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1、1989年全国硕士探讨生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线在点处的切线方程是_ _ .(2) 幂级数的收敛域是_ _ .(3) 齐次线性方程组 只有零解,则应满意的条件是_ _ .(4) 设随机变量的分布函数为 则=_, .(5) 设随机变量的数学期望,方差,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有_ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则当时 ( )(A) 与是等价无穷小量 (B) 与是同阶但非等价无穷小量(C) 是比拟高阶
2、的无穷小量 (D) 是比拟低阶的无穷小量(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为阶方阵且,则 ( )(A) 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) 中随意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设和均为矩阵,则必有 ( )(A) (B)(C) (D) (5) 以表示事务“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事务为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销
3、或乙种产品畅销” 三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限(2) 已知且的二阶偏导数都连续.求.(3) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设某厂家准备消费一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为且最大需求量为6,其中表示需求量,表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数试计算下列各题：(1) (4分) (2) (2分)(3) (1分) (4) .(2分)六、(本题满分6分)假设函数在上连续,在内可导,且,记证明在内,.七、(本题满分5分
4、)已知其中求矩阵.八、(本题满分6分)设.(1) 问当为何值时,向量组线性无关(3分)(2) 问当为何值时,向量组线性相关(1分)(3) 当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设(1)试求矩阵的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量和的结合密度为试求：(1) ；(5分) (2) .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量在2,5上听从匀整分布,如今对进展三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士探讨生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每
5、小题3分.)(1)【答案】【解析】对函数两边对求导,得令得所以该曲线在点处的切线的斜率为,所以 切线方程是即为所求.(2)【答案】【解析】因系数,从而即幂级数的收敛半径,当时幂级数确定收敛.当时得交织级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散).于是,幂级数的收敛域是.(3)【答案】【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用断定比拟便利.而 所以当时.所以此题应填:.(4)【答案】,【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有对于,有令 ,得到,其中.又因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此所以 (5
6、)【答案】【解析】由切比雪夫不等式,有二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有所以与是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,为常数.故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考察的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满意什么条件就构成了的必要条件,但是不具有随意性,只须要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 ,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、(B)不满意
7、题意,不行选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用解除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开阶行列式,则应当是个阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若,则而且存在时,不愿定都存在,所以选项(D)是错误的.由行列式乘法公式知(C)正确.留意,行列式是数,故恒有.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事务“甲种产品
8、畅销”,事务“乙种产品滞销”,则 事务“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为则“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】这是型未定式求极限.设,则当时,.于是令,则时,所以 ,所以 ,由洛必达法则得所以 .(2)【解析】方法一：先求,再求.由复合函数求导法则,故 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得于是有 .再对外求偏导数,即得【相关学问点】复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且(3)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为,故对应齐次微分方程的通解为.设所给非齐
9、次方程的特解为,代入方程,比拟系数,得,故所求方程的通解为为常数.【相关学问点】关于微分方程特解的求法:假设,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解,其中与同次(次)的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或.四、(本题满分9分)64 2【解析】(1)收益函数边际收益函数(2)由 ,得.又 .因此在取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为.所以,当消费量为2时,收益取最大值,收益最大值为.而相应的价格为.(3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.24+0-0+,凸极大值,凸拐点,凹五、(本题满分9分)【解析】(1)为分段函数,
10、由定积分的性质,(2)用定积分换元法,令,则,所以而 ,故 .(3) 用定积分换元法,令,则,所以而 ,故 .(4)利用以上结果,有六、(本题满分6分)【解析】对两边对求导,得证法一：由积分中值定理知,在内存在一点使得,所以 .又因为,故有,所以.证法二：令,则因为,所以,即在上为减函数,所以,所以 .七、(本题满分5分) 【解析】方法一：本题可承受一般的解法如下：由得因为 所以 方法二：本题还可用由作初等行变换,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当削减计算量.第一行乘以分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以加到第三行上,得第三行自乘,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有,所以八、(本题
11、满分6分)【解析】个维向量线性相关的充分必要条件是齐次方程组.有非零解.特殊地,个维向量线性相关的充分必要条件是行列式.由于故当时,向量组线性无关；时向量组线性相关.当时,设将坐标代入有解出即.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵的特征方程为经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有故矩阵的特征值为：.(2)由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值.由的特征值是可知的特征值为又因为那么的特征值是【相关学问点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得因为由分部积分法有由洛必达法则,对型极限,有.所以有十一、(本题满分8分)【解析】以表示事务“对的观测值大于3”,依题意,的概率密度函数为因此 设随机变量表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事务出现的次数).明显, 听从参数的二项分布,因此,所求概率为【相关学问点】二项分布的概率计算公式：若,则第 14 页