa=589MPa，b=3.82
13、MPab=3.82MPa，利用中长，利用中长，利用中长，利用中长杆的临界应力公式，可得丝杠的临界力为：杆的临界应力公式，可得丝杠的临界力为：杆的临界应力公式，可得丝杠的临界力为：杆的临界应力公式，可得丝杠的临界力为：丝杠的工作稳定安全系数为：丝杠的工作稳定安全系数为：丝杠的工作稳定安全系数为：丝杠的工作稳定安全系数为：校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的解：（解：（解：（解：（1 1）计算柔度）计算柔度）计算柔度）计算柔度考虑起重臂在平面考虑起重臂在平面考虑起重臂在平面考虑起重臂在平面OxyOx
14、y内失稳时，内失稳时，内失稳时，内失稳时，两端可简化为铰支；考虑在平面两端可简化为铰支；考虑在平面两端可简化为铰支；考虑在平面两端可简化为铰支；考虑在平面OxzOxz内失稳时，应简化为一端固定，内失稳时，应简化为一端固定，内失稳时，应简化为一端固定，内失稳时，应简化为一端固定，一端自由的压杆，应根据后者计算一端自由的压杆，应根据后者计算一端自由的压杆，应根据后者计算一端自由的压杆，应根据后者计算起重臂的柔度。长度系数取起重臂的柔度。长度系数取起重臂的柔度。长度系数取起重臂的柔度。长度系数取=2=2。丝杠的惯性半径为：丝杠的惯性半径为：丝杠的惯性半径为：丝杠的惯性半径为：例例例例9-5 9-5
15、简易起重机起重臂简易起重机起重臂简易起重机起重臂简易起重机起重臂OAOA长长长长l=2.7ml=2.7m，由外径，由外径，由外径，由外径D=8cmD=8cm，内径，内径，内径，内径d=7cmd=7cm的无缝钢管制成，材料的无缝钢管制成，材料的无缝钢管制成，材料的无缝钢管制成，材料Q235Q235钢，规定的稳定平安系数钢，规定的稳定平安系数钢，规定的稳定平安系数钢，规定的稳定平安系数nst=3nst=3，试确定起重臂的平安载荷。，试确定起重臂的平安载荷。，试确定起重臂的平安载荷。，试确定起重臂的平安载荷。为大柔度杆，应按欧拉公式计算其临界力。为大柔度杆，应按欧拉公式计算其临界力。为大柔度杆，应按
16、欧拉公式计算其临界力。为大柔度杆，应按欧拉公式计算其临界力。（2 2）计算临界力，确定平安载荷）计算临界力，确定平安载荷）计算临界力，确定平安载荷）计算临界力，确定平安载荷圆管横截面的惯性矩为：圆管横截面的惯性矩为：圆管横截面的惯性矩为：圆管横截面的惯性矩为：起重臂的临界力为：起重臂的临界力为：起重臂的临界力为：起重臂的临界力为：起重臂的最大平安载荷为：起重臂的最大平安载荷为：起重臂的最大平安载荷为：起重臂的最大平安载荷为：9-5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施（1）减小压杆长度）减小压杆长度（2）合理选择截面形态）合理选择截面形态（3）加强约束的紧固程度）加强约束的紧固程度（4）合
17、理选择材料）合理选择材料小结小结1、压杆稳定性的概念、压杆稳定性的概念2、临界力的求取。、临界力的求取。对于大柔度杆，用欧拉公式计算，即：对于大柔度杆，用欧拉公式计算，即：对于大柔度杆，用欧拉公式计算，即：对于大柔度杆，用欧拉公式计算，即：对于中柔度杆，用阅历公式计算，即：对于中柔度杆，用阅历公式计算，即：对于中柔度杆，用阅历公式计算，即：对于中柔度杆，用阅历公式计算，即：对于小柔度杆则属于强度问题，应按强度条件进行计算对于小柔度杆则属于强度问题，应按强度条件进行计算对于小柔度杆则属于强度问题，应按强度条件进行计算对于小柔度杆则属于强度问题，应按强度条件进行计算3、压杆的稳定计算常用安全系数法
18、，其、压杆的稳定计算常用安全系数法，其稳定条件为：稳定条件为：4、进行稳定性计算时应当留意以下几点：、进行稳定性计算时应当留意以下几点：（1 1）首先须依据压杆的支承状况，进行简化，确定适）首先须依据压杆的支承状况，进行简化，确定适）首先须依据压杆的支承状况，进行简化，确定适）首先须依据压杆的支承状况，进行简化，确定适当的长度系数当的长度系数当的长度系数当的长度系数（2 2）其次是要辨明压杆可能在哪个平面内丢失稳定。）其次是要辨明压杆可能在哪个平面内丢失稳定。）其次是要辨明压杆可能在哪个平面内丢失稳定。）其次是要辨明压杆可能在哪个平面内丢失稳定。a.a.假如压杆在两个纵向平面内的约束状况相同，
19、可假如压杆在两个纵向平面内的约束状况相同，可假如压杆在两个纵向平面内的约束状况相同，可假如压杆在两个纵向平面内的约束状况相同，可比较截面的两个惯性矩的大小比较截面的两个惯性矩的大小比较截面的两个惯性矩的大小比较截面的两个惯性矩的大小 b.b.如截面的两个惯性矩相等，则依据在两平面内的如截面的两个惯性矩相等，则依据在两平面内的如截面的两个惯性矩相等，则依据在两平面内的如截面的两个惯性矩相等，则依据在两平面内的约束状况来推断；约束状况来推断；约束状况来推断；约束状况来推断；c.c.如两平面内的约束状况和对应的惯性矩均不相同，如两平面内的约束状况和对应的惯性矩均不相同，如两平面内的约束状况和对应的惯性矩均不相同，如两平面内的约束状况和对应的惯性矩均不相同，则以柔度的大小推断。则以柔度的大小推断。则以柔度的大小推断。则以柔度的大小推断。（3 3）计算临界力时，须先计算出压杆的柔度，然后依）计算临界力时，须先计算出压杆的柔度，然后依）计算临界力时，须先计算出压杆的柔度，然后依）计算临界力时，须先计算出压杆的柔度，然后依据的数值，选定计算临界力的公式据的数值，选定计算临界力的公式据的数值，选定计算临界力的公式据的数值，选定计算临界力的公式