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1、2013 考研数学模拟试卷二【数三】解析一、选择题（1）C解：由xxduugxdttxgxxf00)(cosln)(cosln)(得于是321)(sincos1lim)(lim00 xxgxxxxxfxx可见)0(,0(f为曲线)(xfy的拐点，故选（C）（2）B解：由一阶导数判断函数单调性，二阶导数判断凹凸性，选B。（3）A解：正项级数1)1ln(nna收敛，所以0na且)(0 nan又1)1ln(limnnnaa，于是正项级数1nna与1)1ln(nna有相同的敛散性，即1nna收敛，且11nna也收敛。又)(21)1(111nnnnnnnaaaaaa，级数11)(nnnaa收敛，所以，由
2、比较判别法，级数11)1(nnnnaa绝对收敛。（4）B解：xxx1arctan124有三个间断点，其中1x为无穷间断点，曲线有两条铅直渐近线（0 x非无穷间断点）。又由泰勒公式，得)1(11arctan3xxx，从而)(1()1(1111(1arctan132224xoxxOxxxxxx，故xy是曲线的斜渐近线。（5）C解：因A，B满足ABAB.两边取行列式，显然有|ABABAB，（A）成立.又ABAB，移项，提公因子得()ABAA BEB，()A BEBEE，()()AEBEE.故AE，BE都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组()0AE X只有零解，正确.BE不可逆是错误的，又因()()
3、AEBEE，故()()BEAEE，从而有BAABEE，BAAB，得ABBA，从而有1111()()ABBAA B成立.故（1）、（2）、（3）是正确的，应选（C）.（6）C解：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解（7）D解：由于)(EX，所以密度函数为0,00,)(xxexfx，分布函数为21,10,00,1)(DXEXxxexFx，所以CBA,都不对。因为0)(,2)(YXEYXE，而),max(YX的分布函数不是0,00,1)(22xxexFx，所以D对。事实上，),min(YX的分布函数为),min(1),min(xYXPxYXP0,00,1)(1 11,122xxexFxYPxXPxYxX
4、Px。(8)D解：X的分布密度为)()()(.0,0,0,)(22XXxeEXEeXExxex二、填空题（9）0解：由111coslim)(0 xfxex知0)0()(lim0fxfx，于是（10）4ee.解：在方程中令0 x可得0ln1(0)ey，2(0)ye将方程两边对x求导数，得1cos()()yxyyxyxey将0 x，2(0)ye代入，有221(0)yeee，即4(0)yee（11）3276)(xxxf；解：26)(3)(xxfxfx可化为xxfxxf6)(3)(，通解为236)(xCxxf。所得旋转体的体积为70)272()(),53627()()(2102CCcVCCdxxfcV
5、。因为072)(CV，所以7C为最小点，因此所求函数为3276)(xxxf。（12）7.解：由复合函数求导法则，逐层展开有121212()()xffffff，所以(1)21 21(21)7.（13）1解：由001010100,321123321A知，若令,321P，则P可逆，且BAPP0010101001，即 AB，从而EAEB，因此 r(A-E)=r(B-E)=1（14）1718解：由题设知311kP Xk，13P Xk.根据全概率公式得12.58.5171133918.三、解答题)15(解：（1）记)(),(ygxfy为)(xf的反函数。由等式1)()(ygxf，两边再对x求导数得0)()
6、()()(2ygxfygxf。注意到,1)(1)3(afg则3y，因此2)3()()3(gafg。（2）按导数定义得2lnln)()()(limlnln)()(limaaxaxxaxafxfaxafxfxaxax。（16）解：引入极坐标(,)r满足cos,sinxryr，在极坐标(,)r中积分区域D可表示为(,)|0,2cos22Drr，于是由于41442002114cossin1cos4(1)4()4263Idttdt,3342220002883 18cos 1cos(coscos)(1)3334 2 232Jddd,故48(1)43322Dx ydIJ.（17）解：将)(xf在0 x处按泰
7、勒公式展开，有令x分别为1,1得，01,6)(2)0()0()0()1(11fffff两式相减得，2)()(31)0(2)1()1(21fffff由于)(xf在,21上连续，不妨设)(xf在,21上的最大值，最小值为mM,则Mffm2)()(21，根据介值定理，)1,1(,21，使得)(2)()(21fff于是)(31)0(2)1()1(ffff，即对于)1,1(，有)0(2)1()1(6)(ffff)18(解：方程化为dtPPdP51)80(80，解得580tCePP，由0t时，1600P，得21C，于是55.0180teP。显然80P。又由)80(80PPdtdP知，当80P时，P单调减少
8、，且当t时，80P。故此模型可以保证牲口在80 头以上，令100P，100802115Te。当5.25Te时，可求得51T，即 5 个月内牲口头数不超过100 头。（19）解：（1）(),(,(,)(,(,)(,)af a f a f a af a f a af a aa（2）22()2()(),()2()()x addxxxxaadxdx因为(),(,(,)xf x f x f x x，令(,),(,),uf x v vf x yyx当xa时，,(,),(,)x ax aya vf a aa uf a aa（20）解：（1）设A的特征值为，则0,XXAX为所对应的特征向量，由A满足OAA32
9、，有,0)3(2X于是032，从而设A的特征值为3,0。（2）3 所对应的特征向量为设T)1,1,1(，由实对称阵不同特征值对应的特征向量正交，设 0 所对应的特征向量为TxxxX),(321，则有所以 0 所对应的特征向量为TT)1,1,2(,)1,1,0(。（3）令111111201P，则111333224611P，1111111110031PPA。（21）解：（I）0100070312132165423121aaaa当1a及0a时，方程组均有无穷多解当1a时，则TTT)1,2,1(,)0,1,3(,)1,2,1(321线性相关，不合题意当0a时，则TTT)2,3,0(,)1,1,2(,)
10、1,0,1(321线性无关，可作为三个不同特征值的特征向量由0,21321A知（II）0)(0)(xAExAE，可见0)(xAE的基础解系即为12的特征向量T)1,1,2(2（22）解：（I）11()02xE Xxedxg；所以22211?2niiXn，得2211?2niiXn（II）112ln(,)ln 2niinXL XXXnL21ln10niidLnXd，得11?niiXn（III）011()222xxE Xxedxxedxgg所以11111()()nniiiiEXEXnnnng因此11?niiXn是的无偏估计量。（23）解：()11220001(,)()()122xDkf x y dxdydxk xy dykxxdx，所以2k.()2202()3,01;()(,)0,Xxy dyxxfxf x y dy其它.()()0Xfx，即01x时，2|2(),0;(,)(|)3()0,Y XXxyyxf x yfy xxfx其它.()0Yfy，即01y时，2|2(),1;(,)123(|)()0,X YYxyyxf x yyyfx yfy其它.()11011(,)2()xyxyyxP XYf x y dxdyxy dxdy112012()3yydyxy dx.2020-2-8