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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换第二三章第二三章1.例例2.1：证证：例例2.2 1.复复变变函数极限定理函数极限定理例例2.3 例例2.41.2.2 复复变变函数的函数的连续连续2.复复变变函数的函数的连续连续性的概念性的概念。2.2.2 复复变变函数的函数的连续连续性的定性的定义义例例2.9 证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz2.3 导数导数1.导导数的概念数的概念。例例2.11 例例2.12 2.3.1 导导数的运算法数的运算法则则函数与反函数的关系例例 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例解解解
2、解2.3.2 函数可导的充要条件。函数可导的充要条件。当沿x轴趋于0，即时当沿y轴趋于0，即时充分性：不可导2.3.3 高高阶导阶导数数导导函数的函数的导导数数2.4 解析函数解析函数 2.4.1 解析函数的概念解析函数的概念。2.4.2 初等函数的解析性初等函数的解析性初等函数基本初等函数（常数、指数、幂、三角、对数、反三角函数）及其有限次四则运算、复合运算而得的函数。三角函数、双曲函数在其定义域内解析。除去原点与负实轴,ln z在复平面内处处解析：今后我们应用对数函数Ln z时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.2.4.3 函数解析的充要条件函数解析的充要条件2.5 调调
3、和函数和函数定理定理1010：证明：且u,v有任意阶连续偏导数 同样可得 注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u,v,不一定是解析函数.定义定义 若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，则称v为u的共轭调和函数共轭调和函数.定理定理1111：在区域D内解析 v为u的共轭调和函数.解析函数的虚部为实部的共轭调和数例如：是解析函数，不是解析函数。已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。(x,y)D0y (x,y)0 x CH3 积积分分1.3.1 积积分的概念、性分的概念、性质质、计计算算2.3.1.1 不定不定积积分分定定义义域内的
4、域内的积积分分原函数:1.2.不定不定积积分分 1.3.1.2 定定积积分分 x积积分分值值的的计计算算 (2+i)(2+i)(2+i)xyoAB回路积分的正向回路积分的正向：规定沿：规定沿回路进行时，被围的区域回路进行时，被围的区域总落在左边。总落在左边。单位圆C为z0圆心，r半径的圆一、单连通区域:任何简单闭曲线内的点都属于该区域，此域为单连通区域,单通域。定理：若f(z)在闭单连通区域D上解析，则沿D上任一分段光滑闭合曲线L上的积分为0，即:3.2 柯西定理柯西定理及其推广及其推广研究闭回路积分与被积解析函数的关系。复合闭路定理：复合闭路定理：证明证明DCc1c2BL1L2L3AAEEF
5、FGH说明说明A 此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1例例解解C1C21xyo 1.3.3 柯西柯西积积分公式分公式 1.3.4 解析函数的解析函数的导导数数说明：推推论论：函数解析：函数解析则导则导函数也解析。函数也解析。CH3习题习题3.1.13.1.2 （2）3.2.1 （a）（）（b）3.2.93.3.1 （a）（）（c）（）（e）3.4.1 （a）（）（c）