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1、第一章 计数原理测试一 计数原理与排列 学习目标1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 基础性训练一、选择题1某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是( )(A)5(B)7(C)10(D)1223科老师都布置了作业，在某一时刻4名学生都在做作业，则这4名学生做作业的可能情况有( )(A)43种(B)34种(C)432种(D)123种3下列各式中与排列数相等的是( )(A)(B)n(n1)(n2)(nm)(C)(D)4数列a1，a2a7，其中恰好有5个2和2个4，调换a1至a7各数的位
2、置，一共可以组成不同的数列(含原数列) ( )(A)21个(B)25个(C)32个(D)42个5已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )(A)18(B)17(C)16(D)10二、填空题6把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有_种7用1，2，3，4四个数字可以排成一个4位数，其中不含重复数字的四位数有_个；必须含有重复数字的四位数有_个8从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程AxByC0中的A、B、C，则所得的经
3、过坐标原点的直线有_条(结果用数值表示)9圆周上有2n个等分点(n1)，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为_10从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到_个不同的对数值三、解答题11某校高一年级4个班学生中的34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？12求三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数13a，b，c，d4人排成一行，其中a不排第一，b不排第二
4、，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？ 拓展性训练14用1，2，3，4，5这5个数字组成比20000大，且百位数不是3的无重复数字的五位数有多少个？测试二 排列与组合 学习目标1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题 基础性训练一、选择题1甲、乙、丙、丁4种不同的种子，在3块不同土地上试种，每块土地只试种一种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有( )(A)12种(B)18种(C)24种(D)96种2下列等式不正确的是( )(A)(B)(C)(D)3若nN且n20，则(27n)(28n)(34n)等于( )(A)(B)(C)(D)4从
5、4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有1个女生参加的选法共有( )(A)12种(B)34种(C)35种(D)340种5在某班学生中，选出4个组长的不同选法有m种，选出正、副组长各一名的不同选法有n种，若mn132，则该班的学生人数是( )(A)10(B)15(C)20(D)22二、填空题6某天上午要排语文、数学、体育、计算机4节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有_种7从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有_种8方程10的解为_9在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，至少有
6、2件一级品的抽法共有_种108个相同的球放进编号为1，2，3的盒子中，恰有一个空盒，则不同的放求方法有_种(以数字作答)三、解答题11已知，求n的值12从5位男生，4位女生中选出5名代表，求其中：(1)男生甲当选且女生A不能当选，有几种选法？(2)至少有一个女生当选，有几种选法？(3)最多有2个女生当选，有几种选法？(4)若选出5名代表为3男2女，并进行大会发言，有多少种不同的发言顺序？13口袋中有4个不同的红球和6个不同的白球，每次取出4个球，取1个红球记2分，取1个白球记1分，则使总分不大于5分的取球方法种数有多少？ 拓展性训练14用红、黄、蓝、白、黑色涂在“田”字形4个小方格内，每格涂一
7、种色，有公共边的两格不同色，颜色可重复使用，共有多少种不同涂色法？测试三 综合计数问题(一) 学习目标能利用计数原理和排列组合的知识解决常见的实际问题 基础性训练一、解答题13个女生和5个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？2a，b，c，d，e5人排成一列纵队(答案只需写出计算公式)(1)a与b相邻，有几种排法？(2)a与b不相邻，有几种排法？(3)a在b前面，有几种排法？(4)a与b相邻，a在b前面，有几种排法？(5)c在a与
8、b之间，有几种排法？(6)a不在头，b不在尾，有几种排法？310名班干部中，有6名男生，4名女生，现要选出5名班干部，去听环保专家作报告，求满足下列条件的不同选法(1)男生选3名，女生选2名；(2)选出的男生少于女生；(3)选出的5人中，至少1名女生；(4)选出的5人中，至多3名女生；(5)男生选3名，女生选2名，且男甲不选在内，女乙必须选在内；(6)男生选3名，女生选2名，且男甲选在内或女乙选在内4用0，1，2，3，4，5六个数字，排成不含重复数字的四位数(答案只需写出计算公式)(1)可排成多少个不同的数？(2)可排成多少个不同的奇数？(3)可排成多少个不同的偶数？(4)可排成多少个不同的可
9、以被3整除的数？ 拓展性训练5用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数(1)奇数；(2)25的倍数；(3)比20314大的数；(4)百位数不是2或个位数不是5的数6有6件不同的礼品，按下面的分法，回答问题(用公式表达即可)：(1)分给甲、乙、丙3人、每人各得2件，有多少种分法？(2)分给3人，甲得1件，乙得2件，丙得3件，有多少种分法？(3)分给3人，1人得1件，1人得2件，1人得3件，有多少种分法？(4)平均分成3堆，有多少种分法？(5)分给3人，2人各得1件，1人得4件，有多少种分法？测试四 综合计数问题(二) 学习目标能利用计数原理和排列组合的知识
10、解决常见的实际问题 基础性训练一、选择题1用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )(A)24个(B)30个(C)40个(D)60个2某电子元件，其电路有一个由3个电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通现今回路不通，焊点脱落情况的可能有( )(A)5种(B)6种(C)63种(D)64种3从单词“equation”中选出5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法有( )(A)120种(B)480种(C)720种(D)840种4某赛季足球比赛的计分规则：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队
11、打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜，负，平的情况共有( )(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种5将a，b，c，d排成一行，其中a不排在第一，b不排在第二，c不排在第三，d不排在第四的不同排法共有( )(A)6种(B)7种(C)8种(D)9种二、填空题65人排队，则甲乙两人相邻的排队方法有_种7将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球各一个，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有_种不同的放法8从0，1，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有_个9在50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有_种(用数字作答)10有6个
12、座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_种三、解答题11某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有多少种？12(1)3个孩子，4把椅子，让孩子都坐下，有几种方法(每把椅子只坐一个孩子)？(2)3把椅子，4个孩子，让椅子都有人坐，有几种方法？(3)3个孩子，4间屋子，让孩子都进屋，有几种结果？(4)3间屋子，4个孩子，让孩子都进屋，有几种结果？(5)3朵花，4个孩子，把花发给孩子，每人至多一朵，不区分花，有几种分法？(6)3朵花，4个孩子，把花发给孩子，不区分花，有几
13、种分法？ 拓展性训练134个不同的球，4个不同的大盒子，把球全部放入盒内(1)共有几种放法？(2)恰有1个盒不放球，共几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共几种放法？(4)恰有1个盒内有2个球，共几种放法？(5)有1个盒内不少于3个球，共几种放法？测试五 二项式定理 学习目标1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 基础性训练一、选择题1(12x)的展开式中第三项的系数为( )(A)6(B)12(C)15(D)602(12x)的展开式中第三项的二项式系数为( )(A)6(B)12(C)1 5(D)60 3已知()的展开式的第三项与第二项系数的比为112，则n的值
14、是( )(A)10(B)11(C)12(D)134( )(A)(13)n1(B)(13)n(C)(13)n1(D)1(13)n5若与同时有最大值，m的值是( )(A)5(B)4或5(C)5或6(D)6或7二、填空题6在(3x)的展开式中，的系数是_(结果用数值表示)7(1)展开式中系数的和大于8而小于32，则n_8设(12x)aaxaxax，则a1_；aaaa_；|a|a|a|a|_98除以9的余数是_10在(1x3)(1x)的展开式中，x的系数是_三、解答题11若()展开式中第八项是含有的项(1)求n的值；(2)求展开式中x项的系数及二项式系数12已知f(x)(12x)(13x)展开式中x的
15、系数为13，求展开式中x2的系数 拓展性训练13设为等差数列，为数列的前n1项和求证：aa2(参考公式：)14已知n是等差数列4，7，10，13，中的一项求证：(x)的展开式中不含常数项测试六 计数原理学习水平测试一、选择题1一个3层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各1本，则不同的取法共有( )(A)37种(B)1848种(C)3种(D)6种24名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，不同的报名方法有( )(A)81种(B)64种(C)24种(D)12种3排列数与的大小关系是( )(A)(B)(C)(D)不确定4已知集
16、合1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中含有5个元素且至少有2个偶数的子集有( )(A)275个(B)7200个(C)105个(D)12000个5计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有( )(A)种(B)种(C)种(D)种二、填空题6若CC，则A_7若(x)的展开式的第三项系数等于18，则n的值为_.83名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_种9若S，则S的个位数字是_.10平面上有7个点，除某3点在一直线上外，再无其他3点共
17、线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线_条三、解答题11若，求n的值12一个晚会共8个节目，其中歌唱节目3个，小品节目3个，舞蹈节目2个，现要排一个节目单，分别求满足下列条件的不同排法(1)3个小品节目的顺序固定不变，2个舞蹈节目的顺序也固定不变；(2)3个歌唱节目必须排在前6个，且小品节目不能排在第一个 拓展性训练13把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，求不同排法的个数147个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法共有多少种？ 参考答案第一章 计数原理测试一 计数原理与排列一、选择题1D 2B 3D 4A 5B提示
18、：3.4只需将2个4放在七个位置中的2个就可以构成一个数列(种)不同的数列5第一象限的点有2332个，第二象限内的点有32个，共17个二、填空题65 724，232 830 92n(n1) 1017提示：8注意，任取的3个元素应不相同，并且C0A，B只能从非零元素选取(条)9任意连结两点，共有n条直线可形成直径，而对于每条直径，可做2n2个直角三角形，所以共有个10因为对数的底数不能是1，所以底数可以是2，3，4，7，9中的某一个数，真数可以是1，2，3，4，7，9中的某一个数，因此，从形式上可以组成5630个对数减去底数，真数相同的5个数；1为真数的数有5个，值均为0，应减去4个；此外，；，
19、应减去重复的4个所以，不同的对数值为30(544)17(个).三、解答题11答：(1)34种；(2)789105040种；(3)787971089810910431种12分析：设另两边长为x，y，不妨设1xy11，xy12，进行分类如下：当y11时，此时有11个三角形；当y10时，此时有9个三角形；当y9时，此时有7个三角形；当y6时，x6，此时有1个三角形故所求三角形的个数为119753136(个)13分析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b、c、d中的某一个，我们把第一个排b的不同排法逐一排出如下：b，a，d，c；b，c，d，a；b，d，a，c共有3种不同的排法同样的方法，可
20、得第一个排c、d的各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有3339(种)14分析：比20000大的五位数，分以下四种情况：3有个，百位数不是3的三种情况2，4，5，各有个，共个测试二 排列与组合一、选择题1B 2C 3D 4B 5B提示：45设该班学生人数为x人，依题意得解得x15二、填空题618 770 8x2 981 1021提示：7910有种方法三、解答题11解：由已知得12略解：(1)(2)(3)(或)(4)先组合后排列种.13略解：总分不大于5分的取球情况是取4个白球或取3个白球1个红球，分别有种，种，所以使总分不大于5分的取球方法种数共有种14分析：如图，对四个方格编号，以下可
21、将涂色方法分三类：四格均不涂同色有种；有且仅有两格同色，它们一定是相对两格，从五种颜色中取一种涂相对格，余两格须从其余四种色中取两种不同色涂入，有种；两组对角都涂同色有种综上，则不同涂色方法有种测试三 综合计数问题(一)一、解答题1略解：(1)种(2)种(3)因为两端都不能排女生，所以两端只能从5个男生中选2个排在两端，有种排法，其余6人有种排法，共有种不同的排法(4)8个人站一排共有种不同排法，排除掉两端都是女生的排法种，则符合条件的排法有种2答：(1)(2)(3)(4)(5)(6)78或3略解：(1)(种)(2)(种)(3)(种)，或(种)(4)(种)；(种)(6)“男甲选在内或女乙选在内
22、”的否定是“男甲且女乙不选在内”选法有(种)4略解：(1)(2)(3)(4)5解：(1)个(2)末两位数能被25整除的数是25的倍数，故有末位是25和50两类即25和50两类，共有个(3)比20314大的五位数可分为三类：3，4，5，共个；21，23，24，25，共个；203，204，205，除去20314，共个故比20314大的无重复数字五位数共有(个)(4)此题正面研究比较困难，因百位不是2或个位不是5的否定为百位数是2且个位数是5，故个6(1)(2)(3)(4)(5)测试四 综合计数问题(二)一、选择题1A 2C 3B 4A 5D提示：23除去“qu”还剩6个不同字母，得个4设该队胜x场
23、，平y场，负(15xy)场，由题意可得3xy33，y333x0，x11，且xy15(x，yN)，因此有三种情况：，或，或5通过画树图的方法解决二、填空题648 796 819 94186 1072提示：7由于红口袋不能放红球，故红球有种放法，其他有种放法，所以，共有种放法8注意到应在总数中去掉重复的情况(商是3的有2个，商是的有2个)，所以，910将相邻的两个空位与另一个空位作为两个元素，与三个人在一起排，只需这两个元素不相邻即可.共有种不同的坐法三、解答题11解：设买x片软件，y盒磁盘依题意60x70y500，且x3，y2，x、yN分析：x3时，yx4时，yx5时，yx6时，y2，y2x7时
24、，不合题意综上，共有7种购买方案12答：(1)(2)(3) (4)(5)(6)13答：(1)44256；(2)；(3)(4)；(5)；测试五 二项式定理一、选择题1D 2C 3C 4A 5C提示：3解得n125当最大时，n10或11；最大时，m5，最大时，m5或6二、填空题6189 74 812；1；729 98 10207提示：7由832，82n32，n48a1（2)12；在展开式中令x1，得a0a1a2a61；|a0|a1|a2|a6 |a0a1a2a3a6，在展开式中令x1，得a0a1a2a3a6367299811(91)11911910 91(911 91099)8余数为810展开式中
25、x5项是由（1x)10展开式中的x2，x5项与（1x3)中的x3，1两项相乘而得，因为(1x)10x2x5，所以x5的系数是207三、解答题11解：(1)根据二项式定理，由已知解得n29(2)由，解得r2故x7项系数为(2)2291441624x7项的二项式系数为40612解：f(x)(12x)m(13x)n展开式中含x的项为2x3x(2m3n)x，由2m3n13，m，n为正整数，得m2，n3或m5，n1当m2，n3时，求得x2的系数为31；当m5，n1时求得x2的系数为40；故x2的系数为31或4013解：设等差数列an的公差为又原等式成立14证明：假设第r1项为常数，用又等差数列4，7，1
26、0，13，的第k项为ak4(k1)33k1(kN)令n3k1，Tr1为常数项，则即，这与rN矛盾，所以的展开式中没有常数项测试六 计数原理学习水平测试一、选择题1B 2A 3D 4C 5D提示：4提示：用排除法二、填空题6156 73 8540 93 1019提示：6由，得n58，n13789当n5时，中必含2和5，个位数字均为0当n5时，的个位数字分别为1，2，6，4，它们的和为13S的个位数字为310三、解答题11解：由已知得，即(n3)(n6)40，n29n220，解得n11，n2(舍)所以n1112解：(1)8个节目的全排列有种不同排法，其中小品节目有种不同的排法，小品节目顺序不变，故只要其中一种排法； 同理2个舞蹈节目的全排列中，只要一种排法所以满足条件的排法有种(2)歌唱节目排在前六位，共有种不同排法，其中不合题意的是一个小品节目排在第一位，有种 所以满足条件的排法共有种13解：先将a，b看成一件和第五件排序，共有种排法，将c，d插入3个空缺共有种插法，故得不同的排法为(种)14解：7个球有6个空，为使每个盒子都不空，插入3个空，分成4份(四个盒子)，故有种放法