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1、拓扑学(Topology)一、基本信息适用专业:数学与应用数学专业课程编号:教学时数:72学时学 分:4课程性质:专业核心课开课系部:数学与计算机科学院使用教材:梁基华,蒋继光拓扑学基础.高等教育出版社参考书1(美)亚当斯 著,沈以淡 等译拓扑学基础及应用.机械工业出版社;2 Munkries Topology 2nd ed. Prentice Hall;3尤承业基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.二、课程介绍拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识,学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑学与其他一些学科的联系,强化抽象思维与逻辑推理能力,提高数学素养,为进一步学习奠定基础三、考试形式考试课程,考试成
2、绩由平时成绩和期末考试组成,平时作业占百分之二十,期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式,重点考察学生的解题能力和基础理论。四、课程教学内容及课时分配第一章 集,映射与序结构要求(1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。(2) 了解选择公理与等价的引理,并能在证明中正确应用。(3)掌握映射的基本性质(4)了解偏序集,保序映射,定向与可滤,上,下确界,格与完备格的概念主要内容作为准备,本章介绍有关集合的基本概念,可数集与不可数集的有关结果。集合的交,并,补,笛卡儿积,商集运算极其性质,刻画。选择公理和Zorn引理。映射极其基本性质,偏序集的有关概念和结果,保序映射,序同构。难点 定向与可滤,上,下确界
3、,格与完备格的概念课时安排(8学时)a) 映射及其性质(1学时)b) 序论基础(6学时)c) 笛卡儿积与选择公理(1学时)第二章 拓扑空间要求本章是拓扑学最基础的内容,要求理解,熟悉本章的各种概念及其相互联系。熟练应用生成拓扑的各种方法,了解几个具体的拓扑空间。理解分离性和可数性及其等价刻画。主要内容拓扑空间的定义,开集,闭集。生成拓扑的各种方法。基,邻域,闭包,内部极其刻画。 正规,正则分离性。连续映射极其等价刻画,同胚映射与拓扑性质。网与滤子的收敛,相互关系。乘积空间,映射的乘积和乘性问题。重难点 拓扑空间、基、网与漉子的收敛、连续映射课时安排(16学时)a) 拓扑空间,开集,基,邻域(2
4、学时) b) 闭包,内部与分离性(3学时)c) 连续映射与同胚(3学时)d) 网与漉子的收敛(4学时)e) 乘积空间(4学时)第三章 几类重要的拓扑空间要求 这一章是一般拓扑学的经典内容,在数学的其他学科也有着重要的应用。因此要求理解这几类空间的定义,等价刻画,基本性质以及相互联系。 主要内容度量空间,度量拓扑,基本性质。可度量化空间,完备度量空间。正规性和完全正则性,Uryson引理和Tietze扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射,Tychonoff嵌入定理。紧空间极其基本性质,可度量化空间,完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性质。紧化理论。重难点 可度量化空间、完备度量空间、正
5、规性、完全正则性、紧性课时安排(16学时)a)度量空间(4学时)b) 具有函数分离性的空间(4学时)c) 紧空间与紧化(4学时)d) 连通与道路连通空间(4学时)第四章 拓扑与序结构 要求了解处理拓扑学问题的另一种方法,拓扑与序结构之间的有机联系。主要内容分配格与连续格极其刻画,拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质,以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。Stone空间的刻画课时安排(16学时)a) 具有分配性的格(4学时)b) Sober空间与特殊序(4学时)c) 局部紧空间(4学时)d) Stone 对偶理论(4学时)第五章 基本群要求 理解商空间和商映射的概念,掌握
6、利用商空间粘和曲面的方法。了解用代数学方法处理拓扑学问题的基本思想。了解基本群及其基本性质,以及简单空间的基本群的计算方法主要内容 商空间和商映射,各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和Brower不动点定理的证明课时安排(16学时)e) 商空间与各种曲面的制作(4学时)f) 基本群的概念与性质(4学时)g) 覆盖空间(4学时)h) 基本群的计算与应用(4学时)拓扑学考试大纲院 系:数学与计算机科学学院课程名称:拓扑学(第二学期)使用专业:数学与应用数学专业学 时:72 其中,理论学时:72 实践学
7、时:0学 分:4一、设课目的:拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识,学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑学与其他一些学科的联系,强化抽象思维与逻辑推理能力,提高数学素养,为进一步学习奠定基础.二、课程教学内容和教学目标:通过本门课程的教学,使学生掌握点集拓扑学概论基本理论和基本方法,培养学生高度的抽象思维能力,严密的逻辑思维能力。让学生了解现代拓扑学的发展现状,为以后的教学或科研工作打下良好的基础.三、课程考核的基本形式、内容和要求:本课程考核分为两部分:形成性考核和课程期末考试(一)形成性考核形成性考核部分分为:平时考勤(占20%)、作业(占70%)、课堂提问情况(占10%)这三个部分。要求
8、随时检查学生考勤,批改作业,敦促学生边学边做。学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育,严重者应给予扣分处理。 (二)课程期末考试期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论,任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习,其中重点内容为:定向与可滤,上,下确界,格与完备格的概念;拓扑空间的定义,开集,闭集。生成拓扑的各种方法。基,邻域,闭包,内部极其刻画。 正规,正则分离性。连续映射极其等价刻画,同胚映射与拓扑性质。网与滤子的收敛,相互关系。乘积空间,映射的乘积和乘性
9、问题;度量空间,度量拓扑,基本性质。可度量化空间,完备度量空间。正规性和完全正则性,Uryson引理和Tietze扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射,Tychonoff嵌入定理。紧空间极其基本性质,可度量化空间,完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性质。紧化理论;分配格与连续格极其刻画,拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质,以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。Stone空间的刻画;商空间和商映射,各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和Brower不动点定理的证明.四、考核的组织:本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。 课程期末考试教研室统一组织,以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%,期末考试成绩可占总成绩的70%。五、教材1(美)亚当斯 著,沈以淡 等译拓扑学基础及应用.机械工业出版社;2 Munkries Topology 2nd ed. Prentice Hall;3尤承业基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.六、其他有关说明或要求