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1、1第九周第九周 协方差协方差与相关系数与相关系数9 9.2.2 协方差协方差多元随机变量更本质的方面是各分量之间的相互关系多元随机变量更本质的方面是各分量之间的相互关系、相互作用相互作用，这方面最重要的数这方面最重要的数字特征是协方差与相关系数。字特征是协方差与相关系数。定义：设定义：设 YX,是二元随机变量，是二元随机变量，YEYXEXE 称为称为YX,的的协方差协方差，记为记为 YXCov,。0,aXCov，XYCovYXCov,，YXCovccbYcaXcCov,2121 ,ZYCovZXCovZYXCov,，,Cov X YE XYE X E Y ，若若,X Y相互独立相互独立，,0C
2、ov X Y*例例 9 9.2 2.1 1 从从4,3,2,1中等可能地取中等可能地取 1 1 个数记为个数记为X，再从，再从X,2,1中等可能地取中等可能地取 1 1 个数个数记为记为Y。求。求 YXCov,。解解：YX,的联合与的联合与边缘边缘分布列为分布列为 123411 40001 421 81 8001 431 121 121 1201 441 161 161 161 161 425 4813 487 481 161X YYYYYP XiXXXXP Yk 111112 12 23 13 23 34 14 24 34 45481216E XY 5 75,52 48Cov X YE XY
3、E X E Y 。*例例 9 9.2.22.2 设设随机变量随机变量 XGe p(01p )，,1101XYX，计算计算 ,Cov X Y。2解解：1E Xp，110011E YP YP YP Xp 1100E XYE E XY YP YE XY YP YE XY Y1111P YE XY YP XE X Xp,1,1Cov X YE XYE X E Ypppp 。补充：补充：其中其中 X,YX,Y 乘积乘积的期望的期望也可以也可以直接观察得到，只有直接观察得到，只有 X=1X=1，Y=1Y=1 时时，X,YX,Y 的的联合概联合概率非零，率非零，,1 1111E XYP XYP Xp 。*随
4、机变量随机变量和的和的方差公式方差公式 22Var XYEXYE XY 222222E XE XYE YE XE X E YE Y 22222E XE XE YE YE XYE X E Y 2,Var XVar YCov X Y YXCovYVarXVarYXVar,2 *随机变量随机变量 YX,的的协方差协方差 ,YCov XEXE XYE Y 若若 YX,的的取值取值，当当 XE X 时时，YE Y 的可能性的可能性较大较大；当当 XE X 时时，YE Y 的的可能性可能性较大，则较大，则 ,Y0Cov X；若若 YX,的的取值取值，当当 XE X 时时，YE Y 的可能性的可能性较大较大
5、；当当 XE X 时时，YE Y 的的可能性可能性较大较大，则则 ,Y0Cov X；若若 YX,的的取值取值，当当 XE X 时时，YE Y 和和 YE Y 的可能性差不多的可能性差不多；当当 XE X 时时，YE Y 和和 YE Y 的可能性差不多的可能性差不多，则，则 ,YCov X会比较接近于会比较接近于 0 0。3例如例如本节本节的的例例 1 1，X X 越大则越大则 Y Y 取到比较大的值的可能性取到比较大的值的可能性也越大也越大，它们是正相关的关系它们是正相关的关系，计算计算得得协方差也为正数协方差也为正数，等于等于 8 8 分之分之 5;5;例例 2 2，当当 X X 等于等于
6、1 1 时时 Y Y 等于等于 0,0,当当 X X 大于大于 1 1 时时，Y Y 的取值为的取值为 0,X,Y0,X,Y 的变化趋势相反的变化趋势相反，它们它们是负相关的关系是负相关的关系，协方差等于协方差等于 p-1p-1，是负数是负数。但是但是，随机变量随机变量 X X，Y Y 的的协方差协方差的大小的大小还不足以充分还不足以充分地反映地反映 X X，Y Y 之间之间的的相关程度相关程度，因因为若将为若将 X X，Y Y 同时同时放大放大 1010 倍倍，变为变为 1010X X 和和 1010Y Y，它们的协方差增大了它们的协方差增大了 100100 倍倍，但是它但是它们们实际实际的相关的相关程度程度并没有并没有发生发生变化变化，所以我们还需要引入更所以我们还需要引入更细致细致、更合理的刻画随机更合理的刻画随机变量之间相关性变量之间相关性的的指标。指标。就是就是相关系数。相关系数。*