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1、刚体定轴转动1第一页，讲稿共三十九页哦5.1 刚体的运动刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律5.7 旋进旋进本章目录本章目录2第二页，讲稿共三十九页哦CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：5.1 刚体的运动刚体的运动一一.刚体刚体（rigid body）的概念的概念t t+t 才才感受到力感受到力固体中弹性波的速度固体中弹性波的速度（k
2、劲度）劲度）若若 v ，则，则 k ，此时物体有无限的刚性，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为我们把这种不能变形的物体称为刚体。刚体。3第三页，讲稿共三十九页哦 显然，刚体是个理想化的模型，显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对位置保持不变。位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，质点系的规律都可用于刚体，般的般的质点系有所简化。质点系有所简化。通常通常v
3、固体固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。就可把固体视为刚体。实际的意义。实际的意义。但是它有但是它有4第四页，讲稿共三十九页哦的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二二.刚体的运动形式刚体的运动形式1.平动平动（translation）：）：刚体做平动时，可用质心或其上任何一刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。2.转动转动（rotation）：）：转动也是刚体的基本运动形式之一，转动也是刚体的基本运动形式之一
4、，它又可分为它又可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。连接刚体内任意两点连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。点的运动来代表整体的运动。5第五页，讲稿共三十九页哦 定轴转动：定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。定点转动：定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。3.平面运动：平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动它可分解为以下两种刚体的基本运
5、动：随随基点基点O（可任选）的（可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只有一点固定不动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。固定平面的运动。6第六页，讲稿共三十九页哦O O OO 转动与基点的选取无关。转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，两种分解，基点选取不同，例如：例如：平动可以不同，平动可以不同，动力学中，常选动力学中，常选质心质心为基点。为基点。三三.刚体转动的描述（运动学问题）刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动定点转动（rotation about a fi
6、xed point）（1）角量的描述）角量的描述 为反映为反映瞬时轴瞬时轴的方向及刚体转动的快慢的方向及刚体转动的快慢转动却相同，转动却相同，或或和转向，引入和转向，引入角速度矢量角速度矢量7第七页，讲稿共三十九页哦与转向成右螺旋关系。与转向成右螺旋关系。（不一定沿着瞬时轴）（不一定沿着瞬时轴）基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体的方向的方向沿瞬时轴，沿瞬时轴，为反映为反映 的变化情况，引入的变化情况，引入角加速度矢量角加速度矢量 。转向转向8第八页，讲稿共三十九页哦（2）线量和角量的关系）线量和角量的关系vrrP 基点基点O瞬时轴瞬时轴刚体刚体旋转加速度旋转加速度 向轴加速度向轴加速度 2.定轴
7、转动定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，转轴固定，。和和和和退化为退化为代数量代数量9第九页，讲稿共三十九页哦 O刚体刚体vPrr定轴定轴参参考考方方向向z10第十页，讲稿共三十九页哦5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。令令转动惯量转动惯量（对（对z轴）轴）（rotational inertia）vi刚体刚体 O,ri定轴定轴zmiriFi11第十一页，讲稿共三十九页哦vi刚体刚体 O,ri定轴定轴zFiimiri则则即即转动定律转动定律其中其中定轴情况下，可不写下标定轴情况下
8、，可不写下标 z，记作：，记作：与牛顿第二定律相比，有：与牛顿第二定律相比，有：M 相应相应F，J 相应相应 m，相应相应 a。12第十二页，讲稿共三十九页哦5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算dmrm转轴转轴 J 由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。演示演示 质量分布改变对转动惯量的影响质量分布改变对转动惯量的影响(KL013)一一.常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式 RmO细圆环：细圆环：13第十三页，讲稿共三十九页哦RmC均匀圆盘：均匀圆盘：CAm均匀细杆：均匀细杆：二二.计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性14
9、第十四页，讲稿共三十九页哦 2.平行轴定理平行轴定理JCdmJC平行平行3.对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO即即（证明见书（证明见书P260P262）如图如图15第十五页，讲稿共三十九页哦 例例 求求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知圆盘已知圆盘 yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：思考思考下图中的下图中的 Jz 如何求？如何求？zlDmCaazm16第十六页，讲稿共三十九页哦5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例定轴定轴 ORthmv0=0 绳绳（不可伸长）（不可伸长）已知：已知：R=0.2m，m=1k
10、g，v0=0，h=1.5m，滑动，滑动，下落时间下落时间 t=3s。求：求：轮对轮对 O 轴轴 J=？解：解：动力学关系：动力学关系：对轮：对轮：T=TmgmaRGTN对对m：运动学运动学关系：关系：(3)(4)(1)(2)绳轮间无相对绳轮间无相对17第十七页，讲稿共三十九页哦(1)(4)联立解得：联立解得：分析结果：分析结果：量纲对；量纲对；h、m 一定，一定，J t，若若J=0，得，得 代入数据：代入数据：正确。正确。合理；合理；此为一种用实验测转动惯量的方法。此为一种用实验测转动惯量的方法。18第十八页，讲稿共三十九页哦5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一.力矩的功力矩的
11、功 力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：力矩的功：力矩的功：d zx 轴轴rF19第十九页，讲稿共三十九页哦二二.定轴转动动能定理定轴转动动能定理 令令转动动能：转动动能：刚体定轴转动刚体定轴转动动能定理：动能定理：（飞轮储能）（飞轮储能）20第二十页，讲稿共三十九页哦三三.刚体的重力势能刚体的重力势能四四.应用举例应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能ChChiEp=0mi守恒定律仍成立。守恒定律仍成立。21第二十一页，讲稿共三十九页哦例例已知：已知：如图示，如图示，。轴轴OCABl,ml/4求：求：杆下摆到杆下摆到 角时，角时，解：解：（杆（
12、杆+地球）系统，地球）系统，(1)(2)(1)、(2)解得：解得：只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。角速度角速度轴对杆作用力轴对杆作用力均匀直杆质量为均匀直杆质量为m，长为，长为l，初始水平静止。初始水平静止。轴光滑，轴光滑，22第二十二页，讲稿共三十九页哦 应用质心运动应用质心运动(3)(4)(5)(6)BCOAl,mNlNtNmgaCtaCllt定理求轴力：定理求轴力：23第二十三页，讲稿共三十九页哦 由由(3)(4)(5)(6)解得：解得：COABl,mNlNtNlt24第二十四页，讲稿共三十九页哦5.6 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量
13、守恒定律讨论讨论力矩对时间的积累效应。力矩对时间的积累效应。质点系：质点系：对点：对点：对轴：对轴：刚体：刚体：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理25第二十五页，讲稿共三十九页哦刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：对刚体系，对刚体系，M外外z=0 时，时，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅(KL016)陀螺仪陀螺仪（KL029）转台车轮转台车轮(KL017)演示演示 角动量守恒：角动量守恒：26第二十六页，讲稿共三十九页
14、哦克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气装置尾浆推动大气产生克服机身反转产生克服机身反转的力矩的力矩装置反向转动的双旋装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而翼产生反向角动量而相互抵消相互抵消 TV 角动量守恒定律角动量守恒定律(注注3)27第二十七页，讲稿共三十九页哦滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）28第二十八页，讲稿共三十九页哦m(黏土块黏土块)yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘（水平）（水平）R例例 如图示，如图示，求：求：碰撞后的瞬刻盘碰撞后的瞬刻盘 P 转到转到 x 轴时盘轴时盘 解：解：m下落：下落
15、：(1)mPhv对对（m+盘），盘），碰撞中重力对碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，轴力矩可忽略，(2)已知：已知：h，R，M=2m，=60 系统角动量守恒：系统角动量守恒：29第二十九页，讲稿共三十九页哦(3)对对（m+M+地球）系统，地球）系统，mmgOMR令令P、x 重合时重合时 EP=0，则：，则：(5)由由(3)(4)(5)得：得：由由(1)(2)(3)得：得：(4)只有重力作功，只有重力作功，E守恒。守恒。（m+盘）角动量盘）角动量30第三十页，讲稿共三十九页哦旋进：旋进：5.7 旋进旋进（进动，（进动，precession）如玩具陀螺的运动：如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。轴转动的现
16、象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个高速旋转的物体，其自转轴绕另一个31第三十一页，讲稿共三十九页哦 p2 p1m2m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz点的点的 不平行于不平行于 。若质量对转轴分布对称，若质量对转轴分布对称，下面我们就讨论这种下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称质量对转轴分布对称对转轴不对称，对转轴不对称，的刚体的旋进问题。的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：例如，图示的情形：质量质量则：则：则对轴上则对轴上O32第三十二页，讲稿共三十九页哦MdLmgOL从而产生旋进运动。从而产生旋进运动。玩具
17、陀螺的旋进：玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，只改变方向而不改变大小，33第三十三页，讲稿共三十九页哦d LO旋进角速度：旋进角速度：演示演示 车轮旋进车轮旋进（KL023)TV 旋进防止炮弹翻转旋进防止炮弹翻转（注（注2）34第三十四页，讲稿共三十九页哦 回转效应产生附加力矩：回转效应产生附加力矩：轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转左转dLMM dt=dL附加力附加力附加力附加力轴承轴承 附加力可能附加力可能造成轴承的损造成轴承的损坏，附加力矩坏，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左转弯的力矩左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内
18、侧车轮上翘）。三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L35第三十五页，讲稿共三十九页哦 地球转轴的旋进，岁差地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴的随着地球自转轴的旋进，北天极方向不旋进，北天极方向不断改变。断改变。北极星北极星3000年前年前 小熊座小熊座 现在现在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （织女）（织女）T=25800年年 C1C2F1F2太阳太阳赤道平面赤道平面黄道平面黄道平面地球地球北北天天极极地轴地轴L地球自转角动量地球自转角动量（F1F2）M地球自转轴旋进地球自转轴旋进36第三十六页，讲稿共三十九页哦地轴地轴旋进旋进旋进周期旋进周期25800年年 秋分点秋分点春
19、分点春分点西西分点每年在黄分点每年在黄道上道上西移西移50.2 太阳年（回归年）：太阳年（回归年）：太阳由春分太阳由春分秋分秋分春分春分恒星年（时间长）：恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间地球绕太阳一周的时间岁差岁差（precession）岁差岁差=恒星年恒星年 太阳年太阳年=20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黄道面黄道面赤道面赤道面 太阳太阳东东37第三十七页，讲稿共三十九页哦我国古代已发现了岁差：我国古代已发现了岁差：每每50年差年差1度（约度（约72/年）年）前汉（公元前前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。刘歆发现岁差。晋朝（公元晋朝（公元265 316）虞喜最先确定了岁差
20、：虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：将岁差引入历法：391年有年有144个闰月。个闰月。祖冲之（公元祖冲之（公元429 500）编编大明历大明历最先最先（精确值为（精确值为50.2/年）年）38第三十八页，讲稿共三十九页哦当旋进发生后，总角速度当旋进发生后，总角速度 只有刚体高速自转时，才有只有刚体高速自转时，才有 这时也才有这时也才有 和以上和以上 的表示式。的表示式。当考虑到当考虑到 对对 的贡献时，的贡献时，自转轴在旋自转轴在旋进中还会出现微小的上下的周期性摆动，进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫运动叫章动章动（nutation）。）。这种这种第五章结束第五章结束牛顿力学全部结束牛顿力学全部结束39第三十九页，讲稿共三十九页哦