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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【中学数学教案】立体几何教案一,空间直线与直线的关系a ,相交 b ,平行 c ,异面 a , 相交直线b, 平行公理： 空间中平行于同一条直线的两条直线平行c, 异面直线：1,求异面直线所成角问题 注：利用平行公理找角,利用余弦定理运算,结果要锐角或直角名师归纳总结 异面直线所成角的范畴0,0 90CC1中点,就直线AE第 1 页,共 36 页平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角例：正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中, E,F 分别是BB 1和- - - - - - -精选学习资料 - - - -
2、 - - - - - 学习必备 欢迎下载和 BF 所成角的余弦值 补形法补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体例 ： 在 直 三 棱 柱A 1B 1C1ABC中 ,1BCA90, 点D1,F1分 别 是A 1B 1,A 1C1中点, BC=CA= C1,就BD与AF1所成角的余弦值、15 10A、30 B 10、1 C 2、30 D 152,求异面直线之间的距离问题和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离；二,空间直线和平面关系 a , 直线与平面平行 b , 直线与平面垂直 c , 直线与平面斜交射影定理和三垂线定理a,
3、 线面平行 1, 判定定理：如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,就这条直线和这个平面平行； 2, 性质定理：如一条直线和一个平面平行,就过这条直线的平面和这个已知平面的交线必和这条直线平行；b, 线面垂直 1, 判定定理： I, 如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,就这条直线和这个平面垂直； II, 如两条平行直线中的一条垂直于一个平面,就另一条也垂直于这个平面；名师归纳总结 2, 性质定理： I ,如两条直线同垂直于一个平面,就这两条直线平行；第 2 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 II,过一点能
4、且仅能做一条直线与一个平面垂直； c, 射影定理 1,射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长； 2,相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长； 3,垂线段比任何一条斜线段都短；d, 三垂线定理 1,平面内的一条直线,如和斜线在平面内的射影垂直,就这条直线和斜线垂直； 2,平面内的一条直线,如和平面的斜线垂直,就这条直线和斜线在平面内的射影垂直；三,空间平面和平面的关系 a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交a , 面面平行 1, 判定定理： I , 假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行； II, 垂直于同一条直线的两个平面平行； III
5、假如一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平行,那么这两个平面平行； 2 , 性质定理： I , 假如两个平行平面分别和第三个平面相交,那么它们的两条交线平行； II, 夹在两个平行平面间的平行线段的长相等； III,假如两个平行平面中,有一个平面和一条直线垂直,那么另一个平面也和这条直线垂直；b, 面面垂直名师归纳总结 1,定义：两个平面相交,假如所成的二面角是直二面角,就称这两个平面相互垂直；第 3 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2,判定定理：学习必备欢迎下载假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互
6、垂直； 3,性质定理： I ,假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面； II, 假如两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于其次 个平面的直线,在第一个平面内； III,假如两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于 第三个平面；c, 二面角把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,定义： 一个平面内的一条直线,从一条直线动身的两个半平面所组成的图形,叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的 两条射线,两条线所成的角叫做二面角的平面角；空间直线,平面的做题方
7、法；一、空间平行关系转化图及相关定理面面平行判定定理推论线线平行平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行判定定理判定定理公理线面平行面面平行性质定理基本性质面面平行性质定理I ,线面平行的判定方法平行关系转画图利用线线平行证线面平行利用面面平行证线面平行向量法 （后面讲）线面平行定义 :直线与平面没有公共点II ,线线平行关系的判定名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载常见的线线平行的判定方法有平行公理平行关系转画图 从线面平行到线线平行从面面平行到线面平行三角形,平行四边形（菱形,矩形,正方形）
8、梯形中位线性质 在找三角形中位线是经常利用平行四边形（菱形,矩形,正方形）对角线相互平分 利用平行线分线段成比例定理推论找平行线 平行于三角形一边,截其它两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例D A E DE BC DEADAEDBECADAEDEABACBC注：反之任取一组比例式可推得 BC D B C E DE BC A DAEADEACABBC注：反之任取一组比例式可推知DE BC B C 向量法 （后面讲）垂直于同一平面的两条直线平行例 如下列图：已知E,F,G,M 分别是四周体的棱AD , CD,BD ,BC 的中点,求证：AM| 面 EFG A E B M G N N C 设计说
9、明：可以通过面面平行证线面平行名师归纳总结 例 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D1,棱长为 a,E,F 分别在AB1,BD 上,且B1EBF第 5 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求证： EF|平面BCC 1B 1学习必备欢迎下载法一：A D F B M C 此题证明从线线平行到线面平行；在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论A1D1E B1C1法二：A D F B G C 法二也是从线线平行到线面平行,做平行线构造平行四边形证线线平行A1D1E B1H C1III 面面平行关系的判定面面平行判定方法平行关系转画图利用线
10、面平行证面面平行利用线线平行证面面平行向量法（后面讲）垂直于同始终线的两个平面平行 面面平行的定义：两个平面没有公共点名师归纳总结 例 三棱柱 ABC-A 1B 1C 1,D 是 BC 上一点, 且A1B|平面AC1D,D1 是B 1C 1中点,第 6 页,共 36 页求证：平面ABD1|平面AC1D的 棱 长 都 是a,M,N分 别 是 下 底 面 棱例1如 图 所 示 正 方 体ABCD-A 1B 1C1D1A 1B 1,B 1C1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的中点, P 是上底面棱学习必备欢迎下载P,Q,Q 在AD 上一点, AP=a ,过
11、 P, M,N 的平面交上底面于 3CD 上,就 PQ= A P D Q B C D1C1N A1M B1答案：232a二 ,空间垂直关系转化图及相关定理线面垂直的判定定理 面面垂直的判定定理线线垂直线面垂直定义线面垂直面面垂直的性质定理面面垂直典型例题I , 线面垂直的判定与性质线面垂直与面面垂直是今后我们要讨论的主要问题；问题的关键是线线垂直；线线垂直的判定方法 空间线面垂直证线线垂直 利用三垂线定理 向量法 利用勾股定理算垂直 线面垂直的判定方法空间垂直关系转化图利用线线垂直证线面垂直利用面面垂直证线面垂直向量法例 1 如下列图,AB圆 O的直径,C为圆 O上一点,AP面ABC,AEBP
12、于 E,AFCP于 F,名师归纳总结 求证：BP平面AEF第 7 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载P F E 此题通过线线垂直证明线面垂直,在找线面垂直条件时采纳了三垂线定理和圆的直径对直角的性质C A O B PDA45练习：如图已知 PA垂直于矩形ABCD所在的平面, M,N分别是 AB,PC的中点,如求证：MN面PCDP A N Q D 提示：取PD 中点 Q,证 AQ 与面PCD 垂直, 从而利用 “ 线面垂直的性质定理” 证MN 与面 PCD 垂直M 名师归纳总结 B C 2 2 第 8 页,共 36 页例
13、 2、直三棱柱A 1B 1C 1ABC中, M 为 AC 中点求证：A 1C平面BMC1A1A 2 C1B B1C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设计说明：牢牢把握直（正）棱柱, 正棱锥的结构特点对于讨论空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮忙；在三视图的环境下证明线面,面面关系是几何证明的一个重点练习：如下列图,直三棱柱ABC-A 1B 1C1中,B 1C1A 1C 1,AC1A 1B,M,N是A 1B1,AB的中点,B 1求证 :C1M面A 1AB求证：A1BAMNB1C求证：平面AMC1面
14、A1C1M B1A C N B 练习：如图,在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, AB=BC= B 1,D为 AC的中点求证 : B 1 C | 面 A1 BD如 A C 1 面 A 1 BD 求证：B 1 C 1 面 AB B 1 A 1在的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-A 1 C 1 D 的体积II ,面面垂直的判定与性质面面垂直的判定方法空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直向量法例 1 如图,ABC 为正三角形,EC平面ABC,BD|CE,且 CE=CA=2BD,M是 EA的中点,求证： DE=DA 平面 BDM 平面 ECA 名师归纳总结 平面 DEA面 ECA
15、 第 9 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E 学习必备欢迎下载取 AC 中点 N,证明 DN|BN 再C M D 证 BN面 ECA ,利用线面垂直的性质定理知DM面 ECA B 最终利用线面垂直证面面垂直A 例 2 已知BCD 中,BCD90,BC=CD=1,AB面BCD,ADB60,E,F分别是 AC,AD上动点,且AEBFBEF01ACAD求证：不论为何值时,总有平面面 ABC 当为何值时,平面BEF面 ACD A E F C B D 其次问是存在性问题当 BEF面 ACD时BEABCEFBEBEF面 ACD,BEBEF由一问可
16、知EF面ABC又面BEF面ACDEFBEAC面ACDACACDBE利用射影定理求AE从而求设计说明：此题是存在性问题,解决存在性问题可以把结论当已知探究使得已知成立的充分性条件 解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法名师归纳总结 练习： 1、如图,在矩形ABCD中, AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP面 ABCD 第 10 页,共 36 页求证： DP面 EPC 问在 EP上是否存在F,使平面 AFD面 BFC - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载E 问题利用线线垂直证线面垂B C 直 , 在 寻 找 线 线 垂
17、 直 条 件DPAC时采纳“ 算垂直” 的方法A P D Q 2、如下列图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是DAB60,且边长为a 的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD DEF面ABCD,并证明你的结如 G为 AD的中点,求证：BG面PAD求证：ADPB如 E 为 BC中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面论分析： 问题是存在性问题,可以把结论当已知找条件,明即把条件当已知证结论查找的过程可省略；但此题要求证1、 如下列图, 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D1中,已知 DC= D1=2AD=2AB,ADDC,AB|DC 求证 :D1CAC1设 E 是 DC上一
18、点,试确定E 的位置,使D1E|面A1BD,并说明理由A1D1B1C1D C A B 一、折叠问题名师归纳总结 例如图,四边形ABCD中, AC|BC,AD=AB,BCD45,BAD90,将ABD 沿第 11 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对角线 BD折起,记折起后点的位置为学习必备欢迎下载面 BCD P,且使平面PBDP A D E D C B E C B F 求证：平面PBC面PDCBD 于 E,过 E 作EFBC于 F,求在折起后的图形在折叠前的正方形ABCD中,做 AE中PFE的正切值设计说明：对于折叠问题,关键是抓住图形折
19、叠前后的不变量及重要的折叠条件空间直角坐标系及空间向量法一,空间直角坐标系1、右手系：伸出右手,弯曲四指使得四指与掌面垂直,大拇指向上垂直翘起,四指的方向为 x 轴,手掌向里的方向为y 轴,大拇指的方向为z 轴,三轴的公共点为z 轴2、卦限： 数轴上原点把数轴分成正负半轴；在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限z 在坐标平面上, x 轴,y 轴把平面分成四个象限,y x 注:建系时最好建成右手系,并且尽量把图形放在第一卦限,在坐标轴或坐标平面上的点越多越好,关于坐标平面对称的点越多越好一、空间直角坐标系上点的坐标：求一个点的坐标就是找该点在x 轴, y 轴, z 轴上的坐标重量已知正方体A 1B
20、 1C 1D1ABCD棱长为 2,如下列图以正方体的中心O 为原点建立空间直角坐标系名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - D1z 学习必备C1欢迎下载A1L P H M K J G y O B1E D I N F C B x A 1、 在轴上点的坐标：Px 轴P（ x,0,0）Py轴P（0,y,0）Pz轴p（0,0,z）2、 在坐标平面上点的坐标Pxoy 平面上,P（x,y,0）Pyoz 平面上,P（0,y,z）Py 1xoz 平面上,P（x,0,z ）z 22y 2,z 13、已知Ax 1,y 1,z 1,Bx2,
21、y2,z 2就 AB中点Px 12x 2,4、与 P（x,y,z ）关于定点A（a,b,c ）对称点的P 12 ax,2ay,2az5、关于坐标平面对称点的坐标与 P（x,y,z ）关于 xoy 平面对称点的坐标P 1x ,y,z与 P（x,y,z ）关于 xoz 平面对称点的坐标P 1x ,yz6、如 P 点在 xoy 面的射影为 到面 xoy 的距离 二、空间向量的坐标运算L 点,就 P 点与 A 点的 x,y 轴重量相同, P点 z 轴重量为 P 点注：空间向量的加法,减法,数乘的几何意义；两个向量的共线条件；向量的内积运算公式 与平面对量完全相同 空间向量的坐标运算公式名师归纳总结 如
22、Ax 1,y 1,z 1,Bx 2,y 2,z 2就ABx 2x 1,y2y 1,z 2z 1第 13 页,共 36 页如已知ax 1,y 1,z 1,bx2,z 2y2,z 2加减法 :abx 1x2,y 1y2,z 1数乘：ax 1,y 1,z 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 内积：abx 1x 2y 1y2z 1学习必备欢迎下载z 2模aa2x 12y 12z 12其它一些常用公式222babaa2bb2|babab2abaaabx 1x 2y 1y2z 1z 20设直线 a 的方向向量为 a ,直线 b 的方向向量为 b三、直线的方向向量与
23、平面的法向量注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量1、 直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量2、 平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量下面介绍平面法向量的求法例：已知：已知a0,1,10,b0 1,1,求a与b 的法向量n设nx,y,znananbnb0xy0yz0由于 x 每给一个值, 就各有一个与之对应的y 值和 z 值,由此说明一个平面的法向量有无穷多个,这和常识也是相符的,我们只需取其中一个法向量即可 令 x=1,y=-1,z=1n,11,1一、向量法分析空间线线,线面,面面的位置关系l,m分别为直线l,m 的方向向量 ;n 1
24、 ,n2分别为平面,的法向量线线平行：1、 文字语言：两直线的方向向量平行就线线平行 2、 图形语言：名师归纳总结 在这里强调lmml|mR第 14 页,共 36 页但反之不对 ,当0,l0时,这是不行以的这样写正确：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ll 学习必备欢迎下载m m 3、符号语言：lml|ml|mR线面平行：1、 文字语言：假如直线的方向向量与平面的法向量垂直,就线面平行2、 图形语言：l l n13、 符号语言：ln 10ln 1l|面面平行：1、 文字语言：假如两个平面的法向量共线就面面平行2、 图形语言：n1 n23、 符号语言：名
25、师归纳总结 n 1n 2n 1|n2|第 15 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线线垂直：1、 文字语言：两直线的方向向量垂直就线线垂直 2、 图形语言：lm l m3、 符号语言：ln0lmlm线面垂直：1、 文字语言：假如直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直就线面垂直 2、 图形语言：l bla3、 符号语言：a,b且a与b不共线,al0 ,bl0l面面垂直：1、 文字语言：假如两个平面的法向量垂直就面面垂直2、 图形语言：n2n13、 符号语言：名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 3
26、6 页精选学习资料 - - - - - - - - - n 1 n 1二、空间角0n 1n 2学习必备欢迎下载空间角的范畴1、线线角的范畴0,90 2、异面直线所成角的范畴0,0 900 903、线面角的范畴0,0 90 4、斜线与平面所成的角范畴0,5、二面角的范畴00 , 180 6、向量夹角范畴00 , 1807、直线的倾斜角范畴0, 180空间角的定义：1、 异面直线所成角的定义：略2、 斜线与平面所成角的定义：的角斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成如图 l 为平面 的垂线, m 为m l 平面的斜线, n 为斜线 m 在平面上的射影m ,m ,nn 注：求线面角关键
27、找与斜线有交点的平面的垂线注：在用定义法求线面角经常会用到空间垂直关系相关定理（特殊是线面垂直的判定定理,线面垂直定义,面面垂直性质定理）锥的结构特点,正棱锥的判定方法,三垂线定理及推论,直（正）棱柱的结构特点,正棱例：已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,就AB 1与侧面ACC1A 1所成角的正弦值答案：6 4A 1B 1C 1D1中 , AB=BC=2AA 11, 就BC 1与 平 面练 习 ： 在 长 方 体ABCD-BB 1D1D所成角的正弦值答案：10 5正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,就侧棱与底面所成角为名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,
28、共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案： 45 3、 二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直的直线,这两条垂线所成的角就是这 两个平面所成的二面角的平面角n m,n,l,m ,nlm ,m ,nl 二面角的求法：）定义法： 在用定义法求二面角经常会用到空间平行及垂直关系相关定理,三垂线定理及 推论,直（正）棱柱的结构特点,正棱锥的结构特点,正棱锥的判定方法 利用定义运算二面角经常使用余弦定理；例 1 已知已知正四棱锥的体积是12,底面对角线长26,就侧面与底面所成的二面角等于答案：3）平移交线法,截面法与截面法例 2 已知正三棱柱ABC-A
29、1B 1C1的底面边长是2,高为 1,过顶点 A 做一平面x,与侧,面BCC1B 1交于 EF,且 EF|BC,如平面与底面 ABC 所成二面角大小为x06四边形 BCEF 的面积为 y,就函数 y=f （x）的图象大致是：答案：C 6666名师归纳总结 A A B B C C B D C 第 18 页,共 36 页N A F G F E M C1E M C1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1B1学习必备欢迎下载B1A1图 2 图 1 法一：平移交线法如图1,BC面ABCEF|BC,EF面ABCEF|面 ABC 设面AEF面ABCl又EF面AEFE
30、F|l 取 EF 中点 M ,BC 中点 N 就 AN EF,AN EF 就 MAN 就是面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角注：在此题中很难找到面 AEF 与面 ABC 的交线, 故在图形中找一条与交线平行的直线 EF,在这两个平面内引 EF 的垂线,从而找到二面角的平面角注：求空间角时, 空间角大多是特殊角,对于非特殊角题目一般要求求空间角的某个三角函数值；如题目特殊强调用反三角函数表式,利用下面公式公式一：如sin,m0,2,2,m1 ,1就arcsinmm0,m1 ,1公式二：如cos就arccosmm2,2,m 为常实数公式三：如tan就arctan m2,求例：sin13
31、cos1,0 ,2,求3tan1,0,2,求3通过此题引出下面公式常用公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - arcsinxarcsinx学习必备欢迎下载arccosxarccosx0,2,求tanxarctanx练习：cos1,3tan1,2求3三、向量法求空间角向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补mlm l l,m,ml,m,l,mcoslcosll l,mlmmm cosl,mcosl,m综上：|cosl,m|cosl,m由l,0 ,2就cosl,mcosl,mlmlm向量法
32、求线面角：空间直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面法向量所成的角互名师归纳总结 余,或比向量角小2第 20 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - l n1l学习必备欢迎下载基线为的垂线n 1l,2l,n 1ln1l sinl,lcosl,n 1l,l,n 1l2sincos,n 1综上：|sinl,|cosl,n 1由l,0 ,2故sinl,|cosl,n 1|空间向量的方法求二面角,方法一：内积法如下列图,在两个平面,内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直的向量lm,nnm,n,l,m ,nl mC90,B,30,m,nACD例：已知
33、直角ABC 中,AB=4 ,D 为 AB 的中点, 沿中线将名师归纳总结 折起使得 AB=13 ,就二面角A-CD-B 的大小为第 21 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载B B C E F A E F A D D 对于折叠问题,关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件解：作AECF,BFCFEAFB2EFFB2AEEF二面角ACDB 等于FB,ABAEEFFB22ABAEEFFBAE222AEEFFB2AE3,EF2 ,FB30AEFB312cosAE,FBAEFB2AEFB又AE,FB0,AE,FB3EA,F
34、B23方法二：坐标法名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - n1n2学习必备,n欢迎下载l,m ,nlm,l n m ,n 1,n 1n2coscosn 1 ,n1n n2,n 1 ,n 1n2m coscosn ,1l 综上：cos,cosn 1 ,n2,|,0 ,cos,|cosn 1,n22为锐角,为钝角cosn 1,n注：求二面角是二面角一般为锐角或钝角很少求直角,零角或平角 二面角的性质可以直观观看得到 四、空间向量方法求空间点到平面的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A B ndO,OBnn典例一、向量法确定空间线线,线面,面面位置关系,求空间角及空间点到平面的距离注：应用向量法讨论空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标,在建系时最好建立右手系（在原图形上找或作三条有公共点且两两垂