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1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、知识要点：1、一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，b2-4ac叫做方程的根的判别式，记作“”0 方程有两个不相等的实数根=0方程有两个相等的实数根0方程没有实数根。2、一元二次方程根与系数的关系：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，当0时，方程有两个实数根，设其两根为x1、x2，则：x1+x2= x1、x2=（2）以x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2（x1+x2）x+ x1x2=0二、基础训练：（1）方程x2+2 x3=0的根的判别式= ，根的情况是 （2）若方程4 x2+ x+k=0有
2、两个相等的实数根，则k= （3）若方程2 x2 3x4=0的两个相等的实数根，则 x1+x2= ， x1x2= x12+x22= ，+ ，+= （x1x2）2= （4）若方程x2+kx+5=0的一个根为1，则另一根为 ，k= （5）若2，3为两根的（二次项系数是1）一元二次方程是 三、例题讲解：例1：已知关于x的一元二次方程x25x+（k+2）=0，k是使方程有实数根的最大整数，求k的值。 解：方程有实数根，0，即 （5）24（k+2）0 解之得k又k是使方程有实数根的最大整数 k=4例2：已知方程x2(k+2)x+3k2=0的两个实数根为x1、x2，且x11+x22=23，求k的值。 解：由
3、题意可得 x1+x2=k+2， x1x2=3k2 x11+x22=23 （k+2）22(3k2)=23 整理得 k22k15=0 解之得 k1=5, k2=3当k=5时，原方程为x27x+13=0 此时0 故k=5舍去当k=3时，原方程为x2+x11=0 此时0 方程有实数根 k=3例3：已知关于x的方程x23x+2k1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且函数y=2kx+x1的图像随x的增大而减小，求满足条件的整数k。 解：y=2kx+x+1的图像y随x的增大而减小 2k+10 k 且方程有两实数根0 得 94（2k1）0 k 又 方程x23x+2x1=0 两个实根的平方和不小于两根
4、的积， 即x12+x22x1x2 得 93（2k1）0 k2 综合、得 k又 k为整数 k=1四、课堂练习A组（1）关于x的方程x2(2k1)x+k21=0的两根互为倒数，则k= （2）若m是使关于x的方程mx24x+5=0有两个不等的实数根的最大整数，则m= （3）设、为方程3x26x+1=0的两根 则（+1）（+1）= B组（1）设x1、x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1, x2+1是方程x2+qx+p=0的两根，求p、q的值。（2）已知、是方程x22x5=0的两根，求2+2的值。（3）若实数a、b使得a23a+1=0、b23b+1=0 且ab，求a2+b2的值。C组（1
5、）设等腰三角形三边长为a、b、c，且ac，若关于x的一元二次方程ax2bx+c=0的两根之差为，求等腰三角形的底角。（2）如图所示，抛物线y=x23x+k交x轴于A、B两点，试确定k的值范围。五、小结：1、一元二次方程根的判别式的作用：（1）已知方程，由与0的大小关系判断方程根的情况。（2）已知方程根的情况，可得到与0的大小关系，从而确定方程中未知系数的值或取值范围。2、一元二次方程根与系数的关系的应用。（1）已知方程，求有关方程两根的代数式的值。（2）已知有关方程两根的代数式的值，求方程中的未知系数。（3）已知方程一根，求方程的另一根和未知系数的值。常用的恒等变形有：x12+x22=（x12+x22）2 x1x2 += （x1x2）2=(x1+x2)24x1x23、利用一元二次方程根与系数的关系解决问题，前提条件是0，在解决求一元二次方程中未知系数的问题时，我们可以由0确定一个初始范围，在该范围内确定k的值。再检验此是于大于等于零而决定该数值的条件等式。