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1、专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念1. 方程定义：含有未知数的等式叫方程。2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。4.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 （）.二、一元二次方程的解法1直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.2配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方
2、法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解.3公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程求根公式是：（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定的值，在的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。2 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如：如果，那么x1=0或x5=0。因式分解法简便易行，
3、是解一元二次方程的最常用的方法。3 因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。4形如的方程，可用提公因式法求方程的根：。5形如的方程，可用平方差公式把左边分解。三、一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根的判别式： （1）方程有两个不等实数根 （2）方程有两个相等实数根 （3）方程无实数根（4）方程有两个实数根 运用根的判别式时要注意：关于的方程有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则若有实数根，则分两种情况：；四、一元二次方程
4、根及系数关系（韦达定理） 1若一元二次方程的两个实数根为，则 2以为根的一元二次方程可写成 3使用一元二次方程的根的判别式解题的前提是二次项系数 4不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根的对称式的值的方法是先将式子化成只含，的形式，然后利用根及系数的关系代入求值要特别注意如下公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数
5、学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1） 找找出题中的等量关系（2） 设设未知数（3） 列列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4） 解解出所列的方程（5） 验将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6） 答作答下结论4、中考改革趋势一元二
6、次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景及二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1 考察一元二次方程概念1(年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是（ ）A、 B、 C、 D、2(年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、x2+x-1=x2 3(年陕西西安)方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）A、 B、 C、=-2 D、4(年武汉)一元二次方程，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ）A、 B、 C、 D、2 考察一元二次方程根的概念1.(江苏苏
7、州)若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= 2（ 河北）已知x=1是一元二次方程的一个根，则 的值为 3.（ 广东珠海）已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。3 考察一元二次方程解法1（四川眉山）一元二次方程的解为_2（江苏无锡）方程的解是3（年上海）方程 = x 的根是_.4（湖南常德）方程的两根为( )A6和-1B-6和1C-2和-3D2和35（云南楚雄）一元二次方程x240的解是（ ）Ax12，x22 Bx2 Cx2 D x12，x206（河南）方程的根是 (A) (B) (C) （D）7（四川内江）方程x(x1)2的解是Ax1B
8、x2Cx11，x22Dx11，x228(江苏苏州)解方程：4 考察一元二次方程判别式1（甘肃兰州） 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 2（ 江苏连云港）若关于x的方程x2mx30有实数根，则m的值可以为_(任意给出一个符合条件的值即可)3（湖北荆门）如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是 4（江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A一元二次方程有实数根； B一元二次方程有实数根； C一元二次方程有实数根； D一元二次方程x2+4x+5=a(a1)有实数根5（安徽芜湖）关于x的方程(a 5)x24x10有实数根，则a满足（）Aa1 Ba1且a5 Ca1
9、且a5 Da56（10湖南益阳）一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足（ ）0 0 0 07（年上海）已知一元二次方程 x2 + x 1 = 0，下列判断正确的是（ ）A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定8（山东潍坊）关于x的一元二次方程x26x2k0有两不等实根，则实数k的取值范围是（ ）AkBkCk Dk9（四川攀枝花）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）Ax+1=0 B9 x6x+1=0 Cx Dx10（北京）已知关于x的一元二次方程x-4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根11
10、（广东中山）已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为，且+3=3，求m的值。12（ 四川成都）若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.13（年贵州毕节）已知关于的一元二次方程有两个实数根和（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值14（ 四川南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根15（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。16（ 广西玉林、防城港）（6分）当实数k为何值时，关于x的方程x4x3k0有两个相等的实数根？并求出这
11、两个相等的实数根。5 考察一元二次方程根及系数关系1（安徽芜湖）已知x1、x2为方程x23x10的两实根，则x138x220_2（ 四川成都）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_3（湖北鄂州）已知、是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（-3）（-3）= 4（江苏南通）设x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的两个根， 2x1(x22+5x23)+a =2，则a= 5（山东烟台）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x1-1）=_。6（四川 泸州）已知一元二次方程的两根为、,则_.7（ 云南玉溪）一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是
12、x1,x2, 则x1+x2等于 A. 5 B. 6 C. -5 D. -68（湖南娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实根为x1、x2，则两根及方程系数之间有如下关系：x1+x2= ，x1x2= 根据上述材料填空：已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则 +=_. 9（广西百色）方程-1的两根之和等于 .10（山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（A）3，2 （B）3，-2 （C）2，3 （D）2，3 11(四川眉山）已知方程的两个解分别为、，则的值为A B C7 D312（ 嵊州市）
13、已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）A5 B.5 C.-9 D.913（四川乐山）：若关于的一元二次方程有实数根（1） 求实数k的取值范围；（2） 设，求t的最小值14（ 四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值15（ 山东淄博）已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值6 实际应用1. (年兰州市) 上海世
14、博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A B C D2（年铁岭市）为了美化环境，某市加大对绿化的投资年用于绿化投资20万元，年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为（ ）ABC D3（年安徽）某市年国内生产总值（GDP）比年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是【 】ABCD4（青海）图5在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个
15、挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）ABCD5（年甘肃庆阳）如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A1米B1.5米C2米D2.5米6.(年鄂州)10、某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）A、 B C、50(1+2x)182 D 7.（江西）为了让江西的山更绿、水更清，年省委、省政府提出了确保到年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知年我省森林覆盖率为60.05%，设从年起我省森林
16、覆盖率的年平均增长率为，则可列方程（ ）A BCD8.(宁夏)某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程为（ ）A BC D9.（年兰州）年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，下面所列方程正确的是A BCD10（山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 11.（年江苏省）某县年农民人均年收入为7 800元，计划到年，农民人均年收入达到9 10
17、0元设人均年收入的平均增长率为，则可列方程 12.某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是_.13.（年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm214.(年本溪)由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为，则根据题意可列方程为 15（临沂）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本
18、为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为_16（安徽省中中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月分的12600元/问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由。17.(年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.（1）当每间商铺的年租
19、金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益租金各种费用）为275万元？18.(年山东聊城)年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且年全市国民生产总值要达到1726亿元（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）（2）求年至年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）19（年包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）及销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，（1）求一次函数的表达式；（2）若该
20、商场获得利润为元，试写出利润及销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围20. (年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1） 若该小区2006年底到年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到年底家庭轿车将达到多少辆？（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的
21、数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 21（年中山）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？22.（年宁波市）年4月7日，国务院公布了医药卫生体制改革近期重点实施方案（年，某市政府决定年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比年增加了1250万元投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计年投入“需方”的资金将比年提高30%，投
22、入“供方”的资金将比年提高20%（1）该市政府年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从年每年的资金投入按相同的增长率递增，求年的年增长率23.(年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化（1）设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离及到的距离都相等，其余为硬化地面，如图所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由已知m,n是一元二次方程的两个根，求的值14 / 14