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1、第一章计数原理章末质量评估（人教A版选修2-3） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()A70种B112种C140种 D168种解析：法一(直接法)：分类完成：第1类，甲参加或乙参加，有CC种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有CC种挑选方法所以不同的挑选方法共有CCCC140种法二(间接法)：从甲、乙等10人中挑选4人共有C种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C种，所以甲、乙两人中至少有1人参加
2、的不同的挑选方法有CC140种答案：C2(2012新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种C9种 D8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC12种安排方案答案：A3在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是()A5 B5C10 D10解析：Tk1C(x2)5kkCx102kk(1)kCx103k(1)k.由103k4知k2，即x4的项的系数为C(1)210.答案：D4如图，要给，四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜
3、色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为()A320 B160C96 D60解析：按的顺序涂色，有CCCC5444320种不同的方法答案：A5一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是()A40 B74C84 D200解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法CCCCCC74种答案：B6不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法总数共有()A12种 B20种C24种 D48种解析：甲、乙捆绑看成一个元素，与丙、丁之外的1个元素共两个元素进行
4、全排列，有AA种排法，再插空排入丙、丁，共有AAA24种不同排法答案：C7若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为()A1 B1C0 D2解析：(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)41.答案：A84名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是()A6A B3AC2A DAAA解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A种选法，这两名女歌手有A种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A种排法，根据分步乘法计数原理，有AAA
5、种出场方案答案：D9有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有()A24种 B36种C60种 D66种解析：先排甲、乙外的3人，有A种排法，再插入甲、乙两人，有A种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有AA36(种)答案：B10由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96C108 D144解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有AA种方法，故满足题意的偶数个数有
6、CA(AAA)108个答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有_种解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C种选法，再将3人安排到三个科目，有A种不同排法，因此共有CA18种不同方案答案：1812(2012浙江高考)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解析：不妨设1xt，则xt1，因此有(t1)5a0a1ta2t2a3t3a4t4a5t5，则a3C
7、(1)210.答案：1013今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_种不同的方法(用数字作答)解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有CCC1 260种答案：1 26014某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有_种解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有C种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C种，所以共有C(CC)240种不同选法答案：240三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
8、骤)15(本小题满分12分)已知二项式(5x)n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n；(2)求展开式中含x项的系数；(3)求展开式中所有含x的有理项解：(1)由已知得：4n2n240,2n16，n4.(2)二项展开式的通项为：C(5x)4r()rC54r(1)rx4r，令4r1r2所以含x项的系数：C52(1)2150.(3)由(2)得：4rZ，(r0,1,2,3,4)，即r0,2,4.所以展开式中所有含x的有理项为：第1项625x4，第3项150x，第5项x2.16(本小题满分12分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且
9、甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有425种根据分类加法计数原理知，共有5242565种可能情况17(本小题满分12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位
10、上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？解：(1)可以组成无重复数字的三位数AA648(个)；(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第AAAA156(个)；(3)可以组成无重复数字的四位偶数AAAA2 296(个)(分0占个位和0不占个位两种情况)(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有AACCA1 140(个)(分选出的偶数是0和不是0两种情况)(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有CCCC210CC1 013(个)18(本小题满分14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另两只不成双解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为NC243 360(种)(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，即45种不同取法(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双鞋有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为NCC221 440(种)