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1、第七章第七章 静止电荷的电静止电荷的电场场 大学物理学包括大学物理学包括力学力学、热学热学、电磁学、电磁学、光学光学和和现代物理几大部分。现代物理几大部分。电磁学是研究物质间电磁相互作用的一门科学，电磁学是研究物质间电磁相互作用的一门科学，它研究它研究电磁场的产生电磁场的产生、变化变化和和运动运动的规律。的规律。7章研究章研究电场，研究电场，研究静电场静电场的性质和规律。的性质和规律。8章研究章研究恒定磁场恒定磁场的性质和规律。的性质和规律。9章研究章研究随时间变化随时间变化的电磁场。的电磁场。先讲静电场。相对于观察者先讲静电场。相对于观察者静止的电荷静止的电荷产生的电产生的电场称为静电场。场
2、称为静电场。7章主要任务：章主要任务：认识和认识和描述静电场描述静电场，研究静电场的基本性质研究静电场的基本性质。2第七章第七章 静止电荷的电场静止电荷的电场3 自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。电电荷荷间间有有电电力力的的相相互互作作用用：同同号号电电荷荷相相斥斥,异异号号电电荷荷相吸相吸。7-1电荷电荷库仑定理库仑定理1.电荷电荷电荷具有最小单元：电荷具有最小单元：e=1.6 10-19C。在自然界中在自然界中,带电体的电量都是这一最小电量带电体的电量都是这一最小电量e的的整数倍：整数倍：q=Ne 这个特性叫做电荷的这个特性叫做电荷的量子化量子
3、化。2.电荷守恒定律电荷守恒定律是一个实验定律。在一个与外界没有电荷交换的系统是一个实验定律。在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论发生什么物理过程，系统内正、负电荷量的内，无论发生什么物理过程，系统内正、负电荷量的代数和始终保持不变。代数和始终保持不变。3.电荷的量子化电荷的量子化4真空中真空中,点电荷点电荷q1、q2，相距为，相距为r图7-1q1q2rF实验规律：实验规律：方向：方向：同性相斥同性相斥，异性相吸异性相吸 0称为真空电容率或真空介电常数。称为真空电容率或真空介电常数。4.库仑定律库仑定律 物理模型物理模型点电荷点电荷：只考虑带电体的电荷量和位：只考虑带电体的电荷量和位置，不考
4、虑其大小和形状。置，不考虑其大小和形状。5库仑定律库仑定律(7-1)er 是从点电荷是从点电荷q1指向点电荷指向点电荷q2的的单位矢量单位矢量。q1q2rF图7-1 库仑定律的适用范围：库仑定律的适用范围：点电荷点电荷 若带电体不能视为点电荷，则采用若带电体不能视为点电荷，则采用“化整为零，集零化整为零，集零为整为整”方法处理。方法处理。6库仑定律的适用范围：库仑定律的适用范围：点电荷点电荷 若带电体不能视为点电荷，则采用若带电体不能视为点电荷，则采用“化整为零，集零化整为零，集零为整为整”方法处理。方法处理。qdLqdrr取线元取线元dr,电荷元电荷元 dq=各各 同向同向7库仑定律的形式与
5、万有引力定律形式相似，是库仑定律的形式与万有引力定律形式相似，是实验规律的总结实验规律的总结。实验证明各点电荷间的库仑力彼此是独立的，实验证明各点电荷间的库仑力彼此是独立的，满足满足叠加原理叠加原理（不能用比其更基本的原理及实验（不能用比其更基本的原理及实验定律推导）定律推导）：8氢原子中电子和质子的距离为氢原子中电子和质子的距离为 解解例例7-1此两粒子间的电力和万有引力。此两粒子间的电力和万有引力。求求两粒子间的静电力大小为两粒子间的静电力大小为两粒子间的万有引力为两粒子间的万有引力为9两个点电荷间的相互作用力：万有引力两个点电荷间的相互作用力：万有引力FG和库仑力和库仑力Fe 两同样的点
6、电荷，两同样的点电荷，m=1Kg,q=1C,相距相距1米，米，FG0,电场方向由点电荷沿径向指向四周；若电场方向由点电荷沿径向指向四周；若q0,则反向。即点电荷的电场具有球对称性。则反向。即点电荷的电场具有球对称性。19对任何静电场成立。对任何静电场成立。只对点电荷电场成立。只对点电荷电场成立。注意：注意：思考：思考：因因 时时,不能将带电体再视为点电荷。不能将带电体再视为点电荷。不能用不能用 计算计算20(2)、场强叠加原理和点电荷系的场强、场强叠加原理和点电荷系的场强叠加原理：叠加原理：直角系中，直角系中，21电偶极子：电偶极子：两个带等量异号电荷的点电荷（两个带等量异号电荷的点电荷（-q
7、和和+q）,相距相距l,l很短很短，这对点电荷称为偶极子。这对点电荷称为偶极子。-q+ql电矩：电矩：pe=ql图8-34电矩电矩pe是用来表征电偶极子电性质的一个物理量。是用来表征电偶极子电性质的一个物理量。将从负电荷到正电荷的矢量将从负电荷到正电荷的矢量l与电量与电量q的乘积的乘积ql称为称为电偶极子的电矩，用电偶极子的电矩，用pe表示。表示。22(3)、连续分布电荷的场强、连续分布电荷的场强A 均匀带电体（电荷体密度均匀带电体（电荷体密度）处理方法：处理方法：化整为零，集零为整化整为零，集零为整任取体元任取体元dV，电荷元，电荷元dq=dV,视为点电荷。视为点电荷。dqdE均匀带电体的场
8、：均匀带电体的场：矢量和！矢量和！注意：注意：若各若各 不同向时，建立坐标系。不同向时，建立坐标系。dE23先求先求:后：后：方向：方向：仅当各仅当各 同向时，方能同向时，方能dE24B 均匀带电面（电荷面密度均匀带电面（电荷面密度）任取面元任取面元dS，电荷元，电荷元dq=dS,视为点电荷。视为点电荷。dqdE均匀带电面的场：均匀带电面的场：矢量和！矢量和！注意：注意：若各若各 不同向时，建立坐标系。不同向时，建立坐标系。dE先求先求:25后：后：方向：方向：C 均均匀带电线（电荷线密度匀带电线（电荷线密度）任取线元任取线元dl，电荷元，电荷元dq=dl,视为点电荷。视为点电荷。dqdE均匀
9、带电线的场：均匀带电线的场：矢量和！矢量和！26注意：注意：若各若各 不同向时，建立坐标系。不同向时，建立坐标系。dE先求先求:后：后：方向：方向：仅当各仅当各 同向时，方能同向时，方能dE27 例题例题7-2 有一均匀带电直线，单位长度上的电量为有一均匀带电直线，单位长度上的电量为 ，求离直线的距离为，求离直线的距离为a的的P点处的场强。点处的场强。解解 此类题可按下列步骤求解此类题可按下列步骤求解:(1)建立适当的坐标系，如图建立适当的坐标系，如图7-3所示。所示。(2)将直线分为长为将直线分为长为dx的无限多个电荷元的无限多个电荷元dq=dx(视视为点电荷为点电荷)，并写出一个有代表性，
10、并写出一个有代表性(位置用变量位置用变量x表示表示)的电荷元在的电荷元在P点产生的电场：点产生的电场：由于不同位置的电荷元在由于不同位置的电荷元在P点产生的场强点产生的场强dE方向不同方向不同,故应将故应将dE向向x轴和轴和y轴方向投轴方向投影影,于是有于是有(3)分析问题的对称性。分析问题的对称性。dExdEyoPaxy图7-3 xdqdxr28dEx=dEcos (4)统一积分变量统一积分变量,定积定积分限分限,完成积分完成积分,得到所求场得到所求场强分量式强分量式r=a/sin,x=-a.ctg,dx=ad/sin2 dEy=dEsin 1 2dExdEyoPaxy图7-3 xdqdxr
11、29 (1)对无限长带电直线对无限长带电直线,讨论讨论:记住！记住！(2)对平面、柱面等形状对平面、柱面等形状,可利用带电直线公式积分。可利用带电直线公式积分。1=0和和 2=；代入得；代入得 1 2dExdEyoPaxy图7-3 xdqdxr30 例题例题7-3 一均匀带电一均匀带电Q的圆弧，半径为的圆弧，半径为R、圆心角、圆心角为为，求圆心，求圆心o处的电场。处的电场。解解 由对称性可知，圆心由对称性可知，圆心o点点的电场是沿角的电场是沿角 的平分线的平分线(y轴轴)方方向的。向的。将圆弧划分为若干电荷元将圆弧划分为若干电荷元dq(点电荷点电荷)，利用点电荷公式积分：，利用点电荷公式积分：
12、xoy图7-4RdqdRoQyx31 例题例题7-4 一圆环半径为一圆环半径为R、均匀带电、均匀带电q，求轴线，求轴线上一点的场强。上一点的场强。解解 由对称性可知，轴线上的由对称性可知，轴线上的电场方向是沿轴线向上的。电场方向是沿轴线向上的。即即注意：注意：任何均匀带电的旋转体任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形如圆形、球形、柱形)用圆环公式积分求电场最为方便。用圆环公式积分求电场最为方便。poR图7-5xqrdq32 RddR开口带电圆环（开口带电圆环（R,）求：在环心处）求：在环心处 E0处理方法：处理方法：填补法填补法O根据对称知，根据对称知，方向：方向：o d方向：指向空隙方向：
13、指向空隙33 例题例题7-5 一均匀带电的薄圆盘，半径为一均匀带电的薄圆盘，半径为R、面电、面电荷密度为荷密度为，求圆盘轴线上一点的场强。求圆盘轴线上一点的场强。解解 分为若干园环积分。分为若干园环积分。图7-6xpEx.2 rdr当当R(xR)时时,这正是无限大平面的电场。这正是无限大平面的电场。34 4.电场线电场线(电力线电力线)为为了了形形象象地地描描绘绘电电场场在在空空间间的的分分布布,按按下下述述规规定定在电场中画出的一系列假想的曲线在电场中画出的一系列假想的曲线电场线：电场线：(1)曲曲线线上上每每一一点点的的切切线线方方向向表表示示该该点点场场强强的的方方向向;(2)通通过过垂
14、垂直直于于电电场场方方向向单单位位面面积积上上的的电电场场线线条条数等于该点电场强度的大小。数等于该点电场强度的大小。d e 通过通过ds的电场线条的电场线条数数(7-2)dsEEE图7-735(a)正电荷正电荷(b)负电荷负电荷图7-836静电场电场线的特点：静电场电场线的特点：(1)电电场场线线起起自自正正电电荷荷,止止于于负负电电荷荷,或或延延伸伸到到无无穷穷远处。远处。(2)电场线电场线不不形成闭合曲线。形成闭合曲线。(3)在在没没有有电电荷荷处处,两两条条电电场场线线不不会会相相交交,也也不不会会中中断。断。(c)一对等量正电荷一对等量正电荷(d)一对等量异号电荷一对等量异号电荷37
15、 电电(E)通通量量通通过过电电场场中中任任一给定曲面的一给定曲面的电场线总数电场线总数。5.电电场场强强度度通量通量ds 从图从图7-9可以看出，通过可以看出，通过面元面元dS的电通量和通过投影面的电通量和通过投影面dS的电通量是一样的。因此的电通量是一样的。因此通过通过dS的电通量为的电通量为 上式可以写为上式可以写为(7-4)d e=EdS=Edscos(7-3)Eds图7-938 对一个任意曲面对一个任意曲面S(图图8-10),通过的电通量应为通过的电通量应为(7-4)(7-5)图7-10en39 通过一个封闭曲面通过一个封闭曲面S的电通量的电通量(图图7-11)可表示为可表示为图7-
16、11S 对于闭合曲面对于闭合曲面,规定规定由内向外由内向外的方向为各处面元的方向为各处面元法向的正方向法向的正方向。由由d e=EdS=Edscos 知知 当电场线从面内当电场线从面内穿出穿出时时,d e 为正为正;当电场线由面外当电场线由面外穿入穿入时时,d e 为负为负。因此，式因此，式(7-5)中表示的通过整个中表示的通过整个封闭曲面的电通量封闭曲面的电通量 e,就等于穿出与穿就等于穿出与穿入该封闭曲面的电场线的代数和入该封闭曲面的电场线的代数和(净通净通量量)。(7-5)enen40 点点电电荷荷q位位于于一一半半径径为为r的的球球面面中中心心，则则通通过过这这球球面面的的电电通量为通
17、量为1.高斯定理高斯定理(7-6)rq (a)图7-12球面球面7-3静静电场电场的的高斯定理高斯定理！41 对包围点电荷对包围点电荷q的任意形的任意形状的曲面状的曲面S来说来说,显然显然 如如果果闭闭合合面面S不不包包围围点点电电荷荷q,如图如图7-12(c)所示所示,则则rq (b)图7-12球面球面sq图7-12(c)s42 设设封封闭闭曲曲面面S内内有有n个个点点电电荷荷q1,q2,qn，这就是高斯定理。这就是高斯定理。q1qiqnQ1QjQms图7-12(d)封闭曲面封闭曲面S外外有有m个个点电荷点电荷Q1,Q2,Qm,则任一点的电则任一点的电场为场为+043 (1)高斯定理表明高斯
18、定理表明:在真空中的静电场内在真空中的静电场内,通过任意通过任意封闭曲面封闭曲面(高斯面高斯面)的的电通量电通量等于等于该封闭曲面所该封闭曲面所包围包围的电的电荷的电量的代数和荷的电量的代数和(净电荷净电荷)乘以乘以1/o倍倍。这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由该封闭曲面所包围的电荷确定该封闭曲面所包围的电荷确定,而与面外的电荷无关。而与面外的电荷无关。(2)高高斯斯定定理理表表达达式式左左方方的的场场强强E是是空空间间所所有有电电荷荷(既既包包括括封封闭闭曲曲面面内内，又又包包括括封封闭闭曲曲面面外外的的电电荷荷)共共同同产产生生的场强的矢量
19、和。的场强的矢量和。(3)高斯定理还表明高斯定理还表明:正电荷是发出电场线的源头正电荷是发出电场线的源头,负负电荷是吸收电场线的闾尾。电荷是吸收电场线的闾尾。即即:静电场是一个有源场。静电场是一个有源场。(7-6)44问题：问题：1.如果高斯面上如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷处处为零，则该面内必无电荷。如果高斯面上如果高斯面上E处处为零，则该面内必无净电荷。处处为零，则该面内必无净电荷。2.如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。处处为零。如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上E不一定为零不一定为零。3.如果高斯面上如果高斯面上E
20、处处不为零，则该面内必有电荷。处处不为零，则该面内必有电荷。如果高斯面上如果高斯面上E处处不为零处处不为零,则该面内不一定有电荷。则该面内不一定有电荷。4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强一定为零。场强一定为零。高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场 强强不一定处处为零。不一定处处为零。(7-6)452.高斯定理的应用高斯定理的应用 用高斯定理计算场强的步骤：用高斯定理计算场强的步骤：(1)分析场强分布的对称性，找出场强的方向和分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强大小的分布。场强大小
21、的分布。(2)选择适当的高斯面，并计算出通过该高斯面选择适当的高斯面，并计算出通过该高斯面的电通量。的电通量。(3)求出高斯面所包围的电量。求出高斯面所包围的电量。(4)按高斯定理求出场强。按高斯定理求出场强。高斯定理大约能求解三类问题：高斯定理大约能求解三类问题：(a)球对称球对称，如均匀带电的球体、球面、球壳。，如均匀带电的球体、球面、球壳。(b)轴对称轴对称，如均匀带电的长直柱体、柱面。，如均匀带电的长直柱体、柱面。(c)平面型平面型，如均匀带电的无限大平面、平板。，如均匀带电的无限大平面、平板。46 例题例题7-6 一均匀带电一均匀带电q的球体，半径的球体，半径R，求球内外，求球内外的
22、场强。的场强。解解 由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。E.4 r2取半径取半径r的球面为高斯面，的球面为高斯面，由高斯定理由高斯定理R图7-13rr是场点到球心的距离。是场点到球心的距离。于是于是球球对称中的高斯定理可写为对称中的高斯定理可写为即即是以是以r为半径的球面内电荷的代数和。为半径的球面内电荷的代数和。47rR:qR图7-13r48 例题例题7-7 电荷体密度为电荷体密度为 的球体内有一球形空腔，的球体内有一球形空腔，两球心相距两球心相距a,如图如图7-17所示。求空腔中任一点所示。求空腔中任一点P的电的电场。场。解解 空间任一点的电场可看作
23、是带电空间任一点的电场可看作是带电的两个的两个实心球体电场的叠加。实心球体电场的叠加。+=or1po-r2p由上题的结果，球体内：由上题的结果，球体内：图7-14 aooP49大小：大小：方向：由方向：由o指向指向o。空腔中任一点空腔中任一点P的电场为的电场为r1-r2aoo+=or1po-r2p图7-14 aooP50 例题例题7-8 两同心均匀带电球面，半径为两同心均匀带电球面，半径为R1和和R2，分别带电分别带电q1和和q2,求空间电场分布。求空间电场分布。解解 由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。q1q1+q2rR1:由球对称中的高斯定理由球对称
24、中的高斯定理0=0;R1R2oq1q2图7-1551 例题例题7-9 一带电球体，半径一带电球体，半径R，电荷体密度为，电荷体密度为=o(1-r/R),o为常量；求为常量；求:(1)球内外的电场；球内外的电场；(2)场强场强的最大值及相应的半径。的最大值及相应的半径。解解 (1)由高斯定理由高斯定理:rR:E2.4 r2=R图7-16rdr52 场强最大值出现在球内：场强最大值出现在球内：得得:由由(2)场强的最大值及相应的半径。场强的最大值及相应的半径。rR:R图7-1653 例题例题7-10一均匀带电的无限长直柱体，半径为一均匀带电的无限长直柱体，半径为R，电荷体密度为，电荷体密度为，求柱
25、内外的场强。，求柱内外的场强。解解 由对称性知由对称性知,电场方向垂直轴电场方向垂直轴线指向四周线指向四周,如图如图7-17所示。所示。即即 选同轴选同轴封闭封闭柱面柱面为为高斯面高斯面,由高斯定理有：由高斯定理有：底面半径为底面半径为r,高为高为l的的柱面内柱面内电荷的代数和电荷的代数和图7-17RrlE54rR:图7-17RrlE 底面半径为底面半径为r,高为高为l的的柱柱 面面 内内电荷的代数和电荷的代数和55 例题例题7-11 两均匀带电的同轴长直柱面，半径两均匀带电的同轴长直柱面，半径R1R2,单位长度的带电量分别是单位长度的带电量分别是 ，求电场分布。，求电场分布。解解rR1:=0
26、R1rR2:=0R1R2+-图7-18056 例题例题7-12 设电荷体密度沿设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律：轴方向按余弦规律：=ocosx分布分布在整个空间在整个空间,o为幅值，求电场分布。为幅值，求电场分布。解解 空间是由许多垂直于空间是由许多垂直于x轴的无限大均匀带电平轴的无限大均匀带电平面组成。面组成。oxYoz平面图7-19EE由此判断由此判断:电场方向沿电场方向沿x轴轴,且对且对yoz平面对称。平面对称。选如图所示的柱形高斯面选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理：由高斯定理：xdxSSxx57 例题例题7-13 空间的电场分布为空间的电场分布为:Ex=bx,Ey=0,Ez=0;求图
27、求图7-20中所示的边长为中所示的边长为a的立方体内的净电荷。的立方体内的净电荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m)解解 高斯定理高斯定理=o-ba.a2=oba2=8.85 10-12C。取立方体六个面为高斯面取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为则立方体内的净电荷为aaxyzo图7-20E+b(2a).a258dlcos=drqrarbabL图7-21qoErdrdl1.静电场的环路定理静电场的环路定理7-4静电场的环路定理静电场的环路定理电势电势！在点电荷在点电荷q的电场中，的电场中，q0从从ab移移动动：(7-7)59(7-7)qrarbabL图7-21qoErdrdl
28、由由此此可可见见,在在点点电电荷荷q的的电电场场中中,电电场场力力的的功功只只与与路径的起点和终点位置有关路径的起点和终点位置有关,而与路径形状无关。而与路径形状无关。60 在在点点电电荷荷系系q1,q2,qn的的电电场场中中，qo从从a点点沿沿任任一一路径路径L移到移到b点时，电场力对点时，电场力对qo所作的功为所作的功为 显然，在由点电荷系产生的电场中显然，在由点电荷系产生的电场中,电场力对电场力对qo的的功也与路径无关。功也与路径无关。61 结结论论:静静电电力力的的功功,仅仅与与路路径径的的起起点点和和终终点点的的位位置有关置有关,而与路径形状无关。而与路径形状无关。所以所以,静电场力
29、是保守力，静电场是保守力场。静电场力是保守力，静电场是保守力场。若:q0沿任意闭合路径沿任意闭合路径L移动一周，则：移动一周，则：62 在静电场中，在静电场中，电场强度电场强度沿任意闭合路径的线沿任意闭合路径的线积分积分(环流环流)为零为零。这就是静电场的这就是静电场的环路定理环路定理。因为因为E是作用于单位正电荷上的电场力是作用于单位正电荷上的电场力环路定理又可表述为环路定理又可表述为：把单位正电荷在电场中沿任意的闭合路径把单位正电荷在电场中沿任意的闭合路径L移动一周移动一周电场力做功为零。电场力做功为零。632.电势电势 静电场力的功：静电场力的功：可见，静电场力的功可写为可见，静电场力的
30、功可写为我们定义：我们定义：wa是是qo在在a点时点时系统系统的电势能的电势能;wb是是qo在在b点点时系统的时系统的电势能。电势能。可见：可见：电场力的功等于电势能增量的负值。电场力的功等于电势能增量的负值。(7-8)wa-wb=-(wb-wa)点电荷系点电荷系点电荷点电荷64 若取若取b点为电势能的零点点为电势能的零点(零势点零势点),则则qo在在a点的点的电势能为电势能为 上式的意义是：上式的意义是：qo在场中某点在场中某点a的电势能等于将的电势能等于将qo从该点从该点a经任意路径移到零势点时电场力对经任意路径移到零势点时电场力对qo所作所作的功。的功。(7-8)wa-wb=-(wb-w
31、a)65电势和电势差电势和电势差 我们定义：场中我们定义：场中a点的点的电势电势：由电势能的定义式：由电势能的定义式：电电场场中中某某点点的的电电势势等等于于单单位位正正电电荷荷在在该该点点的的电电势势能；能；也等于也等于将单位正电荷将单位正电荷从该点经过任意路径从该点经过任意路径移到移到零势点时电场力所作的功零势点时电场力所作的功。(7-9)66电势差电势差(电压电压)=两点电势之差两点电势之差得得得得(7-10)即即67 (1)原则上电势零点可任意选择，视方便而定原则上电势零点可任意选择，视方便而定。对有限大小的带电体对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点规定取无穷远为零势点,于是于是
32、在实际问题中在实际问题中,也常常选大地的电势为零。也常常选大地的电势为零。(2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。差是绝对量，与电势零点的选择无关。(3)电势是标量电势是标量,其值可正可负其值可正可负,与零势点的选择有关。与零势点的选择有关。公公式式小小结结(7-11)68 (1).点电荷点电荷q场中场中p点的电势点的电势 即点电荷的电势、电场为即点电荷的电势、电场为(7-26)dr图7-22rPq取无穷远为电势零点，由定义式有取无穷远为电势零点，由定义式有&3.电势的计算电势的计算69(2).点电荷系点电荷系
33、(q1,q2,qiqn)场中的电势场中的电势，Ei为为qi产生的电场。产生的电场。即即式式中中:Vi代代表表第第i个个点点电电荷荷qi单单独独存存在在时时在在a点点产产生生的电势的电势。式式(7-27)表表明明:一一个个点点电电荷荷系系的的电电场场中中任任一一点点的的电电势势等等于于每每一一个个点点电电荷荷单单独独存存在在时时在在该该点点所所产产生生的电势的的电势的代数和代数和。这一结论称作这一结论称作电势叠加原理电势叠加原理。(7-12)因因70 (3).带电体电场中的电势带电体电场中的电势 第第一一种方法：将带电体分为许多电荷元种方法：将带电体分为许多电荷元dq(点电点电荷荷)，利用点电荷
34、的电势公式积分，利用点电荷的电势公式积分:第第二二种方法：按电势的定义式进行计算：种方法：按电势的定义式进行计算：以上内容的学习重点：以上内容的学习重点：熟练掌握求电势、电熟练掌握求电势、电势差及电场力的功的方法。势差及电场力的功的方法。(用高斯定理求电场用高斯定理求电场)(7-13)&71&72 例题例题7-14 (1)正六边形边长正六边形边长a，各顶点有一点电荷，各顶点有一点电荷，如图如图7-23(a)所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心形中心o点的过程中点的过程中,电场力的功为电场力的功为 解解Vo=-q(oa)。+1=-Vo将将Vo代入功的式子
35、，得代入功的式子，得a+q+q+q+q+q-q图7-23(a)o73 (2)电荷分布如图电荷分布如图7-23(b)所示所示,将点电荷将点电荷qo从从a经半经半园园b移到移到c的过程中的过程中,电场力对电场力对qo的功为的功为-qqo(6oR)。解解RRaRo-q+qbc图7-23(b)74 例题例题7-15 一均匀带电直线段，长为一均匀带电直线段，长为L，电量为，电量为q;求直线延长线上离一端距离为求直线延长线上离一端距离为d的的P点的电势。点的电势。(取无取无穷远为电势零点穷远为电势零点)解解 将带电直线分将带电直线分为许多电荷元为许多电荷元dq(点电荷点电荷),利用点电荷电势公式利用点电荷
36、电势公式积分：积分：xPdLq图7-24dxdq75Vo=例题例题7-16 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取取无穷远为电势零点无穷远为电势零点)解解qoR图7-25adqRVp=RPxq图7-25brdq.o.o76 解解 将圆盘分为若干个圆环将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分。利用圆环公式积分。.2 rdr4odxP图7-26ddrr 例题例题7-17 均匀带电圆盘，半径为均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度，电荷面密度为为，求轴线上离盘心距离为，求轴线上离盘心距离为x的的P点的电势。点的电势。(取无穷取无穷远为电势零点远为电势零点)77 例题例题7-18
37、求半径为求半径为R、总电量为、总电量为q的均匀带电球面的均匀带电球面的电势分布。的电势分布。解解 由高斯定理求出其场强分布由高斯定理求出其场强分布:选定无限远处的电势为零选定无限远处的电势为零,由电由电势的势的定义式定义式，有，有r R:r R:R图7-27q78 例题例题7-19 一带电球体，半径一带电球体，半径R，电荷体密度为，电荷体密度为=Ar,A为常量；求为常量；求:球内外的电场和电势。球内外的电场和电势。R图7-28rdr 解解 (1)电场电场rR:(2)电势电势rR:79 例题例题7-20 一真空二极管，其主要构件是一个半一真空二极管，其主要构件是一个半径径R1=5 10-4m的圆
38、筒形阴极的圆筒形阴极A和一个套在阴极外的和一个套在阴极外的半径半径R2=4.5 10-3m的同轴圆筒形阳极的同轴圆筒形阳极B,如图如图7-29所示。所示。阳极电势比阴极高阳极电势比阴极高U=300伏伏,忽略边缘效应，忽略边缘效应，求求:(1)两极间的电场；两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所电子刚从阴极发出时所受的力；受的力；(3)电子到达阳极时的速度。电子到达阳极时的速度。解解 (1)设内外设内外圆筒单位长度分别带电圆筒单位长度分别带电，由高由高斯定理，两极间的电场斯定理，两极间的电场:R1r0。EVV+dV12图7-32dldn 是沿等势面法线的单位矢量是沿等势面法线的单位矢量,方向指
39、向方向指向电势升电势升高高的方向。的方向。电势梯度电势梯度P电势沿电势沿 方向的空间变化率方向的空间变化率:电势沿电势沿 方向的空间变化率方向的空间变化率:在各在各 方向中，只有法向方向中，只有法向 最短。最短。dn是是P点电势沿各空间方向变化率中的最大值点电势沿各空间方向变化率中的最大值87VV+dV12E图7-32dldn 我们定义：我们定义：电势梯度电势梯度 电场中某点电势梯度是一个电场中某点电势梯度是一个矢量矢量。电势梯度。电势梯度的的方向方向为沿该点等势面的为沿该点等势面的正法线方向正法线方向，大小为该点处，大小为该点处电势的最电势的最大空间变化率大空间变化率。(7-14)88VV+
40、dV12E图7-32dldn ab 显然有显然有 式式(7-15)表明表明,静电场中任何一点的静电场中任何一点的电场强度电场强度等于等于该点该点电势梯度矢量的负值电势梯度矢量的负值。（7-15）89VV+dV12E图7-32dldn ab电场强度电场强度E沿任一方向沿任一方向dl的分量：的分量：注意到注意到dn=dlcos,于是有于是有(7-16)即即电场强度电场强度在任一方向的分量等于电势沿该方向在任一方向的分量等于电势沿该方向上的上的空间变化率空间变化率的的负值负值。90在直角坐标系中，显然有在直角坐标系中，显然有 梯度算符梯度算符91问题：问题：1.场强大的地方，电势一定高。场强大的地方
41、，电势一定高。6.场强不变的空间，电势处处相等。场强不变的空间，电势处处相等。5.电势不变的空间，场强处处为零。电势不变的空间，场强处处为零。4.电势为零的地方，电场也一定为零。电势为零的地方，电场也一定为零。3.电场为零的地方，电势也一定为零。电场为零的地方，电势也一定为零。2.电势高的地方，电场一定大。电势高的地方，电场一定大。注意：某点场强的大小只决定于该点电势梯度的注意：某点场强的大小只决定于该点电势梯度的大小，大小，而与该点的电势值无直接关系而与该点的电势值无直接关系。92 例题例题7-22 求半径为求半径为R、均匀带电、均匀带电q的圆环轴线上的圆环轴线上一点的电势和场强。一点的电势
42、和场强。解解xqRrP图7-33根据根据(7-15),已知已知V=V(x,y,z)，求电场的分布，求电场的分布(7-15)93 例题例题7-23 设空间电势分布为设空间电势分布为:V=2xy2,求空间电求空间电场分布。场分布。解解94前面讨论前面讨论真空中真空中静电荷产生静电场的规律。静电荷产生静电场的规律。在在电场中存在宏观物体时，电场对宏观物体中的微观电场中存在宏观物体时，电场对宏观物体中的微观带电粒子有力的作用，使微观带电粒子运动，电荷重新分带电粒子有力的作用，使微观带电粒子运动，电荷重新分布，产生附加电场，发生了布，产生附加电场，发生了电场与物质的相互作用电场与物质的相互作用。现在开始
43、研究在电场中存在宏观物体的情况。现在开始研究在电场中存在宏观物体的情况。宏观物体内有许多原子核和电子、正负离子，这些微宏观物体内有许多原子核和电子、正负离子，这些微观粒子是带电的。观粒子是带电的。7-6静电场中的导体静电场中的导体(金属导体金属导体)95研究电场中存在金属导体时，电场与金属之间的研究电场中存在金属导体时，电场与金属之间的相互作用。相互作用。研究电场中存在电介质时，电场与电介质之间的研究电场中存在电介质时，电场与电介质之间的相互作用。相互作用。1、金属导体的电结构特点、金属导体的电结构特点 金属导体中，存在大量自由移动的电子金属导体中，存在大量自由移动的电子(带负电带负电)和留和
44、留在点阵位置上的晶格离子（带正电）。在点阵位置上的晶格离子（带正电）。96Eo图7-342、静电感应、静电感应感应电荷感应电荷 当金属不带电时，正、负电荷中和，呈电中性。自由当金属不带电时，正、负电荷中和，呈电中性。自由电子作无规则热运动，无定向运动。电子作无规则热运动，无定向运动。当当金属导体处于外电场金属导体处于外电场中时，情况怎样？中时，情况怎样？973.导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 导体的导体的静电平衡状态静电平衡状态导体内部和表面都导体内部和表面都没有没有电电荷作荷作宏观定向宏观定向运动的状态运动的状态。导体内部的场强导体内部的场强:Eo图7-34=0外外感感静电感应静电感应
45、98 4.静电平衡下导体的性质静电平衡下导体的性质 (2).导体表面附近的场强方向垂直于导体表面。导体表面附近的场强方向垂直于导体表面。导体处于静电平衡只需导体处于静电平衡只需:10-14 10-13s!因此因此,导体处于导体处于静电平衡的条件静电平衡的条件是是 (1).导体内部的场强处处为零导体内部的场强处处为零,即即。=0 (1).导体内部的场强处处为零。导体内部的场强处处为零。(2).静电平衡下的导体是等势体静电平衡下的导体是等势体,其表面是等势面。其表面是等势面。abc图7-3599 (3).静电平衡下静电平衡下,实心导体所带的电荷只能分布实心导体所带的电荷只能分布在导体的在导体的表面
46、上表面上 即任一闭合曲面内均无净电即任一闭合曲面内均无净电荷，所以电荷只能分布在荷，所以电荷只能分布在外表面外表面上。上。q图7-36=0s5.导体表面附近的场强导体表面附近的场强(7-16)方向：垂直于导体表面方向：垂直于导体表面。E图7-371006.尖端放电尖端放电由表面是否尖锐决定。由表面是否尖锐决定。表面尖锐，表面尖锐，大；表面平滑，大；表面平滑，小。小。数学描述：表面曲率大，数学描述：表面曲率大，大；大；表面曲率小，表面曲率小，小。小。面密度面密度 与曲率成正比与曲率成正比 由什么由什么决定？决定？表面尖，导体表面曲率半径小，曲率大表面尖，导体表面曲率半径小，曲率大,电荷面密度大，
47、电荷面密度大，电场也大，以致空气被击穿，从而形成电场也大，以致空气被击穿，从而形成尖端放电尖端放电。101 在在高高压压设设备备中中,为为了了防防止止因因尖尖端端放放电电而而引引起起的的危危险险和和漏漏电电造造成成的的损损失失,输输电电线线的的表表面面应应是是光光滑滑的的。具具有有高高电电压压的的零零部部件件的的表表面面也也必必须须做做得得十十分分光光滑滑并并尽尽可可能能做做成成球球面面。与与此此相相反反,人人们们还还可可以以利利用用尖尖端端放放电电。例例如如,火火花花放放电电设设备备的的电电极极往往往往做做成成尖尖端端形形状状,避避雷雷针针也也是利用尖端的缓慢放电而避免是利用尖端的缓慢放电而
48、避免“雷击雷击”的。的。102 这表明，空腔内表面根本这表明，空腔内表面根本就就无无电荷电荷(等量异号也不可能等量异号也不可能)。图7-38q 空腔内表面可否有等量异空腔内表面可否有等量异号电荷呢？号电荷呢？=0ababs (1)导体内的场强处处为零。导体内的场强处处为零。(1).腔内无电荷腔内无电荷7空腔导体内外的静电场空腔导体内外的静电场 (2)空腔所带电荷只能分布在空腔所带电荷只能分布在外表面外表面上上,内表面上无电荷。内表面上无电荷。103 (3)空腔内空间中的场强处空腔内空间中的场强处处为零。处为零。图7-38 (4)空腔导体空腔导体(包括空腔中的包括空腔中的空间空间)是一个等势区。
49、是一个等势区。.a.b 如果把仪器放入此导体空腔如果把仪器放入此导体空腔中中,则不会受到任何外电场的影则不会受到任何外电场的影响。这就是响。这就是静电屏蔽静电屏蔽原理。原理。104Q图7-39qq+QqS 则空腔外表面就为则空腔外表面就为q+Q。(4)空腔导体本身是一个等势体空腔导体本身是一个等势体,而而空腔中各点的电势一般是不同的。空腔中各点的电势一般是不同的。(2)腔内有带电体腔内有带电体q的导体空腔若带电的导体空腔若带电Q,则空腔则空腔内表面带电内表面带电-q,空腔外表面带电空腔外表面带电q+Q。(2).腔内有电荷腔内有电荷 (1)导体内的场强处处为零。导体内的场强处处为零。(3)空腔内
50、的空间中存在电场。空腔内的空间中存在电场。105 例题例题7-24 A、B为平行放置的两块大金属平板为平行放置的两块大金属平板,面积为面积为S,相距相距d,A板带电板带电QA,B板带电板带电QB,求两板各表求两板各表面上的电荷面密度及两板间的电势差面上的电荷面密度及两板间的电势差(忽略金属板的忽略金属板的边缘效应边缘效应)。(1+2)S=QA 解解 设四个表面上的面电荷密设四个表面上的面电荷密度分别为度分别为 1、2、3和和 4,如图如图9-7所示，则所示，则1234(3+4)S=QBP1点点:P2点点:ABd图7-40sP1P2106解上面四个式子得解上面四个式子得1234ABd图7-40s