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1、1989年世界硕士研究生入学分歧检验数学一试题一、填空题(此题共5个小题,每题3分,总分值15分.)(1)已经清楚,那么_.(2)设是连续函数,且,那么_.(3)设破体曲线为下半圆周那么曲线积分_.(4)向量场在点处的散度_.(5)设矩阵,那么逆矩阵=_.二、选择题(此题共5个小题,每题3分,总分值15分.)(1)事前,曲线()(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2)已经清楚曲面上点处的切破体平行于破体,那么点的坐标是()(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)
2、(3)设线性有关的函数、根本上二阶非齐次线性方程的解,、是任意常数,那么该非齐次方程的通解是()(A)(B)(C)(D)(4)设函数而其中,那么即是()(A)(B)(C)(D)(5)设是阶矩阵,且的行列式,那么中()(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(此题总分值15分,每题5分.)(1)设,其中函数二阶可导,存在连续的二阶偏导数,求.(2)设曲线积分与道路有关,其中存在连续的导数,且,打算的值.(3)打算三重积分,其中是由曲面与所围成的地域.四、(此题总分值6分.)将函数展为的幂级数.五、(此题
3、总分值7分.)设,其中为连续函数,求.六、(此题总分值7分.)证明方程在区间(0,)内有且仅有两个差异实根.七、(此题总分值6分.)征询为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般方法.八、(此题总分值8分.)假设为阶可逆矩阵的一个特色值,证明：(1)为的特色值；(2)为的伴随矩阵的特色值.九、(此题总分值9分.)设半径为的球面的球心在定球面上,征询当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大年夜？十、填空题(此题总分值6分,每题2分.)(1)已经清楚随机情况的概率=0.5,随机情况的概率=0.6及条件概率=0.8,那么跟情况的概率=_.(2)甲、乙两人独破地对一致目标射击一次,其命中率分不为0
4、.6跟0.5.现已经清楚目标被命中,那么它是甲射中的概率为_.(3)假设随机变量在(1,6)上遵从均匀分布,那么方程有实根的概率是_.十一、(此题总分值6分.)设随机变量与独破,且遵从均值为1、标准差(均方差)为的正态分布,而遵从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.1989年世界硕士研究生入学分歧检验数学一试题分析一、填空题(此题共5个小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】【分析】原式=.(2)【答案】【分析】由定积分的性质可知,跟变量不关系,且是连续函数,故为一常数,为简化打算跟防止混淆,令,那么有恒等式,单方0到1积分得,即,解之得,因此.(3)【答案】【分析】方法一：的方程
5、又可写成,被积分函数在上取值,因此原积分=(半径为1的的半圆周长).方法二：写出的参数方程,那么.(4)【答案】【分析】开门见山用散度公式.(5)【答案】【分析】由于,为求矩阵的逆可有多种方法,可用伴随,可用初等行变卦,也可用分块求逆.方法一：假设对作初等行变卦,那么由可以开门见山得出.此题中,第一行乘以加到第二行上;再第二行乘以,有,从而知.方法二：关于2阶矩阵的伴随矩阵有法那么：,那么求的伴随矩阵.假设,如斯.再使用分块矩阵求逆的法那么：,此题亦可特不随便求出.二、选择题(此题共5个小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】(A)【分析】函数只需连续点.,其中是有界函数,而事前,为无穷
6、小,而无穷小量跟一个有界函数的乘积仍然是无穷小,因此,故函数不铅直渐近线.,因此为函数的水平渐近线,因此答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其连续点处有,那么是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,那么为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【分析】题设为求曲面(其中)上点使在该点处的法向量与破体的法向量平行.在处的法向量,假设那么为常数,即.即.又点,因此,故求得.因此应选(C).(3)【答案】(D)【分析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,为方程对应齐次方程的特解,因此方程的通解为,即,故应选D.(4)【答案】(B)【分析】是函数先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的
7、函数的傅式级数的跟函数,由因此奇函数,因此.事前,连续,由傅式级数的收敛性定理,.因此,.应选(B).(5)【答案】(C)【分析】此题调查的充分需要条件,而选项(A)、(B)、(D)根本上充分条件,并不必要.由于对矩阵来说,行跟列存在等价性,因此单说列或者单说行称心什么条件就构成了的需要条件,但是不存在任意性,只需求存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,假设,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成破,但有,因此(A)、(B)不称心题意,弗成选.假设,那么,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不精确.如斯用打扫法可知应选(C).三、(此题总分值15
8、分,每题5分.)(1)【分析】由于混淆偏导数在连续条件下与求导次序有关,可以先求,也可以先求.方法一：先求,由复合函数求导法,再对求偏导,得.方法二：先求,再对求偏导数,得.【相关知识点】复合函数求导法那么：假设跟在点处偏导数存在,函数在对应点存在连续偏导数,那么复合函数在点处的偏导数存在,且.(2)【分析】方法一：先求出,再求曲线积分.设有连续偏导数,在所给的单连通地域上,与道路有关,那么在上有,因此即.由=0,得,即,因此.或取特不道路如图：.方法二：不必求出,拔取特不的道路,取积分道路如图,那么.(3)【分析】使用三重积分的性质,关于破体对称,对为奇函数,因此,即.是由球心在原点半径为1
9、的上半球面与顶点在原点、对称轴为轴、半顶角为的锥面所围成.故可选用球坐标变卦,那么,因此.四、(此题总分值6分.)【分析】开门见山展开相对比拟麻烦,可随便展开,.由,令得即因此,事前,式均收敛,而左端在处无定义.因此.五、(此题总分值7分.)【分析】先将原式停顿等价变卦,再求导,试着觉察其中的法那么,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,单方求导,得,再求导,得,即.这是个庞杂的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特色方程为,此特色方程的根为,而右边的可看作,为特色根,因此非齐次方程有特解.代入方程并比较系数,得,故,因此,又由于,因此,即.六、(此题总分值7分.)【分析】方法一：判
10、定方程等价于判定函数与的交点个数.令,其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故,为简化打算,令,即,那么其导数,令解得唯一驻点,即,因此是最大年夜点,最大年夜值为.又由于,由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(纷歧样),故方程在有且仅有两个差异实根.方法二：,由于事前,因此,不的同方法一.七、(此题总分值6分.)【分析】对方程组的增广矩阵作初等行变卦.第一行分不乘以有、加到第二行跟第三行上,再第二行乘以加到第三行上,有.由于方程组有解的充要条件是,故仅当,即时,方程组有解.现在秩,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组令解得原方程组的通解(其中为任意常数).【相关知识
11、点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分需要条件是系数矩阵的秩即是增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦同即是与是等价向量组)设是矩阵,线性方程组,那么（1） 有唯一解（2） 有无穷多解（3） 无解不克不迭由的列向量线表出.八、(此题总分值8分.)【分析】(1)由为的特色值可知,存在非零向量使,中间左乘,得.由于,故,因此有.按特色值定义知是的特色值.(2)由于逆矩阵的定义,据第(1)征询有,按特色值定义,即为伴随矩阵的特色值.【相关知识点】矩阵特色值与特色向量的定义：设是阶矩阵,假设存在数及非零的维列向量使得成破,那么称是矩阵的特色值,称非零向量是矩
12、阵的特色向量.九、(此题总分值9分.)【分析】由球的对称性,不妨设球面的球心是,因此的方程是.先求与球面的交线：.代入上式得的方程.它在破体上的投影曲线呼应的在破体上围成地域设为,那么球面在定球面内部的那部分面积.将的方程单方分错误求偏导得,因此.使用极坐标变卦有代入,化简得.这是一个关于的函数,求在的最大年夜值点,单方对求导,并令,得,得.且,故时取极大年夜值,也是最大年夜值.因此,事前球面在定球面内部的那部分面积最大年夜.十、填空题(此题总分值6分,每题2分.)(1)【分析】方法一：.方法二：.(2)【分析】设情况=“甲射中,=“乙射中,依题意,与相互独破,.因此,有.(3)【分析】设情况=“方程有实根,而方程有实根的充要条件是其判不式,即.随机变量在(1,6)上遵从均匀分布,因此其分布函数为由分布函数的定义,而因此由概率的可加性,有.【相关知识点】广义加法公式：.条件概率：,因此.十一、(此题总分值6分.)【分析】,由独破的正态变量与的线性组合仍遵从正态分布,且,得.代入正态分布的概率密度公式,有的概率密度函数为.【相关知识点】关于随机变量与均遵从正态分布,那么与的线性组合亦遵从正态分布.假设与相互独破,由数学期望跟方差的性质,有,其中为常数.