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1、|1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1) 已知 ,则 _.(3)2f0()(lim2hff(2) 设 是连续函数,且 ,则 _.x10)fxftd()fx(3) 设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 _.L2y2Lyds(4) 向量场 在点 处的散度 _.2(,)ln(1)zuxyziejxzk(1,0)Pivu(5) 设矩阵 , ,则逆矩阵 =_.3014A0E1(2)AE二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1) 当 时,曲线 ( )0x1sinyx(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直
2、渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 ,则点 的24zxyP210xyzP坐标是 ( )(A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2)(C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数 、 、 都是二阶非齐次线性方程1y23的解, 、 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ()()ypxqyfx1C2( )(A) (B) 123C12123()yCy(C) (D) 123()yy(4) 设函数 而 其中2(),0,fx1(sin,Sxbx,则 等于 ( )10sin,2,3nbf
3、d ()2|(A) (B) (C) (D) 12141412(5) 设 是 阶矩阵,且 的行列式 ,则 中 ( )AnA|0A(A) 必有一列元素全为 0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分 15分,每小题 5分.)(1) 设 ,其中函数 二阶可导, 具有连续的二阶偏导数,(2)()zfxygx()ft()guv求 .(2) 设曲线积分 与路径无关,其中 具有连续的导数,且 ,2()Cxydy ()x(0)计算 的值.(1,)0(3) 计算三重积分 ,其中 是由曲面 与 所围()xzV 2zxy21zxy
4、成的区域.四、(本题满分 6分.)将函数 展为 的幂级数.1()arctnxfx五、(本题满分 7分.)设 ,其中 为连续函数,求 .0)si()xfxtfdf()fx六、(本题满分 7分.)证明方程 在区间(0, )内有且仅有两个不同实根.0ln1cos2xxe七、(本题满分 6分.)问 为何值时,线性方程组13246x有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分 8分.)|假设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值,证明：nA(1) 为 的特征值；1(2) 为 的伴随矩阵 的特征值.A九、(本题满分 9分.)设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 为何值时,球R22(0)xyzaR面 在定球面内部
5、的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分 6分,每小题 2分.)(1) 已知随机事件 的概率 =0.5,随机事件 的概率 =0.6及条件概率A()PB()P=0.8,则和事件 的概率 =_.()PB ()A(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6和 0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3) 若随机变量 在(1,6)上服从均匀分布,则方程 有实根的概率是_.210x十一、(本题满分 6分.)设随机变量 与 独立,且 服从均值为 1、标准差(均方差)为 的正态分布,而XY 2服从标准正态分布.试求随机变量 的概率密度函数.Y23ZXY|1989年全国硕士研
6、究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】 1【解析】原式= .0()(1lim(3)22hfff(2)【答案】 x【解析】由定积分的性质可知, 和变量没有关系,且 是连续函数,故10()ftd()fx为一常数,为简化计算和防止混淆,令 ,则有恒等式 ,10()ftd 10()fta 2fxa两边 0到 1积分得,1100()(2)fxddx即 ,1111100000(2)axdaa 2解之得 ,因此 .(2fx(3)【答案】 【解析】方法一： 的方程又可写成 ,被积分函数在 上取值,于是L21(0)yL原积分= (半径为 1的的半
7、圆周长).1Lds方法二：写出 的参数方程,cosinxty(0)t则 .0 0222()()icos1Lxydstttdt (4)【答案】【解析】直接用散度公式 2 2()()(ln1)zP Pdivuxyexz.2 20(1,0)2 21z e|(5)【答案】102【解析】由于,302012142AE为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对 作初等行变换,则由 可以直接(2) 1(2)(2)AEAE得出 .1()AE本题中,第一行乘以 加到第二行上;再第二行乘以 ,有12,010010122021从而知 .10(2)21AE方法二：对于 2阶矩阵的
8、伴随矩阵有规律： ,则求 的伴随矩阵abAcdA.*a如果 ,这样0A.11abdbdbccacaA 再利用分块矩阵求逆的法则： ,1100B|本题亦可很容易求出 .10(2)21AE二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】(A)【解析】函数 只有间断点 .1sinyx0x,其中 是有界函数,而当 时, 为无穷小,而无穷00limlxxsi 0x小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以 ,故函数没有铅直渐近线. 001lilisnxxy,0sinlili lm1xx xtt令所以 为函数的水平渐近线,所以答案为(A).1y【相关知识点】铅直渐近线：如函数 在
9、其间断点 处有 ,则()yfx0x0lim()xf是函数的一条铅直渐近线；0x水平渐近线：当 ,则 为函数的水平渐近线.lim(),xfa为 常 数 ） ya(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面 (其中 )上点 使:(,)0SFyz2,)4FxzxyP在该点处的法向量 与平面 的法向量 平行.Sn21x0,1n在 处的法向量(,)Pxyz,21Fnxyxyz若 则 为常数,即 .即 .0/,n02,又点 ,所以 ,故求得 .()PxyzS2(,)1,44xyz(1,2)P因此应选(C).(3)【答案】(D)|【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知, 为方程对应1323,yy齐次
10、方程的特解,所以方程 的通解为()()ypxqyfx,1323Cy即 ,故应选 D.122()yCyy(4)【答案】(B) 【解析】 是函数 先作奇延拓后再作周期为 2的周期延拓后的函数的傅式级数()Sx()fx的和函数,由于 是奇函数,于是 .1()(2S当 时, 连续,由傅式级数的收敛性定理, .因此,12x()fx 211)()24Sf.应选(B).()4S(5)【答案】(C)【解析】本题考查 的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不|0A必要.因为对矩阵 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列
11、向量是其余列向量的线性组合.|0A以 3阶矩阵为例,若 ,1234A条件(A)必有一列元素全为 0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有 ,所以(A)、|0A(B)不满足题意,不可选.若 ,则 ,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.12345A|0A这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分 15分,每小题 5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求 ,也可以先求 .zxzy方法一：先求 ,由复合函数求导法,zx|,1212(2)()()zfxygxyfgy再对 求偏导,得 y212()()zffxyy112212()()()()gxgxyg
12、x112212200f y.2xg方法二：先求 ,zy,122(2)()()fxygxyfxg再对 求偏导数,得x2 2()zfxyx212()()fygxgxy.21x【相关知识点】复合函数求导法则：若 和 在点 处偏导数存在,(,)uxy(,)vxy()函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数 在点(,)zfuv()vzfuvxy处的偏导数存在,且()xy.,zfufvzffvxxyuy(2)【解析】方法一：先求出 ,再求曲线积分.()设 有连续偏导数,在所给的单连通区域 上, 与路径无(,)PxyQDLPdxQy关,则在 上有 ,所以 即 .由 =0,得D()2,yx2(),()xC(
13、0)|,即 ,因此0C2()x1, (1,) (1,)2222(0) 00()Iydxydxyydx.(1,)0,22()或取特殊路径如图： 1122200LIxyddxyA.120方法二：不必求出 ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则()x(1,)20Iydy.1012x(3)【解析】利用三重积分的性质,关于 平面对称, 对 为奇函数,所以 ,即 .yz 0xdV()xzdVz是由球心在原点半径为 1的上半球面与顶点在原点、对称轴为 轴、半顶角为 的锥面4所围成.故可选用球坐标变换,则 ,02014： ， ，所以 cosinIzdVd21 13 34 40000i2sind .14001co
14、s28四、(本题满分 6分.)【解析】直接展开 相对比较麻烦,可 容易展开,()fx()fx.222221111)()()f x由 ,令 得201(),|)nnttt 2t|24222 01(1)(1),()nnxxxt 即 220()(1),(|)nfx 所以 ,0()()()xffudf2 20 0101arctn(1)4x xn nud 210()4nnx,(|)当 时,式 均收敛,而左端 在 处无定义.1x210()nn1()arctnxfx因此 .210()arct ,)14nxf五、(本题满分 7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,0 00()sin()sin()()x xxfxtfdftdtf所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得,0 0()co()()cos()x xfftffft 再求导,得,即 .()sin()fxf()infxf这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为 ,210r此特征方程的根为 ,而右边的 可看作 , 为特征根,因此非risinxsixei齐次方程有特解 .scoYxab代入方程并比较系数,得 ,故 ,所以10,2cY,12()sinosxfx又因为 ,所以 ,即 .(0),()ff,c1()ics2fx