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1、1刚体定轴转动 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望26 2-6 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量4-3力矩的功定轴转动的动能定理力矩的功定轴转动的动能定理4-4角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律本章教学内容本章教学内容36 2-6 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 一一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系握角量与线量的关系.
2、二二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理.三三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.五五 能运用以上规律分析和解决包括质点和能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题刚体的简单系统的力学问题.四四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律守恒定律.本章教学基本要求本章教学基本
3、要求4 教教 学学 思思 路路 全章的教学始终以全章的教学始终以”类比法类比法”进行。进行。由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的转动定律转动定律,并与牛顿第二定律类比教学。并与牛顿第二定律类比教学。力矩的功与力的功类比力矩的功与力的功类比;刚体的转动动能与质点的平动动能类比刚体的转动动能与质点的平动动能类比;刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点(系系)的的角动量定理及角动量守恒定律类比角动量定理及角动量守恒定律类比;刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机
4、械能守恒定律类比。守恒定律类比。51.刚体的运动刚体的运动 在讨论问题时可在讨论问题时可以忽略由于受力而引起以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的的形状和体积的改变的理想模型理想模型。平动平动平动平动:刚体在运动中，刚体在运动中，其上任意两点的连线始其上任意两点的连线始终保持平行。终保持平行。一一.刚体定轴转动刚体定轴转动运动学运动学刚体：刚体：刚体：刚体：6 2-6 刚体的定轴转动刚体的定轴转动转动：转动：转动：转动：对对点点、对、对轴轴（只讨论（只讨论定轴转动定轴转动）转轴转轴(定轴转动定轴转动)质心的平动质心的平动+绕质心的转动绕质心的转动 各质元的各质元的线量一般线量一般不同不同（因
5、为半径不同）（因为半径不同）但但角量角量（角位移、角速（角位移、角速度、角加速度）度、角加速度）都相同都相同。一般刚体的运动：一般刚体的运动：一般刚体的运动：一般刚体的运动：62.描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量对定轴转动的刚体可选取对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进垂直于转轴的一个平面进行研究行研究.xo Pr 转动平面转动平面点点P(r,)的转动可代表整的转动可代表整个刚体的转动个刚体的转动.描述点描述点P转动的物理量为转动的物理量为:(1).角坐标角坐标 (t)一般规定一般规定逆时针转动逆时针转动为正为正.定义定义:单位单位:rad/s逆时针转动时逆时针转动时，0顺时针
6、转动时顺时针转动时，0顺时针转动时顺时针转动时，0 0 0 0时时时时,刚体作加速转动刚体作加速转动;反之减速转动反之减速转动.加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反 定轴转动定轴转动时时 方方向只需用正负表示向只需用正负表示:3.刚体刚体匀变速转动匀变速转动当当为常量时有为常量时有:质点作匀变速质点作匀变速直线运动公式直线运动公式.类似于类似于角速度矢量角速度矢量 刚体定轴转动时刚体定轴转动时,只需只需用正负来表示方向用正负来表示方向.角速度方向规定为沿角速度方向规定为沿轴方向，指向用轴方向，指向用右手右手螺旋法则螺旋法则确定。确定。(3).角加速度角加速度定义定义
7、:单位单位:rads-29对点对点P有有考虑考虑 v,r,都是矢量都是矢量 r v P角量与线量的关系角量与线量的关系角量与线量的关系角量与线量的关系 0 0 0 0时时时时,刚体作加速转动刚体作加速转动;反之减速转动反之减速转动.加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反 定轴转动定轴转动时时 方方向只需用正负表示向只需用正负表示:3.刚体刚体匀变速转动匀变速转动当当为常量时有为常量时有:质点作匀变速质点作匀变速直线运动公式直线运动公式.类似于类似于10v=r 大小关系：大小关系：大小关系：大小关系：一圆柱形转子可绕垂一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴直其横截面通
8、过中心的轴转动转动.开始时它的角速度开始时它的角速度 0=0,经过经过300秒秒后后,角速度角速度=18000转转/分分.已知其角加已知其角加速度速度与时间成正比与时间成正比.问在问在这段时间内这段时间内,转子转过多少转子转过多少转转?对点对点P有有考虑考虑 v,r,都是矢量都是矢量 r v P角量与线量的关系角量与线量的关系角量与线量的关系角量与线量的关系11解解解解:已知已知 =Ct即即:d =Cdt积分积分积分积分:由条件由条件 t=300s 时时v=r 大小关系：大小关系：大小关系：大小关系：一圆柱形转子可绕垂一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴直其横截面通过中心的轴转动转动.开始
9、时它的角速度开始时它的角速度 0=0,经过经过300秒秒后后,角速度角速度=18000转转/分分.已知其角加已知其角加速度速度与时间成正比与时间成正比.问在问在这段时间内这段时间内,转子转过多少转子转过多少转转?12再由再由:积分积分在在0300s内内,转过的转过的转数转数转数转数=3 104 转转角速度角速度角速度角速度为为解解解解:已知已知 =Ct即即:d =Cdt积分积分积分积分:由条件由条件 t=300s 时时13二二 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩 转动转动 平面平面满足右手法则满足右手法则.方向：方向：方向：方向：（1）外力在转动平面内外力
10、在转动平面内只有切向分力才可能只有切向分力才可能改变转动状态。改变转动状态。大小：大小：大小：大小：即：即：再由再由:积分积分在在0300s内内,转过的转过的转数转数转数转数=3 104 转转角速度角速度角速度角速度为为14 只有在转动平面内的力只有在转动平面内的力 才能产生转动才能产生转动,才能改变才能改变 刚体定轴转动的转动状态。刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩）外力产生的合力矩对对定轴定轴转动转动:合力矩合力矩是各分力产是各分力产生的力矩的代数和生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩二二 刚体定轴转动动力
11、学刚体定轴转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩 转动转动 平面平面满足右手法则满足右手法则.方向：方向：方向：方向：（1）外力在转动平面内外力在转动平面内只有切向分力才可能只有切向分力才可能改变转动状态改变转动状态。大小：大小：大小：大小：即：即：15由于成对内力大小相等由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相方向相反，则其力臂必相同同.故力矩大小相等故力矩大小相等.一对内力对转轴一对内力对转轴的合力矩为零的合力矩为零.故故:整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩 为零为零为零为零.半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在水平桌面上绕中心匀
12、圆盘在水平桌面上绕中心轴转动轴转动,盘与桌面间的摩擦盘与桌面间的摩擦系数为系数为,求转动中的摩擦求转动中的摩擦力矩的大小力矩的大小.只有在转动平面内的力只有在转动平面内的力 才能产生转动才能产生转动,才能改变才能改变 刚体定轴转动的转动状态。刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩）外力产生的合力矩对对定轴定轴转动转动:合力矩合力矩是各分力产是各分力产生的力矩的代数和生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩16解解解解:设盘厚度为设盘厚度为h,以盘轴以盘轴心为圆心取半径为心为圆心取半径为r,宽宽为为dr的微圆环的微圆环,
13、其质量其质量为为h0drrdm=dv它对桌面的它对桌面的压力压力压力压力为为:由于成对内力大小相等由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相方向相反，则其力臂必相同同.故力矩大小相等故力矩大小相等.一对内力对转轴一对内力对转轴的合力矩为零的合力矩为零.故故:整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩 为零为零为零为零.半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在水平桌面上绕中心匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动轴转动,盘与桌面间的摩擦盘与桌面间的摩擦系数为系数为,求转动中的摩擦求转动中的摩擦力矩的大小力矩的大小.17与桌面间的与桌面间的摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力为为
14、:该摩擦力的该摩擦力的力矩力矩力矩力矩为为:整个圆盘的摩擦力矩为整个圆盘的摩擦力矩为整个圆盘的摩擦力矩为整个圆盘的摩擦力矩为:解解解解:设盘厚度为设盘厚度为h,以盘轴以盘轴心为圆心取半径为心为圆心取半径为r,宽宽为为dr的微圆环的微圆环,其质量其质量为为h0drrdm=dv它对桌面的它对桌面的压力压力压力压力为为:182.转动定律转动定律(定轴定轴)转动第一定律：转动第一定律：转动第一定律：转动第一定律：若若转动第二定律：转动第二定律：转动第二定律：转动第二定律：zOrifiFi mi i i与桌面间的与桌面间的摩擦力摩擦力摩擦力摩擦力为为:该摩擦力的该摩擦力的力矩力矩力矩力矩为为:整个圆盘的
15、摩擦力矩为整个圆盘的摩擦力矩为整个圆盘的摩擦力矩为整个圆盘的摩擦力矩为:转动平衡转动平衡转动平衡转动平衡19设刚体中质元设刚体中质元 mi受外受外力力Fi,内力内力fi 作用作用法向力法向力的的力矩为零力矩为零.对对 mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisin i+fisin i=miait外力矩外力矩内力矩内力矩两边乘以两边乘以riait=ri 2.转动定律转动定律(定轴定轴)转动第一定律：转动第一定律：转动第一定律：转动第一定律：若若转动第二定律：转动第二定律：转动第二定律：转动第二定律：zOrifiFi mi i i转动平衡转动平衡转动平衡转动平衡20对所
16、有质元求和对所有质元求和对所有质元求和对所有质元求和：Fi sin i =（mi ri2）内力力矩和为零，则有内力力矩和为零，则有定义：定义：定义：定义：转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量刚体定轴转动第二定律刚体定轴转动第二定律刚体定轴转动第二定律刚体定轴转动第二定律矢量式矢量式上式为上式为设刚体中质元设刚体中质元 mi受外受外力力Fi,内力内力fi 作用作用法向力法向力的的力矩为零力矩为零.对对 mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisin i+fisin i=miait外力矩外力矩内力矩内力矩两边乘以两边乘以riait=ri 21(1)(1)定轴转动时定轴转动时
17、M.JM.J均为代均为代 数量数量.式中式中MM、J J、必必 须对同一定轴而言。须对同一定轴而言。（2 2）定律具有矢量性和）定律具有矢量性和 瞬时性。瞬时性。m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性，（4 4）地位相当地位相当与与J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性对所有质元求和对所有质元求和对所有质元求和对所有质元求和：Fi sin i =（mi ri2）内力力矩和为零，则有内力力矩和为零，则有定义：定义：定义：定义：转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量刚体定轴转动第二定律刚体定轴转动第二定律刚体定轴转动第二定律刚体定轴转动第二定律矢量式矢量式上式为上式为22由转动惯量的定义知由转动惯量的定
18、义知:它是刚体中各质元的质量与它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的各质元到转轴的距离平方的乘积之和乘积之和.与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量刚体的质量刚体的质量转轴的位置转轴的位置转轴的位置转轴的位置刚体的形状刚体的形状刚体的形状刚体的形状分离质分离质分离质分离质量系统量系统量系统量系统:三三.转动惯量转动惯量(1)(1)定轴转动时定轴转动时M.JM.J均为代均为代 数量数量.式中式中MM、J J、必必 须对同一定轴而言。须对同一定轴而言。（2 2）定律具有矢量性和）定律具有矢量性和 瞬时性。瞬时性。m反映
19、质点的反映质点的平动惯性平动惯性，（4 4）地位相当地位相当与与J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性23连续分布质量连续分布质量连续分布质量连续分布质量的刚体的刚体:单位单位:kgm2质量为质量为线分布线分布线分布线分布质量为质量为面分布面分布面分布面分布质量为质量为体分布体分布体分布体分布其中其中 、分别分别为质量的为质量的线密度线密度线密度线密度、面密度面密度面密度面密度和和体密度体密度体密度体密度。由转动惯量的定义知由转动惯量的定义知:它是刚体中各质元的质量与它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的各质元到转轴的距离平方的乘积之和乘积之和.与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的
20、因素：与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量刚体的质量刚体的质量转轴的位置转轴的位置转轴的位置转轴的位置刚体的形状刚体的形状刚体的形状刚体的形状分离质分离质分离质分离质量系统量系统量系统量系统:三三.转动惯量转动惯量24 一质量为一质量为m,长为长为l 的的均匀长棒均匀长棒.求通过棒中心求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动并与棒垂直的轴的转动惯量惯量.解解解解:建立如图坐标系建立如图坐标系xOdxx在在x处取长为处取长为dx的质元的质元连续分布质量连续分布质量连续分布质量连续分布质量的刚体的刚体:单位单位:kgm2质量为质量为线分布线分布线分布线分布质量为质量为面分布面分
21、布面分布面分布质量为质量为体分布体分布体分布体分布其中其中 、分别分别为质量的为质量的线密度线密度线密度线密度、面密度面密度面密度面密度和和体密度体密度体密度体密度。25若转轴在棒的端点呢若转轴在棒的端点呢若转轴在棒的端点呢若转轴在棒的端点呢?xO用用JC表示刚体过质心的表示刚体过质心的转动惯量转动惯量JCcdd=l/2比较两结论比较两结论比较两结论比较两结论J 一质量为一质量为m,长为长为l 的的均匀长棒均匀长棒.求通过棒中心求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动并与棒垂直的轴的转动惯量惯量.解解解解:建立如图坐标系建立如图坐标系xOdxx在在x处取长为处取长为dx的质元的质元26 平行轴定理平行
22、轴定理平行轴定理平行轴定理JC是刚体通过质心的转动是刚体通过质心的转动惯量惯量,d是过质心的转轴到是过质心的转轴到另一平行转轴的距离另一平行转轴的距离.求质量为求质量为m,半径为半径为R的细的细圆环或匀质圆盘绕通过中圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的心并与圆面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.若转轴在棒的端点呢若转轴在棒的端点呢若转轴在棒的端点呢若转轴在棒的端点呢?xO用用JC表示刚体过质心的表示刚体过质心的转动惯量转动惯量JCcdd=l/2比较两结论比较两结论比较两结论比较两结论J 27或或（2 2 2 2）对匀质圆盘）对匀质圆盘）对匀质圆盘）对匀质圆盘:（1 1 1 1）薄圆筒薄圆筒
23、薄圆筒薄圆筒（不计厚度）（不计厚度）解解解解:细圆环的质量可认为细圆环的质量可认为全部集中在半径为全部集中在半径为 R 的的圆周上圆周上,故故 平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理JC是刚体通过质心的转动是刚体通过质心的转动惯量惯量,d是过质心的转轴到是过质心的转轴到另一平行转轴的距离另一平行转轴的距离.求质量为求质量为m,半径为半径为R的细的细圆环或匀质圆盘绕通过中圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的心并与圆面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.28rdr在在r 处取宽为处取宽为dr 的细圆环的细圆环设质量面密度设质量面密度细环元的面积细环元的面积:S=2 rdr则则 dm=dS=2
24、rdr与质量分布有关与质量分布有关与质量分布有关与质量分布有关.或或（2 2 2 2）对匀质圆盘）对匀质圆盘）对匀质圆盘）对匀质圆盘:（1 1 1 1）薄圆筒薄圆筒薄圆筒薄圆筒（不计厚度）（不计厚度）解解解解:细圆环的质量可认为细圆环的质量可认为全部集中在半径为全部集中在半径为 R 的的圆周上圆周上,故故291.与刚体的体密度与刚体的体密度 有有关关(几何形状简单几何形状简单,则则与质量与质量m有关有关)2.与刚体的几何形状与刚体的几何形状(及及体密度体密度 的的分布分布)有关有关.3.与转轴的位置及转轴与转轴的位置及转轴的取向有关的取向有关.4.4.4.4.关于回转半径关于回转半径关于回转半
25、径关于回转半径定义定义:rG 叫刚体的回转半径叫刚体的回转半径rdr在在r 处取宽为处取宽为dr 的细圆环的细圆环设质量面密度设质量面密度细环元的面积细环元的面积:S=2 rdr则则 dm=dS=2 rdr与质量分布有关与质量分布有关与质量分布有关与质量分布有关.30 下图所示刚体对经过下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？(棒长为棒长为L L、圆半径为圆半径为R R）1.与刚体的体密度与刚体的体密度 有有关关(几何形状简单几何形状简单,则则与质量与质量m有关有关)2.与刚体的几何形状与刚体的几何形状(及及体密度体密度 的的分布分布)有
26、关有关.3.与转轴的位置及转轴与转轴的位置及转轴的取向有关的取向有关.4.4.4.4.关于回转半径关于回转半径关于回转半径关于回转半径定义定义:rG 叫刚体的回转半径叫刚体的回转半径31刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用细杆长为细杆长为l,质量为质量为m,求从竖直位置由静止转到求从竖直位置由静止转到 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.O PNl 细杆受力细杆受力P 和和N合力矩：合力矩：合力矩：合力矩：解解解解:下图所示刚体对经过下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？(棒长为棒长为L L、圆半径为圆半径为R R）3
27、2由转动定律由转动定律由转动定律由转动定律而而于是于是利用利用有有利用利用初始条件初始条件初始条件初始条件:t=0,0=0,0=0刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用细杆长为细杆长为l,质量为质量为m,求从竖直位置由静止转到求从竖直位置由静止转到 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.O PNl 细杆受力细杆受力P 和和N合力矩：合力矩：合力矩：合力矩：解解解解:33积分积分:在在 角时角时,角速度为角速度为落体法求转动惯量落体法求转动惯量落体法求转动惯量落体法求转动惯量由转动定律由转动定律由转动定律由转动定律而而于是于是利用利用有有利用利用初始条件初始条件初始条件初始条件:t
28、=0,0=0,0=034定轴定轴ORthmv0=0绳绳mgT ma TGNMf实验测出：实验测出：R,m1,h,t1,m2,t2落体法求转动惯量落体法求转动惯量落体法求转动惯量落体法求转动惯量由运动学关系由运动学关系35联立上四个方程联立上四个方程:对第一次测量对第一次测量其中其中对第二次测量对第二次测量其中其中mgT ma TGNMf由运动学关系由运动学关系36联立联立(5)(6)式得式得a=rMg-T=maTr=JMg r=J(J=Mr2/2)注意下图的区别注意下图的区别注意下图的区别注意下图的区别:abmm联立上四个方程联立上四个方程:对第一次测量对第一次测量其中其中对第二次测量对第二次
29、测量其中其中37xOPd 1、力矩的功力矩的功一一.刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理力矩作功是力作功的力矩作功是力作功的角量表达式角量表达式2、转动动能、转动动能所有质元的动能之和为：所有质元的动能之和为：定义：刚体的转动动能定义：刚体的转动动能定义：刚体的转动动能定义：刚体的转动动能383、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：力矩做功：或由或由转动定律转动定律转动定律转动定律力矩作功是力作功的力矩作功是力作功的角量表达式角量表达式2、转动动能、转动动能所有质元的动能之和为：所有质元的动能之和为：定义：刚体的转动动能定义：刚体的转动动能定义：刚体的转动动能定义：刚体的转动动能3
30、9当当=1时，时，=1 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：力矩做功：或由或由转动定律转动定律转动定律转动定律40合外力矩对定轴转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一一个质元：个质元：整个刚体：整个刚体：当当=1时，时，=1 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理41 一个不太大的刚一个不太大的刚体的重力势能相当于它体的重力势能相当
31、于它的全部质量都集中在质的全部质量都集中在质心时所具有的势能。心时所具有的势能。对于含有刚体的系对于含有刚体的系统统,如果在运动过程中只如果在运动过程中只如果在运动过程中只如果在运动过程中只有保守内力作功有保守内力作功有保守内力作功有保守内力作功,则此系则此系统的机械能守恒。统的机械能守恒。5.刚体的刚体的机械能守恒机械能守恒定律定律:5.5.刚体的刚体的机械能守恒机械能守恒定律定律合外力矩对定轴转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一一个质元：个质元：整个刚体：整个刚体：421.质点
32、的角动量质点的角动量定义定义:质点质点m对点对点O的的 角动量角动量角动量角动量Oxyzrv d m注意注意:(1)L 是矢量是矢量.(2)质点的角动量是对参考质点的角动量是对参考 点而言的点而言的.(3)其大小可以表达为其大小可以表达为 mvdmvd大小大小:L=mvr sinL=mvr sin 方向满足方向满足右手螺旋关系右手螺旋关系右手螺旋关系右手螺旋关系.43 特例特例特例特例:质点在平面上质点在平面上作圆周运动作圆周运动,质点对质点对O的的角动量大小为角动量大小为:L=rmv=m rL=rmv=m r2 2 zov mr若考虑方向有若考虑方向有2.质点的角动量定理质点的角动量定理注意
33、注意:(1)L 是矢量是矢量.(2)质点的角动量是对参考质点的角动量是对参考 点而言的点而言的.(3)其大小可以表达为其大小可以表达为 mvdmvd大小大小:L=mvr sinL=mvr sin 方向满足方向满足右手螺旋关系右手螺旋关系右手螺旋关系右手螺旋关系.44用用r 叉乘上式两边叉乘上式两边且且2.质点的角动量定理质点的角动量定理故故作用于质点的合力对参考作用于质点的合力对参考点点O的力矩的力矩,等于质点对等于质点对该点该点O的角动量对时间的角动量对时间的变化率的变化率.则则而而,特例特例特例特例:质点在平面上质点在平面上作圆周运动作圆周运动,质点对质点对O的的角动量大小为角动量大小为:
34、L=rmv=m rL=rmv=m r2 2 zov mr若考虑方向有若考虑方向有2.质点的角动量定理质点的角动量定理45上式还可写为上式还可写为M dt 叫叫冲量矩、角冲量冲量矩、角冲量冲量矩、角冲量冲量矩、角冲量。积分形式积分形式:对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理1.M1.M和和L L应对同一参考点。应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。定律只适用于惯性系。用用r 叉乘上式两边叉乘上式两边且且故故作用于质点的合力对参考作用于质点的合力对参考点点O的力矩的
35、力矩,等于质点对等于质点对该点该点O的角动量对时间的角动量对时间的变化率的变化率.则则而而,463.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若 M=0,则则即当质点所受对参考点即当质点所受对参考点O的合力矩为零时的合力矩为零时,质点对质点对该参考点该参考点O的角动量为一的角动量为一恒矢量恒矢量.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律注意注意 1 1 1 1、条件：、条件：、条件：、条件：如如有心力，对力心有心力，对力心有心力，对力心有心力，对力心。F/r但过参考点但过参考点()()上式还可写为上式还可写为M dt 叫叫冲量矩、角冲量冲量矩、角冲量冲量
36、矩、角冲量冲量矩、角冲量。积分形式积分形式:对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理1.M1.M和和L L应对同一参考点。应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。定律只适用于惯性系。47（3 3）定律与惯性系中参考定律与惯性系中参考定律与惯性系中参考定律与惯性系中参考点的选择有关。点的选择有关。点的选择有关。点的选择有关。质点在同质点在同样外力作用下，对某参考样外力作用下，对某参考点力矩为零，而对另一参点力矩为零，而对另一参考点力矩考点力矩不为零不为零，如圆锥，如圆
37、锥摆对圆心摆对圆心o角动量守恒角动量守恒,而而对悬点角动量对悬点角动量不守恒不守恒。（2 2）定律具有坐标独立性定律具有坐标独立性定律具有坐标独立性定律具有坐标独立性。3.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若 M=0,则则即当质点所受对参考点即当质点所受对参考点O的合力矩为零时的合力矩为零时,质点对质点对该参考点该参考点O的角动量为一的角动量为一恒矢量恒矢量.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律注意注意 （1 1 1 1）、条件：）、条件：）、条件：）、条件：如如有心力，对力心有心力，对力心有心力，对力心有心力，对力心。F/r但过参考点但过参
38、考点()()48如图所示如图所示,一半径为一半径为R的的光滑圆环置于竖直平面光滑圆环置于竖直平面内内,有一质量为有一质量为m的小球的小球穿在圆环上穿在圆环上,并可在圆环并可在圆环上滑动上滑动.小球开始静止于小球开始静止于圆环上的圆环上的A点点(该点通过该点通过环心环心O的水平面上的水平面上),然后然后从点从点A开始下滑开始下滑.设小球设小球与圆环间的摩擦略去不与圆环间的摩擦略去不计计.求小球滑到点求小球滑到点B时对时对环心环心O的角动量和角速度的角动量和角速度.ARO B A OPTv解解解解:小球受重力小球受重力P,支持力支持力T 作作用用重力矩重力矩重力矩重力矩为为:由由(方向向方向向里里
39、)M=mgR cos 49有有又又,由由:t=0,0=0,L0=0即即 ARO B A OPTv解解解解:小球受重力小球受重力P,支持力支持力T 作作用用重力矩重力矩重力矩重力矩为为:由由(方向向方向向里里)M=mgR cos 504.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图如图刚体上的一个刚体上的一个质元质元 mi 对对z轴轴(或或O点点)的角的角动量为动量为4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量有有又又,由由:t=0,0=0,L0=0即即51刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元对质元i对所有质元求和对所有质元求和:而刚体的内
40、力矩和为零而刚体的内力矩和为零.4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图如图刚体上的一个刚体上的一个质元质元 mi 对对z轴轴(或或O点点)的角的角动量为动量为52刚体绕某定轴转动时刚体绕某定轴转动时,作作用用于刚体的合外力矩等于刚于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时体绕此定轴的角动量随时间的变化率间的变化率.由由当当J为恒量时为恒量时转动定律的另一种表达转动定律的另一种表达形式形式.刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元对质元i对所有质元求和对所有质元求和:而刚体的内力矩和为零而刚体的内力矩和为零.53再看再看力矩对时间的
41、累积力矩对时间的累积力矩对时间的累积力矩对时间的累积:Mdt=dL两边积分两边积分:叫冲量矩叫冲量矩叫冲量矩叫冲量矩.作用在物体上的作用在物体上的冲量矩冲量矩冲量矩冲量矩等于物体角动量的增量等于物体角动量的增量.角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理刚体绕某定轴转动时刚体绕某定轴转动时,作作用用于刚体的合外力矩等于刚于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时体绕此定轴的角动量随时间的变化率间的变化率.由由当当J为恒量时为恒量时转动定律的另一种表达转动定律的另一种表达形式形式.546.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律如如:M=0,则有则有:L=J =恒量恒量即：即：如果物体所受合外如
42、果物体所受合外如果物体所受合外如果物体所受合外力矩为零力矩为零力矩为零力矩为零,或者不受外力或者不受外力或者不受外力或者不受外力矩作用矩作用矩作用矩作用,物体的角动量保物体的角动量保物体的角动量保物体的角动量保持不变。持不变。持不变。持不变。角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律.1.当当J=恒量恒量,J =J 0,则则 =0,匀角速转动匀角速转动匀角速转动匀角速转动如如:回转仪回转仪,定向装置定向装置.再看再看力矩对时间的累积力矩对时间的累积力矩对时间的累积力矩对时间的累积:Mdt=dL两边积分两边积分:叫冲量矩叫冲量矩叫冲量矩叫冲量矩.作用在物体上的作用在物体上的冲量矩冲
43、量矩冲量矩冲量矩等于物体角动量的增量等于物体角动量的增量.角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理552.当当当当J J J J可变化时可变化时可变化时可变化时,J =J 0 如如:滑冰运动员旋转时滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。两臂收拢转速快。讨论讨论讨论讨论:1.1.1.1.在有心力作用下的质点在有心力作用下的质点其角动量守恒其角动量守恒.如如:天体天体的运动的运动,电子的绕核运动电子的绕核运动,合外力都不为零合外力都不为零,则则动量动量不守恒不守恒,但角动量守恒但角动量守恒.2.2.2.2.若刚体由几部分组成若刚体由几部分组成,角动量守恒时角动量守恒时,如一部如一部 分运动分运动,则其它
44、部分必则其它部分必 反向运动反向运动.6.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律如如:M=0,则有则有:L=J =恒量恒量即：即：如果物体所受合外如果物体所受合外如果物体所受合外如果物体所受合外力矩为零力矩为零力矩为零力矩为零,或者不受外力或者不受外力或者不受外力或者不受外力矩作用矩作用矩作用矩作用,物体的角动量保物体的角动量保物体的角动量保物体的角动量保持不变。持不变。持不变。持不变。角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律.1.当当J=恒量恒量,J =J 0,则则 =0,匀角速转动匀角速转动匀角速转动匀角速转动如如:回转仪回转仪,定向装置定向装置.56 细杆长为细杆长为l
45、可绕可绕O点转点转动动,当细杆水平静止时当细杆水平静止时,小小虫虫以速率以速率v0垂直落到距点垂直落到距点O为为l/4处处,并向并向A点爬行点爬行.设小虫设小虫和细杆质量都为和细杆质量都为m.细杆以细杆以恒定的角速度转动恒定的角速度转动,小虫的小虫的爬行速率为多少爬行速率为多少?O Av0APr 例例22.当当当当J J J J可变化时可变化时可变化时可变化时,J =J 0 如如:滑冰运动员旋转时滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。两臂收拢转速快。讨论讨论讨论讨论:1.1.1.1.在有心力作用下的质点在有心力作用下的质点其角动量守恒其角动量守恒.如如:天体天体的运动的运动,电子的绕核运动电子的绕核
46、运动,合外力都不为零合外力都不为零,则则动量动量不守恒不守恒,但角动量守恒但角动量守恒.2.2.2.2.若刚体由几部分组成若刚体由几部分组成,角动量守恒时角动量守恒时,如一部如一部 分运动分运动,则其它部分必则其它部分必 反向运动反向运动.57小虫小虫小虫小虫,杆系统角动量守恒杆系统角动量守恒杆系统角动量守恒杆系统角动量守恒解解解解:小虫与细杆的碰撞为小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞,且略去且略去重力的冲量矩重力的冲量矩,小虫在爬行小虫在爬行时时,系统受重力矩系统受重力矩角速度为恒定角速度为恒定,由角动量定理由角动量定理此时细杆获得角速度此时细杆获得角速度 细杆长为细杆长为l可绕
47、可绕O点转点转动动,当细杆水平静止时当细杆水平静止时,小小虫虫以速率以速率v0垂直落到距点垂直落到距点O为为l/4处处,并向并向A点爬行点爬行.设小虫设小虫和细杆质量都为和细杆质量都为m.细杆以细杆以恒定的角速度转动恒定的角速度转动,小虫的小虫的爬行速率为多少爬行速率为多少?O Av0APr 58系统的系统的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量为为即即:由由 =t小虫小虫小虫小虫,杆系统角动量守恒杆系统角动量守恒杆系统角动量守恒杆系统角动量守恒解解解解:小虫与细杆的碰撞为小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞,且略去且略去重力的冲量矩重力的冲量矩,角速度为恒定角速度为恒定,由由角动量定理角
48、动量定理角动量定理角动量定理此时细杆获得角速度此时细杆获得角速度小虫在爬行小虫在爬行时时,系统受系统受重力矩重力矩重力矩重力矩59ABChl杂技演员杂技演员MM从从h h高高处下落处下落,弹起弹起N N.设设跷板长跷板长l l,质量为质量为mm .C C为转动支点为转动支点.MM、N N质量都为质量都为mm.MM与板为完全非弹性碰撞与板为完全非弹性碰撞.问问N N可弹起多高可弹起多高?NM系统的系统的转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量为为即即:由由 =t60解解解解:MM落到落到A A处处,速率为速率为碰撞后碰撞后M、N有共同的有共同的线速度线速度以以M、N板为系统板为系统,合外合外力矩为零力矩
49、为零,碰撞过程角动碰撞过程角动量守恒量守恒.而而ABChl杂技演员杂技演员MM从从h h高高处下落处下落,弹起弹起N N.设设跷板长跷板长l l,质量为质量为mm .C C为转动支点为转动支点.MM、N N质量都为质量都为mm.MM与板为完全非弹性碰撞与板为完全非弹性碰撞.问问N N可弹起多高可弹起多高?NM61于是于是演员演员N以速率以速率u 跳起跳起,达到高度达到高度h解解解解:MM落到落到A A处处,速率为速率为碰撞后碰撞后M、N有共同的有共同的线速度线速度以以M、N板为系统板为系统,合外合外力矩为零力矩为零,碰撞过程角动碰撞过程角动量守恒量守恒.而而62 轻绳与光轻绳与光滑轴的匀质定滑
50、轴的匀质定滑轮无相对滑滑轮无相对滑动动,物体由静物体由静止开始下落止开始下落,求下落速度求下落速度v与下落高度与下落高度h 的关系的关系.oMmRTmgoMmRNMg由动能定理有由动能定理有对对对对MM:解解解解:MM和和mm受力如图受力如图.N N和和MgMg对对o o的力矩为零的力矩为零.于是于是演员演员N以速率以速率u 跳起跳起,达到高度达到高度h63对对对对mm:由于无相对滑动由于无相对滑动,有有 解得解得 轻绳与光轻绳与光滑轴的匀质定滑轴的匀质定滑轮无相对滑滑轮无相对滑动动,物体由静物体由静止开始下落止开始下落,求下落速度求下落速度v与下落高度与下落高度h 的关系的关系.oMmRTm