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1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第第12课课 而且在一些实而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了它的某些数字特征就够了.和抽象自与和抽象自与平均值的偏差程度的平均值的偏差程度的方差方差.平均寿命越长平均寿命越长,灯泡的质量灯泡的质量就越好就越好,主要应看这批灯泡的主要应看这批灯泡的平均寿命平均寿命和灯和灯泡泡寿命相对于平均寿命的偏差寿命相对于平均寿命的偏差,但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征
2、是重要的因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的在这些数字特征中，最常用的是抽象自平均值的期望期望 评定一批灯泡的质量评定一批灯泡的质量,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定灯泡的质量就越稳定抽象出抽象出 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：例例1 两个射击运动员射击成绩两个射击运动员射击成绩如下如下则甲的平均成绩则甲的平均成绩 环环数数 10 9 8 7 6甲甲乙乙 525 200 50 100
3、 125 400 200 300 100 0 平均值平均值 =以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均 改以频率为权改以频率为权的加权平均的加权平均频率和频率和概率的关系概率的关系 以概率为权以概率为权 的加权平均的加权平均数学期望数学期望 试验次数很大时试验次数很大时,频率会接近于概率频率会接近于概率pk 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和定义定义1 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布律是的分布律是 P(X=xk)=pk,i=1,2,则称则称 为为 X 的的数学期望数学期望(期望期望)记为记为 .设在各交通岗遇到红灯的事件是相
4、互独立的设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,或或均值均值,例例2 从学校乘汽车到火车站的途中有从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗个交通岗,试求途中遇到红灯次数的数学期望试求途中遇到红灯次数的数学期望.解解 设设 X 为遇到的红灯数为遇到的红灯数,则则 X 的分布列为的分布列为 0 1 2 3Xpk7/125 54/125 36/125 8/125其概率为其概率为2/5,它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 如果如果 绝对收敛绝对收敛,例例3 求两点分布的数学期望求两点分布的数学期望解解X01pk1-pp分布律为分布律为例例4 求泊松分布的
5、数学期望求泊松分布的数学期望解解分布律为分布律为 在数轴上任取很密的分在数轴上任取很密的分点点 x1 x2 x3 0，求求 E(X).解解 物理力学解释：物理力学解释：设有一个总质量为设有一个总质量为 1 的质点系分布在的质点系分布在 x 轴上，轴上，各质点坐标位置为各质点坐标位置为 各质点质量分别为各质点质量分别为连续分布着，其线密度为连续分布着，其线密度为 f(x)总质量总质量则则X 的数学期望的数学期望与总质量之比为与总质量之比为仍为仍为 EX 质点系的质心坐标质点系的质心坐标这表明这表明EX 可以视为可以视为X 的取值中心的坐标的取值中心的坐标拉普拉斯分布拉普拉斯分布例例6 求均匀分布
6、的数学期望求均匀分布的数学期望解解概率密度为概率密度为例例7 求指数分布的数学期望求指数分布的数学期望解解概率密度为概率密度为例例7 求正态分布的数学期望求正态分布的数学期望解解概率密度为概率密度为奇函数奇函数 如果如果 绝对收敛绝对收敛,一旦知道了一旦知道了g(X)的分布的分布,就可以按照期望定义把就可以按照期望定义把 E g(X)计算出来计算出来.它的分布可以由已知的它的分布可以由已知的X 的分布求出来的分布求出来.设已知随机变量设已知随机变量X 的分布的分布 三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望一种方法是一种方法是:类似类似 EX 的推理，可建立如下的定理的推理，可建立如
7、下的定理:定理定理1 设随机变量设随机变量Y 是随机变量是随机变量X 的连续函数的连续函数Y=g(X),比较复杂比较复杂(1)(1)设设 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,其分布列为其分布列为P(X=Xi)=pi,i=1,2,是否可以不先求是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X 的分布求得的分布求得E g(X)呢？呢？(2)(2)设设X 是连续型随机变量是连续型随机变量,其密度函数为其密度函数为 f(x),如果如果 绝对收敛绝对收敛,则则 则则 如何计算如何计算 X X 的某个函数的某个函数 g(X)g(X)的期望的期望？g(X)也是随机变量也是随机变量,由此公式求由此公式求
8、E g(X)时时,甚至甚至不必知道不必知道 g(X)的分布的分布,直接利用直接利用X 的分布就可以了的分布就可以了.推广推广 设随机变量设随机变量Z 是随机变量是随机变量X,Y 的连续函数的连续函数Z=g(X,Y),则则 联合分布列联合分布列 联合密度联合密度 绝对收敛绝对收敛 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.=0.1+0.2 +0.4 +0.3例例8 设随机变量设随机变量X 的分布列为的分布列为pkX -1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.3求求 E(2X-1),),E(X 2).解解 E(2X-1)-1)例例9 设二维随机变量设二维随机变量
9、(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 求求 EX,E(XY).).解解 EXE(XY)=1.4;1.=C;四、数学期望的性质四、数学期望的性质设设C是常数，则是常数，则 EC常数常数 C 只取一个可能值只取一个可能值 C 的随机变量的随机变量 X,概率为概率为 1,EX=C 1=C.2.若若C 是常数，则是常数，则 E(CX)=C EX;3.E(X1+X2)=EX1+EX2;保线性运算保线性运算 设设X,Y 独立，则独立，则 4.E(XY)=EX EY;5.若若 X 0,则则 EX 0;若若 X1 X2,则则 EX1 EX2;反之未必成立反之未必成立:E(XY)=E(X)E(Y)X,Y
10、独立独立 保序性保序性 X1-X2 0 E(X1-X2)0 EX1-EX2 0 6.|EX|E|X|;7.若若EX 2,EY 2 都存在都存在,则则E(XY)存在存在,且且 E(XY)2 EX 2 EY 2.柯西柯西许瓦兹不等式许瓦兹不等式 积分的绝对值积分的绝对值 绝对值的积分绝对值的积分 绝对值性质绝对值性质 例例10 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望解解X 表示表示n 重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数若设若设 i=1,2,n EXi=1p+0(1-p)=p,则则 是是n 次试验中成功的次数，次试验中成功的次数，且且 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,
11、0-1分布分布 =n pXB(n,p),这意味着这意味着,若从该地区抽查很多个成年男子若从该地区抽查很多个成年男子,分别测量分别测量 他们的身高，他们的身高，若若XU(a,b),),则则若若XN(,2),),则则若若X (),),则则已学过的重要分布的数学期望：已学过的重要分布的数学期望：例例 已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高 X N(1.68,2),),那么那么,这些身高平均值的近似是这些身高平均值的近似是1.68.若若XB(n,p),则则 EX=np.若若XE(),),则则 EX=1/，设每次命中率设每次命中率为为 p,例例11 对某一目标连续射击对某一目标连续射击,直到命中直
12、到命中n 次为止次为止.五、期望及其性质的应用五、期望及其性质的应用求消耗子弹数求消耗子弹数 X 的数学期望的数学期望.解解 设设 Xi 表示从第表示从第 i 1 次命中后至第次命中后至第 i 次命中时所消耗的子弹数，次命中时所消耗的子弹数，则则 X=X1+X2+Xn,且且 Xi 的分布列为的分布列为 P(Xi=k)=(1-(1-p)k-1p,这种将这种将 X 分解为有限多个随机变量之和分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得再利用期望性质求得X 的期望的方法是较常见的基本方法的期望的方法是较常见的基本方法.而商场每而商场每销售一单位商品可获利销售一单位商品可获利500元元,若供大于求若
13、供大于求,则削价处理则削价处理,每单位每单位商品亏损商品亏损100元元;例例1212 某种商品每周的需求量某种商品每周的需求量 XU 10,30,若供不应求若供不应求,则可从外部调剂供应则可从外部调剂供应,此时每单位商品此时每单位商品可获利可获利300元元.要使商场获得最大的收益要使商场获得最大的收益,问应进货多少问应进货多少?解解 设应进货量为设应进货量为 a(1至至 30 间的某一整数间的某一整数),),利润为利润为Y,则则 连续连续 故当故当 a=23.33 时时,EY 最大最大,故应进货故应进货 23 吨吨.依题意依题意EX =b p+(-(-a)q,EY=a q+(-(-b)p.解解
14、 设甲赢的钱数为设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为，乙赢的钱数为Y 为了补偿为了补偿乙的不利地位乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相等另行规定两人下的赌注不相等,设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，为对双方公正为对双方公正,应有应有b p-a q=a q-b p,例例13 假定游戏的规则不公正假定游戏的规则不公正,以致两人获胜的概率以致两人获胜的概率不等，不等，甲为甲为 a,乙为乙为b,a b.现在的问题是：现在的问题是：a 究竟应比究竟应比 b 大多少大多少,才能做到公正？才能做到公正？甲为甲为p,乙为乙为q，p q,p+q=1.EX =EY 如经营工艺品如经营
15、工艺品,风险小但获利少风险小但获利少(95会赚会赚,但利润为但利润为1000元元)数学家可以从期望值来观察风险，分析风数学家可以从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策来规避风险险，以便作出正确的决策来规避风险 例如例如,一个体户有资金一笔一个体户有资金一笔,想经营西瓜想经营西瓜,于是计算期望值：于是计算期望值：若经营西瓜的期望值若经营西瓜的期望值 E1=0.72000=1400元元,而经营工艺品的期望值而经营工艺品的期望值 E2=0.951000=950元元.所以权衡下来情愿所以权衡下来情愿“搏一记搏一记”去经营西瓜去经营西瓜,因它的期望值高因它的期望值高.该该 如如 何何 决决 策
16、？策？期望与风险并存期望与风险并存风险大但利润高风险大但利润高(成功的概率为成功的概率为0.7,获利获利2000元元),我们介绍了随机变量的我们介绍了随机变量的数学期望数学期望，它反映了随机变量取，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.小结小结 保线性运算保线性运算 七条性质七条性质:独立性与积独立性与积 保序性保序性 绝对值性质绝对值性质 柯西柯西许瓦兹不等式许瓦兹不等式 E(XY)2 EX 2 EY 2课堂练习课堂练习1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开次数的数学期望开次数的数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为1 解解 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X)2 2 解解解解Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数,P(X=k)=1/n,k=1,2,n作业作业P111 2 5