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1、材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉 公式公式 压杆的长度因数压杆的长度因数9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 临界应力总图临界应力总图9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9-6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 压杆的合理截面压杆的合理截面材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例：一长为例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm。钢
2、的许用应力为。钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计按强度条件计算得算得钢板尺所能承受的轴向压力为钢板尺所能承受的轴向压力为P=A =3.92 KN实际上，当压力不到实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。时，钢尺就被压弯。9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度抗压刚度，而，而是与是与 受压时变弯（弯曲刚度）受压时变弯（弯曲刚度）有关。有关。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定实际杆件实际杆件轴线存在初始曲率轴线存在初始曲率;压力作用线与轴线不重合压力作用线与轴线不重合;材料不均匀。材料不均匀。中心
3、受压直杆中心受压直杆轴线为直线轴线为直线;压力作用线与轴线重合压力作用线与轴线重合;均质材料。均质材料。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定微小力回复力矩 主动 力矩回复力矩回复力矩主动力矩主动力矩=稳定平衡稳定平衡临界临界不稳定平衡不稳定平衡临界力临界力Fcr材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定两端球形铰支长为两端球形铰支长为 l 的等截面细长中心受压直杆的等截面细长中心受压直杆9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式wcrFx2llmmBw
4、x材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定压杆任一压杆任一x截面上的挠度为截面上的挠度为该截面的弯矩为该截面的弯矩为挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为mmBwxI 为压杆横截面为压杆横截面最小最小形心主惯性矩形心主惯性矩材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定令令则导出二阶常系数线性微分方程则导出二阶常系数线性微分方程令令通解通解A，B，k 三个待定常数三个待定常数。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定边界条件边界条件wcrFx2ll材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定要想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下平衡只有平衡只有压杆在微弯压杆在微弯状态
5、状态下平衡，只有下平衡，只有最小解为最小解为 n=1 的解的解欧拉公式欧拉公式材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 n=1半波正弦曲半波正弦曲线线 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定1两端铰支两端铰支9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式欧拉公式 压杆的长度因数压杆的长度因数lcrF材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2一端固定另端铰支一端固定另端铰支C为拐点为拐点 l cr F0.7l材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定3两端固定两端固定C，D为拐点为拐点 l crF
6、D0.5l材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定4一端固定另端自由一端固定另端自由crFll材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 长度因数长度因数两端铰支两端铰支一端固定另端铰支一端固定另端铰支两端固定两端固定一端固定另端自由一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动两端固定但可沿横向相对移动材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定欧拉公式欧拉公式 的统一形式的统一形式 l 为相当长度为相当长度讨论讨论（1）相当长度）相当长度 l 的的物理意义物理意义1压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长度压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长度
7、2各种支承条件下的细长压杆各种支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线失稳时，挠曲线中中相当于半波正相当于半波正弦弦曲线的一段曲线的一段长度长度材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I1若若杆杆端端在在各各个个方方向向的的约约束束情情况况相相同同（球球形形铰铰等等），则则 I 应取应取最小最小的形心主惯性矩。的形心主惯性矩。2若若杆杆端端在在各各个个方方向向的的约约束束情情况况不不同同（柱柱形形铰铰），应应分分别别计计算算杆杆在在不不同同方方向向失失稳稳时时的的临临界界力力。I为为其其相相应应的的对对中中性性轴的惯性
8、矩。轴的惯性矩。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-3-1 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，的压力最大，哪一根的最小？哪一根的最小？aF(1)F1.3a(2)F(3)1.6a因为因为又又可知可知（1）杆承受的压力最小，最先失稳；杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。杆承受的压力最大，最稳定。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定F aAB a2C解解：故取故取例例9-3-2 已已知知：图图示示压压杆杆EI，且且杆杆在在B支支承承处处不不能能转转动。动。求临界压力。求临界压力。
9、材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-3-3 工工字字型型截截面面杆杆，两两端端柱柱形形铰铰，杆杆长长l=1.0m。在在xy平平面面内内失失稳稳时时，杆杆端端约约束束情情况况为为两两端端铰铰支支。在在xz平平面面内内失失稳稳时时，杆杆端端约约束束情情况况为为两两端端固固定定。弹弹性性模模量量E=100GPa。求。求 Fcr。zy2212 6 624材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定解：解：在在xy平面内失稳时，平面内失稳时，z为中性轴为中性轴zy2212 6 624材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定在在xz平面内失稳时，平面内失稳时，y为中性轴为中
10、性轴zy2212 6 624材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定一、欧拉公式的应用范围一、欧拉公式的应用范围(1)压杆的临界应力公式（欧拉公式）压杆的临界应力公式（欧拉公式）压杆受临界力压杆受临界力Fcr作用在直线平衡形态下维持作用在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力为不稳定的平衡时，横截面上的压应力为9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 临界应力总图临界应力总图压杆横截面对压杆横截面对中性轴中性轴的惯性半径的惯性半径材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定临界应力公式临界应力公式压杆的柔度（长细比）压杆的柔度（长细比）越大，相应的越大，相应的 cr
11、 越小，压杆越容易失稳。越小，压杆越容易失稳。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定若若压压杆杆在在不不同同平平面面内内失失稳稳时时的的支支承承约约束束条条件件不不同同（,I），应应分分别别计计算算在在各各平平面面内内失失稳稳时时的的柔度柔度，并按，并按较大者较大者计算压杆的临界应力计算压杆的临界应力 cr。长长细细比比 集集中中地地反反映映了了压压杆杆的的杆杆端端约约束束、长长度度、截面尺寸和形状对截面尺寸和形状对临界应力的影响。临界应力的影响。讨论讨论材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定(2)欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围只只有有在在线线弹弹性性范范围围内内，即
12、即 cr P 时时，才才可可用用欧欧拉公式拉公式计算压杆的临界力计算压杆的临界力 Fcr（临界应力临界应力 cr）。）。或或材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定当当 p（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。折减弹性模量法折减弹性模量法当当 p（大大柔柔度度压压杆杆或或细细长长压压杆杆）时时，才才能能应应用用欧欧拉公式。拉公式。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定二、压杆的临界应力总图二、压杆的临界应力总图折减弹性模量法折减弹性模量法材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：例例9-4-1 两两端端固
13、固定定的的直直径径为为d 的的圆圆形形截截面面细细长长压压杆杆；两两端端铰铰支支的的边边长长为为d 的的正正方方形形截截面面细细长长压压杆杆。若若两两杆杆材材料料及柔度相同，求长度之比和临界力之比。及柔度相同，求长度之比和临界力之比。圆形圆形截面截面杆杆材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定正方形截面杆正方形截面杆由由 1=2 得得材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例 9-4-2：钢钢 管管 E=210GPa，p=200MPa，温温 度度 系系 数数a a=12.510-6(C)-1，D=10cm，d=8cm，长长7m，求求钢钢管管不失稳允许温升。不失稳允许温升。(设
14、无初应力设无初应力)材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定解：解：大柔度杆，可应用大柔度杆，可应用Euler公式。公式。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定设设温度增加温度增加D DT，温度，温度应应力力又又材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定压杆的强度条件压杆的强度条件 (强度许用应力强度许用应力)9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数压杆的稳定性条件压杆的稳定性条件 (稳定许用应力稳定许用应力)稳定因数，是柔度稳定因数，是柔度 的函数的函数因因为为必必须须考考虑压虑压杆初曲率、偏心加杆初曲率、偏心加载载以及残余以及残余应应力等力等不利因素，不利因素，
15、稳稳定安全因数定安全因数 nst一般应大于强度安全因数一般应大于强度安全因数n。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定木材木材稳稳定因数定因数钢结钢结构（构（Q235钢钢），分），分为为a、b、c三三类类截面。截面。树树种种强强度等度等级为级为:TC17、TC15和和TB20材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定树树种种强强度等度等级为级为:TC13、TC11、TB17和和TB15材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定例例9-5-1 正正方方形形截截面面梁梁AB长长l=2m,边边长长b=150mm,材材料料=160MPa;圆圆形形截截面面柱柱AD两两端端铰铰支支,
16、直直径径d=36mm,长长a=0.9m.已已知知:E=200GPa,p=90,nst=3。求许可载荷求许可载荷F。材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 对梁对梁材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 对柱对柱 材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定9-6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 压杆的合理截面压杆的合理截面压杆的稳定条件压杆的稳定条件 稳稳定定性性是是整整体体量量，可可以以不不考考虑虑如如铆铆钉钉孔孔等等的的局局部部削削弱弱。含含孔孔杆杆的的孔孔对对杆杆的的稳稳定定性性影影响响不不大大，但但对对强强度却有影响。度却有影响。材料力学材料力学 第九章第九章 压
17、杆稳定压杆稳定压杆的合理截面压杆的合理截面1.材料选择：提高弹性模量材料选择：提高弹性模量虽虽然然高高强强度度钢钢对对强强度度提提高高较较大大，但但高高强强度度钢钢并并不不能能提提高高弹弹性性模模量量，因因而而不不能能通通过过采采用用高高强强度度钢钢来来提提高高稳定性。稳定性。2.改变压杆两端的约束形式改变压杆两端的约束形式材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定DCBA2m2m2mAB梁为梁为16号工字钢号工字钢CD杆由两根杆由两根 角钢组成角钢组成10mm材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定DCBA2m2m2mAC段与段与BC段相同段相同CD段段材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 压杆压杆CD 10mm压杆压杆CD不稳定不稳定材料力学材料力学 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 梁梁AB