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1、复变函数与积分变换-第二章第1页，共102页，编辑于2022年，星期六1.复变函数的导数复变函数的导数第2页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第3页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第4页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换导数的分析定义：导数的分析定义：第5页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换导数运算法则导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（
2、1）其中为复常数；（2）其中为正整数；（3）；（4）（5）；第6页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换（6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且.第7页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.解析的概念第8页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第9页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换u注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“
3、正则”等；u注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；u注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：注解：第10页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换u注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；u注解5、解析性区域；注解：注解：第11页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换四则运算法则第1
4、2页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换复合函数求导法则第13页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换反函数求导法则第14页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换u利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。注解：注解：第15页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.2函数解析的充要条件第16页，共102页，编辑于2022年，星期六
5、2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换Cauchy-Riemann条件：第17页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第18页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理3.1的证明（必要性）：第19页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换定理3.1的证明（充分性）：第20页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数的解析条件第21页，共102页，编辑于2022年
6、，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第22页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换注解:和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解；柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）；解析函数的导数有更简洁的形式：第23页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换反例：u(x,y)、v(x,y)如下：第24页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数
7、与积分变换第25页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第26页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例1讨论下列函数的可导性和解析性：第27页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第28页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第29页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第30页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/
8、1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第31页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例2第32页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第33页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第34页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第35页，共102页，编辑于2022年，星期六2.3 初等函数初等函数 3、指数函数指数函数 4、多值函数导引：幅角函数多值函数导引：幅角函数第36页，
9、共102页，编辑于2022年，星期六1.指数函数指数函数(1)指数函数的定义指数函数的定义第37页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：第38页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有所以，因此，我们也重新得到欧拉公式：第39页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换(2)指数函数的基本性质指数函数的基本性质第4
10、0页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第41页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第42页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第43页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第44页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换yxz-平面uw-平面v第45页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变
11、换复变函数与积分变换2.三角函数三角函数与双曲函数第46页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换 由于Euler公式，对任何实数x，我们有：所以有因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：第47页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换三角函数三角函数的基本性质:则对任何复数z，Euler公式也成立：第48页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cosz和sinz是单值函数；2、cosz是偶函
12、数，sinz是奇函数:第49页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:第50页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换证明：第51页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如z=2i时，有第52页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：证明：第53页，共1
13、02页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在复平面的零点是，sinz在复平面的零点是8、同理可以定义其他三角函数：第54页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换9、反正切函数：由函数所定义的函数w称为z的反正切函数，记作由于令，得到第55页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换从而所以反正切函数是多值解析函数，它的支点是无穷远点不是它的支点。第56页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1
14、/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.对数函数 和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：第57页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换注解、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上。第58页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第59页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换对数函数的主值：相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这
15、时，有第60页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换三种对数函数的联系与区别：第61页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换对数函数的基本性质对数函数的基本性质第62页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第63页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第64页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第65页，共102页，编辑于20
16、22年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第66页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换uvw-平面xz-平面y第67页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换对数函数的单值化：相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化：考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。第68页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿第69
17、页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换一般区域：第70页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换对数函数的单值化：由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）；第71页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换特点：1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值；2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同
18、一个值。第72页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例1第73页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例2第74页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例3第75页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.幂函数利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为第76页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换当
19、a为正实数，且z=0时，还规定由于因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个数。第77页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换幂函数的基本性质：第78页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第79页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第80页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第81页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积
20、分变换第82页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在G内解析，并且其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。第83页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数在G内是同一解析函数；当时，在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多
21、值函数。第84页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例如当n是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有这是一个n值函数。第85页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：它们也可以记作这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。第86页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换幂函数的映射性质:第87页，共102页，编辑于20
22、22年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。考虑D*内的角形，并取在D*内的一个解析分支第88页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换当z描出A内的一条射线时让从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线扫过角形（不包括0），w在w平面描出一条射线第89页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换因此把夹角为的角形双射成一个夹
23、角为的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。第90页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换类似地，我们有，当n(1)是正整数时，的n个分支分别把区域D*双射成w平面的n个角形第91页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换例1、作出一个含i的区域，使得函数在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点i个的值。解：我们知道可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图第92页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分
24、变换结论：0、1、2与无穷都是1阶支点。第93页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到因此也可以用0，1与作割线。第94页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换我们求函数下述的解析分支在z=i的值。在z=1处，取在w的两个解析分支为：第95页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换如下图，所以第96页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18
25、复变函数与积分变换复变函数与积分变换例2、验证函数在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。解：我们知道第97页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换第98页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换结论：0、1是3阶支点，无穷远点不是支点。第99页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿规定在w的四个解析分支为：则对应的解析分支为k=0。在z=-1处，有，第100页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换所以对应分支在(0,1)下沿的取值为第101页，共102页，编辑于2022年，星期六2023/1/18复变函数与积分变换复变函数与积分变换5.反三角函数与反双曲函数第102页，共102页，编辑于2022年，星期六