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1、大学高等数学经典课件大学高等数学经典课件12-12-9 9 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系通解和非齐次方程(1)的特解由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解,我们在第八节中得到解决.所以这里只需要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解y*的方法 本节只介绍当方程(1)中的f(x)取两种常见形式时求特解y*的方法.这方法的特点是不用积分就可以求出y*来,它叫做待定系数法.f(x)的两种形式是 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电
2、子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 求微分方程的通解 特征方程为r2-4r+4=(r-2)2=0,所以它具有重根r=2,它对应的齐次方程的通解为y(x)=(C1+C2 x)e2x又f(x)=2e2x，设y*=b0 x2e
3、2x代入原方程分析:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二 型应用欧拉公式,把三角函数变为复变指数函数形式,有 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系是互成共轭的m次多项式,而m=maxl,n应用上面的结果,对于f(x)中的第一项P(x)e(+i)x,可求出一个m次多项式Qm(x)使得为方程的特解其中k按+i不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.由于f(x)的第二项与第一项共轭,所以与y1成共轭的函数必然是方程 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系的特解,于是方程(1)有形如的特解,上
4、式可写成的特解,其中Qm(x),Rm(x)是m次多项式,m=maxl,p,k按不是特征根特征单根分别取0,1 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 求方程的一个特解分析；方程的特征方程是r2+1=0,2i不是特征根.k=0代入原方程,得到 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例5 求方程的通解 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三三.f(x)=f1(x)+f2(x)其中其中f1(x),f2(x)为上述为上述 一一,二
5、中形式的二中形式的f(x)方程 y”+py+qy=f(x)中的自由项f(x)=f1(x)+f2(x)可根据叠加原理求出.该方程的自由项 f(x)=x2+xe-x 不是属于情形一,但如果看成f1(x)+f2(x)这 两函数的情形属于情形一.例6 求微分方程 y”-y-2y=x(x+e-x)的通解.分析:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系它的一阶导数为它的二阶导数为代入原方程,得到写出微分方程对应的齐次方程的特征方程 r2-r-2=(r-2)(r+1)=0的根为 r1=-1,r2=2,故对应齐次方程的通解为 它的一个特解具有形式 高高等等数数学学电电子子教教案案
6、 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系比较上式两端同类项的系数,得到 a=-1/2,b=1/2,c=-3/4,A=-1/6,B=0,于是故原方程的通解为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系四四.可化为上述可化为上述(一一),(二二),(三三)的二阶常系数非齐次线性方程的二阶常系数非齐次线性方程分析:这里的自由项 f(x)=e2xcosex 作变量代换 ex=t x=lnt 则有些二阶常系数非齐次线性微分方程的自由项f(x)并不属于(一),(二),(三)的情况,但通过变量代换或利用三角公式化为(一),(二),(三)的情形例7 求微分方程 y”-y=e2xcosex 的通解 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系