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1、大学高等数学经典课件大学高等数学经典课件1-3 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:的过程表示x0 x0 x0 x-0需满足因此，如取那么当x适合不等式即证：就满足不等式对应的函数值 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 3、单侧极限、单侧极限例如,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系左极限右极限记作 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系极限:左极限和右极限极限左极限右极限三者关系且 高高
2、等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系左右极限存在但不相等,例6证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向无穷大时函数的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系问题:通过上图可知:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.函数值函数在的过程中,对应f(x)无限确定值A.趋近于y=f(x)高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系,0,0X.)(Xx时使当1、定义对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,使得对于适合的一
3、切对应的函数值满足不等式,那么常数就叫函数当时的极限,记作定义2 如果存在常数A，不等式都任意存在 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2 2、另两种情形、另两种情形用函数极限的定义容易证明如下定理：定理：高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 3、几何解释、几何解释 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例1证证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1 1、有界性定理、有界性定理 如果函数 f(x)当xx0时的极限存在,则函数 f(x)在x0的某个去心邻域内有
4、界。思考：比较两者的不同之处！注：数列与此相关的定理是收敛数列必有界。证明 四、函数极限的性质四、函数极限的性质 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证：不妨设极限值为A.由极限的定义可知，任取 0,总存在 0，对于满足不等式0 x-x0的一切x,都有 f(x)-A，即 A-f(x)A+,取 M=maxA-,A+,那么，对于满足不等式0 x-x0的一切x,都有 f(x)d=AA0U 0(x,d)x Af(x)x0 x或则或时当且若推论注：“f(x)0(或 f(x)0(A 0,有x 0,有|x|M.其特征是:M 0,有xM2。x+,表示x保持正值无限增大3。x-,表示x保持负值,但绝对值无限增大 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例：证二者不相等,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（2）自变量趋向某个定数 x0 1。xx0,表示x以任意方式趋向x0,但不等于x0其特征是:0,有0|x-x0|x0 的方式趋向x0其特征是:0,有x0 xx0+3。xx0-,表示 x 0,有x0-x x0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 显然,数列an的通项an可以看作下标n(自然数)的函数an=f(n),因此数列极限实际上是函数极限中x+这一情形的特例.