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1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线2sinyxx在点122,处的切线方程是_ _ .(2)幂级数01nnxn的收敛域是_ _ .(3)齐次线性方程组 1231231230,0,0 xxxxxxxxx 只有零解,则应满足的条件是_ _ .(4)设随机变量X的分布函数为 00sin0212,x,F xAx,x,x,则A=_,6PX .(5)设随机变量X的数学期望()E X,方差2()D X,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有3 P X_ _ .二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.
2、每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 232xxf x,则当0 x 时 ()(A)f x与x是等价无穷小量 (B)f x与x是同阶但非等价无穷小量(C)f x是比x较高阶的无穷小量 (D)f x是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中,正确的结果是 ()(A)fx dxf x (B)dfxf x(C)df x dxf xdx (D)df x dxf x(3)设A为n阶方阵且0A,则 ()(A)A中必有两行(列)的元素对应成比例(B)A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合
3、 (D)A中至少有一行(列)的元素全为 0(4)设A和B均为nn矩阵,则必有 ()(A)ABAB (B)ABBA(C)ABBA (D)111ABAB(5)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为 ()(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分 15 分,每小题 5 分)(1)求极限11lim sincosxx.xx(2)已知(,),zf u v uxy vxy且(,)f u v的二阶偏导数都连续.求2zx y.(3)求微分方程562xyyye的通解.四、(本题满分 9 分)
4、设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 2()10 xPP xe,且最大需求量为 6,其中x表示需求量,P表示价格.(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2 分)(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4 分)(3)画出收益函数的图形.(3 分)五、(本题满分 9 分)已知函数,01,()2,12.xxf xxx 试计算下列各题：(1)200();xSf x e dx(4 分)(2)412(2);xSf xe dx(2 分)(3)222(2)(2,3,);nxnnSf xn e dx n(1 分)(4)0nnSS.(2 分)六、(本题满分 6 分)假设函数()
5、f x在,a b上连续,在(,)a b内可导,且()0fx,记 1()(),xaF xf t dtxa 证明在(,)a b内,()0F x.七、(本题满分 5 分)已知XAXB,其中010111101A,112053B,求矩阵X.八、(本题满分 6 分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t.(1)问当t为何值时,向量组123,线性无关?(3 分)(2)问当t为何值时,向量组123,线性相关?(1 分)(3)当向量组123,线性相关时,将3表示为1和2的线性组合.(2 分)九、(本题满分 5 分)设122212221A.(1)试求矩阵A的特征值；(2 分)(2)利用(1)小题的
6、结果,求矩阵1EA的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3 分)十、(本题满分 7 分)已知随机变量X和Y的联合密度为(),(,)0,x yexyf x y 00其它.试求：(1)P XY；(5 分)(2)()E XY.(2 分)十一、(本题满分 8 分)设随机变量X在2,5上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于 3 的概率.1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】1yx【解析】对函数2sinyxx两边对x求导,得12cosysin xx,令2x得212sincos122xy.所以该曲线在点1
7、22,处的切线的斜率为1,所以 切线方程是122yx,即1yx为所求.(2)【答案】1,1)【解析】因系数111,12nnaann,从而 11limlim1,2nnnnanan 即幂级数的收敛半径1R,当11x 时幂级数绝对收敛.当1x 时得交错级数0(1)1nnn(条件收敛)；当1x 时得正项级数011nn(发散).于是,幂级数的收敛域是 1,1).(3)【答案】1【解析】n个方程n个未知数的齐次方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是0A,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A为方阵时,用0A 判定比较方便.而 21110011010(1),111111A 所以当0A 时1.所以此题应填:
8、1.(4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X的分布函数()F x是右连续函数,因此对任何x,有()(0)F xF x.对于2x,有()sin,(0)1.222FAA F 令()2F(0)2F,得到1A,其中0(0)lim()xF xF x.又 666PXPX,因 F x在6x处连续,连续函数在任何一个点上的概率为 0,因此06P X.所以 666PXPX66FF162sin.(5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2DXP XEX,有 2213(3)9P X.二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有 0002322 ln23 ln3
9、limlimlimln2ln31xxxxxxxfxxx.所以 f x与x是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,df x dxf x dxf x.dx fx dxdfxf xC,C为常数.df x dxf x dx.故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查|0A 的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了|0A 的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以 3 阶矩阵为例,若 112123134A,条件(A)必有一
10、列元素全为 0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有|0A,所以(A)、(B)不满足题意,不可选.若123124125A,则|0A,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n阶行列式AB,则应当是2n个n阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102AB,则 111111020020
11、102,1310301000223ABAB.而且1AB存在时,不一定11,AB都存在,所以选项(D)是错误的.由行列式乘法公式ABA BBABA知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A BBA.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B“甲种产品畅销”,事件C“乙种产品滞销”,则 A事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为ABC,则 _ABCB C“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分 15 分,每小题 5 分.)(1)【解析】这是1型未定式求极限.设1ux,则当x 时,0u.于是 1011lim(sincos)lim(sincos)xuxuuu
12、xx 1sincos1sincos10lim(1sincos1)uuuuuuuu,令sincos1uut,则0u 时0t,所以 11sincos100lim(1sincos1)lim(1)uututuute,所以 01sincos1sincos1sincos1limsincos100lim(1sincos1)limuuuuuuuuuuuuuuuuee,由洛必达法则得 00sincos1cossinlimlim11uuuuuuu,所以 111lim(sincos)xxeexx.(2)【解析】方法一：先求zx,再求2zx y.由复合函数求导法则,zfufvffy,xuxv xuv 故 2()zff
13、yx yyuv 222222fufvffufvyuyu v yvv uyvy 222222fffffxyxyuu vvu vv 22222()ffffxyxyuu vvv.方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得 1212()()()()dzf d xyf d xyfdxdyfydxxdy 1212()()fyfdxfxfdy.于是有 12xzfyf.再对y外求偏导数,即得 122111221222()()()xyyyzfy fffxfy fxff 1112222()fxy fxyff.【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)uu x y和(,)vv x y在点(,)x y处偏导数存在,函数(,
14、)zf u v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zf u x y v x y在点(,)x y处的偏导数存在,且,zfufvzfufvxuxvxyuyvy .(3)【解析】微分方程562xyyye对应的齐次方程560yyy的特征方程为 2560rr,特征根为122,3rr ,故对应齐次微分方程的通解为2312xxC eC e.设所给非齐次方程的特解为*()xyxAe,代入方程562xyyye,比较系数,得1A,故所求方程的通解为 231212,xxxyC eC eeC C为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xmf xPx e,则二阶常系数非齐次线性
15、微分方程()()()yp x yq x yf x具有形如 *()kxmyx Qx e 的特解,其中()mQx与()mPx同次(m次)的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分 9 分)【解析】(1)收益函数 2()10,06xR xxPxex.边际收益函数 25(2)xdRMRx edx.(2)由 25(2)0 xdRx edx,得2x.6 4 20e 2 x O 240e 360e()Rx又 2222255(4)02xxxd Rxedxe.因此()R x在2x 取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)Re
16、.所以,当生产量为 2 时,收益取最大值,收益最大值为20e.而相应的价格为10e.(3)由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.x 0,2)2(2,4)4(4,6 R+0-R-0+R,凸 极大值 20e,凸 拐点 240(4,)e,凹 五、(本题满分 9 分)【解析】(1)()f x为分段函数,由定积分的性质,2120001()()()xxxSf x e dxf x e dxf x e dx 1201(2)xxxe dxx e dx 1201(2)xxxdexde 12120101(2)xxxxxee dxxee dx 1220111101()xxeeeee 2121ee.(2)用定积分换
17、元法,令2xt,则2,xtdxdt,所以 422(2)21200(2)()()xttSf xe dxf t edtef t e dt,而 202012()1xSf x e dxee,故 2222102012()(1)tSef t e dtS eeee.(3)用定积分换元法,令2xnt,则2,xtn dxdt,所以 2222(2)2200(2)()()nxtnntnnSf xn e dxf t edtef t e dt 而 202012()1xSf x e dxee,故 222202012()(1)ntnnnSef t e dtS eeee.(4)利用以上结果,有 20020001nnnnnnS
18、SS eSe 22002221111111eSe Seeeee.六、(本题满分 6 分)【解析】对1()()xaF xf t dtxa两边对x求导,得 22()()()()()()()()xxaaf t dtxa f xf t dtf xF xxaxaxa.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x内存在一点使得()()()xaf t dtfxa,所以 22()()()()()()()()()()()()xaxa f xf t dtxa f xfxaf xfF xxaxaxa.又因为()0,fxax,故有()()0f xf,所以()0F x.证法二：令()()()()xag xxa f xf t
19、 dt,则()()()()()()()g xf xxa fxf xxa fx.因为,()0 xa fx,所以()0g x,即()()()()xag xxa f xf t dt在(,)a b上为减函数,所以()()0g xg a,所以 2()()0()g xF xxa.七、(本题满分 5 分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：由XAXB,得EA XB.因为 111100211101321310201 1EA,所以 1021113113212020301 15311XEAB.方法二：本题还可用由EA XB作初等行变换EA BE X,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.1101
20、11012010253EA B,第一行乘以 1分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以 1加到第三行上,得 110110111100333 第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111,所以312011X.八、(本题满分 6 分)【解析】m个n维向量12m,线性相关的充分必要条件是齐次方程组.12120mmxxx 有非零解.特别地,n个n维向量12,n 线性相关的充分必要条件是行列式12,0n.由于 123111,123513tt ,故当5t 时,向量组123,线性无关；5t 时向量组123,线性相关.当5t 时,设11223xx将坐标代入有 12121
21、21,23,35.xxxxxx解出121,2.xx 即3122.九、(本题满分 5 分)【解析】(1)矩阵A的特征方程为 122212221EA,经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有 122122112034021021EA 234115021,故矩阵A的特征值为：115,.(2)由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘1A,得1A.因为0,故0,于是有11A.按特征值定义知1是1A的特征值.由A的特征值是11 5,可知1A的特征值为1115,.又因为 11(1)EA,那么1EA的特征值是42 25,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维
22、列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.十、(本题满分 7 分)【解析】(1)由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()00(,)yx yx yP XYf x y dxdydyedx 00yyxe dye dx00()x yyxxeedy 2001(1)2yyyyeedyee 1.2(2)由二维连续型随机变量的数学期望定义得()00()(,)x yE XYxyf x y dxdyxyedxdy 00 xyxe dxye dy.因为由分部积分法有 0000yyyyye dyydeyee dy 00yyyee,由洛必达法则,对型极限,有1limlim0yyyyyee.所以有()1.E XY 十一、(本题满分 8 分)【解析】以A表示事件“对X的观测值大于 3”,依题意,X的概率密度函数为 1,25,()30,xf x其它.因此 5312()3.33P AP Xdxp 设随机变量Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A出现的次数).显然,Y服从参数23,3np的二项分布,因此,所求概率为 223P YP YP Y223321220()()()33327C.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.