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1、3.2 边缘分布边缘分布 联合分布联合分布F(x,y)（X,Y）整体地看整体地看 局部地看局部地看 FY(y)FX(x)X Y 二维联合分布二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及的取值及其概率规律其概率规律.问题：二者之间有什么关系吗问题：二者之间有什么关系吗?分别称为分别称为(X,Y)关于关于X和和Y的的边缘分布函数边缘分布函数 但作为一维随机变量但作为一维随机变量,X,Y 也有自己的分布函数也有自己的分布函数.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布 反之反之?转化为
2、一维转化为一维时的情形时的情形点点 表示表示 pij 对于该点所在位置的变量求和对于该点所在位置的变量求和 一、离散型二维随机变量的一、离散型二维随机变量的边缘分布律边缘分布律二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为(X,Y)关于关于X 和关于和关于Y 的的边缘分布律边缘分布律记住记住!例例1X1 2 3 41/4 0 0 0 1/81/8 0 01/12 1/12 1/12 0 1/161/161/161/16 Y1234 1/4 1/4 1/4 1/4 25/4813/48 7/48 3/48 1边缘分布律边缘分布律?为方便计算为方便计算,我们通常将边缘分
3、布律写在联合分布律表格的边缘上我们通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上FX(x)=F(x,+)X 和和Y 的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y),),则则(X,Y)关于关于X 的的边缘分布函数边缘分布函数为为(X,Y)关于关于Y 的的边缘分布函数边缘分布函数为为二、连续型二维随机变量的二、连续型二维随机变量的边缘概率密度边缘概率密度(X,Y)关于关于Y 的的边缘概率密度边缘概率密度为为则则(X,Y)关于关于X 的的边缘概率密度边缘概率密度为为小结小结联合联合 分布分布函数函数离散型离散型连续型连续型 联合分布列联合分布列 联合概率密度联合概率密度边缘边缘分布分布函数函数离散型离散型
4、连续型连续型 边缘分布律边缘分布律边缘概率密度边缘概率密度X 与与Y 的联合分布的联合分布(X,Y)关于关于X 和和Y 的边缘分布的边缘分布关于关于X 的的关于关于Y 的的关于关于X 的的关于关于Y 的的例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解 求求边缘密度边缘密度.分段函数积分应注意其表达式分段函数积分应注意其表达式 yx 0 1 y=x y=x2 在在求求连连续续型型随随机机变变量量的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是当联合密度是分段分段函数函数时，在计算积分时应特别注意积分限时，在计算积
5、分时应特别注意积分限.yx -a 0 a 例例3 设设(X,Y)服从椭圆域服从椭圆域 上的均匀分布上的均匀分布,求求(1)求求(X,Y)的的边缘密度函数边缘密度函数 解解(1)由题知由题知(X,Y)的概率密度为的概率密度为同理可得同理可得(2)(2),其中其中A为区域为区域:X 与与Y 不服从不服从均匀分布均匀分布二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘密度未必是均匀分布的均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布 yx b0 b Gx+y=b 解解例例4求求二维正态分布二维正态分布的边缘密度的边缘密度.uv同理：同理：二维正态分布的两个边
6、缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 均与均与 无关无关 反之不成立反之不成立在事件在事件B 发生的条件下事件发生的条件下事件A 发生的条件概率发生的条件概率 设有两个随机变量设有两个随机变量X,Y，这个分布就这个分布就是条件分布是条件分布随机变量随机变量推广到推广到 例如例如,考虑某大学的全体学生考虑某大学的全体学生,则则X 和和Y 都是随机变量都是随机变量,它们都有一它们都有一 定的概率分布定的概率分布.在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念体重体重X身高身高Y 从其中随机抽取一个学生，分别以从其中随机抽取一个学生，分别以X 和和Y 表
7、示其表示其 体重和身高体重和身高.在给定在给定 Y 取某个取某个或某些值的条件下或某些值的条件下,求求 X 的概率分布的概率分布.3.3 二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布 在这个条件下去求在这个条件下去求X 的的条件分布条件分布.现在若限制现在若限制1.7Y 0，有放回地连续摸有放回地连续摸两次两次,解解 依题意有依题意有例例1 一袋中装有两只白球一袋中装有两只白球,三只红球三只红球,所以所以X 和和Y 的联合分布律的联合分布律 试求条件试求条件X=1下随机变量下随机变量Y 的及的及Y=0下下 X 的的条件分布条件分布.设随机变量设随机变量 X Y 0 1 0 1 9/25 6/2
8、5 6/25 4/25p jpi 3/5 2/53/52/5及边缘分布律为及边缘分布律为 Y|X=1 0 1 pk 3/5 2/5条件条件X=1下的下的条件分布律为条件分布律为 先求先求联合联合分布列分布列和边缘分布列和边缘分布列 求二维离散型随机变量的条件分布律求二维离散型随机变量的条件分布律,需知需知边缘分布边缘分布和和联合分布联合分布.如何求条件分布函数？如何求条件分布函数？X、Y 的条件分布律分别为的条件分布律分别为:在已知在已知 Y=yj 下下,X 的条件分布函数为的条件分布函数为:在已知在已知 X=xi 下下,Y 的条件分布函数为的条件分布函数为:类条概公式类条概公式 设设(X,Y
9、)的分布函数为的分布函数为 F(x,y),概率密度为概率密度为 f(x,y),由于由于 x,y,P X=x=0,P Y=y=0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，类似地类似地,条件条件 X=x 下下Y 的条件分布函数为的条件分布函数为 定义定义2 若极限若极限则则条件条件Y=y 下下X 的的条件密度条件密度为为二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布 设设(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,下面我们用极限工具下面我们用极限工具给出条件概率密度的定义给出条件概率密度的定义:存在，存在，则称它为则称它为条件条件Y=y下下
10、 X 的条件分布函数的条件分布函数，则其边缘密度函数则其边缘密度函数 fX(x),fY(y)也也连续，连续，条件条件 X=x 下下Y 的的条件密度条件密度为为记为记为 FX|Y(x|y).解解例例2 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为同理同理,求条件概率密度求条件概率密度由类条概公式，由类条概公式，当当 y 0 和和 y 1 时，时，0 xyy=x y=x2 应先求两个边缘密度应先求两个边缘密度 fX(x),fY(y)：不存在不存在,当当 0 y 1 时，时，同理同理,当当 x 0 和和 x 1 时，时，当当 0 x 1 时，时，不存在不存在,在在 X=x(0 x1).解解 (1)0，其他
11、其他.(2)求：求：0 1 xyy=x (3)P(X+Y1)已知边缘密度和条件密度已知边缘密度和条件密度0 xyy=x y=1-x 例例4 设设(X,Y)服从圆域服从圆域 x 2+y 2=R2 上的均匀分布，上的均匀分布，求求 及及 解解 (X,Y)关于关于X 的边缘密度的边缘密度为为X 已知下已知下Y 的条件密度的条件密度是是 y 的取值范围的取值范围 X 作为已知变量作为已知变量 (X,Y)的联合分布服从均匀分布的联合分布服从均匀分布 边缘分布服从均匀分布边缘分布服从均匀分布 条件分布仍为均匀分布条件分布仍为均匀分布如如y=0 时的图形为时的图形为-R 0 0 R xfXY(x|y)恰为恰
12、为 y 取值区间的长度取值区间的长度都服从均匀分布都服从均匀分布恰为恰为 x 取值区间的长度取值区间的长度 当当|x|R 时时,当当|y|R 时时,1/21/2R。小结小结 二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘密度未必是均匀分布均匀分布二二维维正正态态分分布布的的两两个个边边缘缘密密度度仍仍是是正正态态分分布布 条件分布仍为条件分布仍为均匀或正态分布均匀或正态分布二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布离散型离散型连续型连续型课堂练习课堂练习 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(X,Y)关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.求求 .解解暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,故故暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定暂时固定当当 时时,当当 时时,故故当当 时时,综上综上当当 时时,当当 时时,暂时固定暂时固定4.设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是A=24.解解 (1)故故求求(1)A的值的值 (2)两个边缘密度两个边缘密度(3)解解(2)当当 时时当当 时时,暂时固定暂时固定注意取值范围注意取值范围综上综上,当当 时时,综上综上,注意取值范围注意取值范围(2)当当 时时,故故暂时固定暂时固定当当 时时,故故暂时固定暂时固定作业作业P82 1，5 P86 1，5