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1、 1 2013 考研数学模拟试卷二【数三】解析 一、选择题 1C 解：由xxduugxdttxgxxf00)(cosln)(cosln)(得)(cossin)(xgxxxf 于是321)(sincos1lim)(lim00 xxgxxxxxfxx 03)0()(lim)0(,0)0(0 xfxfffx 可见)0(,0(f为曲线)(xfy 的拐点，故选C 2B 解：由一阶导数判断函数单调性，二阶导数判断凹凸性，选 B。3A 解：正项级数1)1ln(nna收敛，所以0na且)(0nan 又1)1ln(limnnnaa，于是正项级数 1nna与1)1ln(nna有相同的敛散性，即 1nna收敛，且1
2、1nna也收敛。又)(21)1(111nnnnnnnaaaaaa，级数11)(nnnaa收敛，所以，由比较判别法，级数11)1(nnnnaa绝对收敛。4B 解：xxx1arctan124有三个间断点，其中1x为无穷间断点，曲线有两条铅直渐近线0 x非无穷间断点。又由泰勒公式，得)1(11arctan3xxx，从而)(1()1(1111(1arctan132224xoxxOxxxxxx，故xy 是曲线的斜渐近线。5C 解：因A，B满足ABAB.两边取行列式，显然有|ABABA B，A成立.又ABAB，移项，提公因子得()ABAA BEB，2()A BEBEE ，()()AE BEE.故AE，BE
3、都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组()0AE X只有零解，正确.BE不可逆是错误的，又因()()AE BEE，故()()BEAEE，从而有BAABEE ，BAAB，得ABBA，从而有 1111()()ABBAA B成立.故1、2、3是正确的，应选C.6C 解：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 7D 解：由于)(EX，所以密度函数为0,00,)(xxexfx，分布函数为 21,10,00,1)(DXEXxxexFx，所以CBA,都不对。因为0)(,2)(YXEYXE，而),max(YX的分布函数不是0,00,1)(22xxexFx，所以D对。事实上，),min(YX的分布函数为),min(1
4、),min(xYXPxYXP 0,00,1)(1 11,122xxexFxYPxXPxYxXPx。(8)D 解：X的分布密度为 )()()(.0,0,0,)(22XXxeEXEeXExxex .34)()(0302dxedxxedxxedxxxxxx 二、填空题 90 解：由111coslim)(0 xfxex知0)0()(lim0fxfx，于是 021cos1lim22)(lim)(lim)0()(0200 xxexxxfxxffxfxxx 法级数绝对收敛解有三个间断点其中为无穷间断点曲线有两条铅直渐近线非无穷间断点又由泰勒公式得从而故是曲线解正确不可逆是错误的又因故从而有得从而有成立故是正
5、确的应选解非齐次通解齐次通解非齐次特解解由于所以密度于是解在方程中令可得将方程两边对求导数得将代入有即解可化为通解为所得旋转体的体积为因为所以为最小点因此 3 104ee.解：在方程中令0 x 可得0ln1(0)ey，2(0)ye 将方程两边对x求导数，得1cos()()yxyyxyxey 将0 x，2(0)ye代入，有221(0)yeee，即4(0)yee 113276)(xxxf；解：26)(3)(xxfxf x可化为xxfxxf6)(3)(，通解为 236)(xCxxf。所得旋转体的体积为 70)272()(),53627()()(2102CCcVCCdxxfcV。因为072)(CV，所
6、以7C为最小点，因此所求函数为3276)(xxxf。127.解：由复合函数求导法则，逐层展开有121212()()xffffff ，所以(1)2 1 21(21)7 .131 解：由001010100,321123321A知，假设令,321P，则P可逆，且BAPP0010101001，即 AB，从而EAEB，因此 r(A-E)=r(B-E)=1 141718 解：由题设知311kP Xk，13P Xk.根据全概率公式得 312.52.5,kP YP YXk 31 2.5|kP Xk P YXk 法级数绝对收敛解有三个间断点其中为无穷间断点曲线有两条铅直渐近线非无穷间断点又由泰勒公式得从而故是曲
7、线解正确不可逆是错误的又因故从而有得从而有成立故是正确的应选解非齐次通解齐次通解非齐次特解解由于所以密度于是解在方程中令可得将方程两边对求导数得将代入有即解可化为通解为所得旋转体的体积为因为所以为最小点因此 4 12.58.5171 133918.三、解答题)15(解：1记)(),(ygxfy 为)(xf的反函数。由等式1)()(ygxf，两边再对x求导数得 0)()()()(2ygxfygxf。注意到,1)(1)3(afg则3y，因此2)3()()3(gafg。2按导数定义得2lnln)()()(limlnln)()(limaaxaxxaxafxfaxafxfxaxax。16解：引入极坐标(
8、,)r满足cos,sinxryr，在极坐标(,)r中积分区域D可表示为(,)|0,2cos22Drr ，于是 2202cos22322202cos02cos43432200(1)cos(sin1)cossincos22cossin 1coscos 1cos,43Dx yddrrrdrdr drdr drddIJ 由于41442002114cossin 1cos4(1)4()4263Idtt dt,3342220002883 18cos 1cos(coscos)(1)3334 2 232Jddd ,故48(1)43322Dx ydIJ .17解：将)(xf在0 x处按泰勒公式展开，有 xxfxf
9、xffxf0,!3)(!2)0()0()0()(32 令x分别为1,1得，01,6)(2)0()0()0()1(11fffff 10,6)(2)0()0()0()1(22fffff 两式相减得，2)()(31)0(2)1()1(21fffff 由于)(xf在,21上连续，不妨设)(xf 在,21上的最大值，最小值为mM,法级数绝对收敛解有三个间断点其中为无穷间断点曲线有两条铅直渐近线非无穷间断点又由泰勒公式得从而故是曲线解正确不可逆是错误的又因故从而有得从而有成立故是正确的应选解非齐次通解齐次通解非齐次特解解由于所以密度于是解在方程中令可得将方程两边对求导数得将代入有即解可化为通解为所得旋转体
10、的体积为因为所以为最小点因此 5 则Mffm2)()(21，根据介值定理，)1,1(,21，使得)(2)()(21fff 于是)(31)0(2)1()1(ffff，即对于)1,1(，有)0(2)1()1(6)(ffff )18(解：方程化为 dtPPdP51)80(80，解得580tCePP，由0t时，1600P，得21C，于是55.0180teP。显然80P。又由)80(80PPdtdP知，当80P时，P单调减少，且当t时，80P。故此模型可以保证牲口在 80 头以上，令100P，100802115Te。当5.25Te时，可求得51T，即 5 个月内牲口头数不超过 100 头。19解：1()
11、,(,(,)(,(,)(,)af a f a f a af a f a af a aa 222()2()(),()2()()x addxxxxaadxdx 因为(),(,(,)xf x f x f x x，令(,),(,),uf x v vf x yyx()()dffuffffvdxxuxxuxvxffffffyxuxvxyx 当xa时，,(,),(,)x ax aya vf a aa uf a aa 2,()()2()()2()x ax ax ax ax ax ay ay au ay av ay ax ax affffffbcccxyuyvydbc bc bcdxdxaaa bc bc bc
12、dx 20解：1 设A的特征值为，则0,XXAX为所对应的特征向量，由A满足OAA 32，有,0)3(2X于是032，法级数绝对收敛解有三个间断点其中为无穷间断点曲线有两条铅直渐近线非无穷间断点又由泰勒公式得从而故是曲线解正确不可逆是错误的又因故从而有得从而有成立故是正确的应选解非齐次通解齐次通解非齐次特解解由于所以密度于是解在方程中令可得将方程两边对求导数得将代入有即解可化为通解为所得旋转体的体积为因为所以为最小点因此 6 从而设A的特征值为3,0。23 所对应的特征向量为设T)1,1,1(，由实对称阵不同特征值对应的特征向量正交，设 0 所对应的特征向量为TxxxX),(321，则有 03
13、21xxx 所以 0 所对应的特征向量为TT)1,1,2(,)1,1,0(。3令111111201P，则111333224611P，1111111110031PPA。21解：I0100070312132165423121aaaa 当1a及0a时，方程组均有无穷多解 当1a时，则TTT)1,2,1(,)0,1,3(,)1,2,1(321线性相关，不合题意 当0a时，则TTT)2,3,0(,)1,1,2(,)1,0,1(321线性无关，可作为三个 不同特征值的特征向量 由 0,21321A知 96832312811211310021011010021,0,1132121A II0)(0)(xAEx
14、AE，可见0)(xAE的基础解系即为 12的特征向量T)1,1,2(2 22解：I11()02xE Xxedx；22222011()2222xxE Xxedxxedx 所以222112niiXn，得22112niiXn 法级数绝对收敛解有三个间断点其中为无穷间断点曲线有两条铅直渐近线非无穷间断点又由泰勒公式得从而故是曲线解正确不可逆是错误的又因故从而有得从而有成立故是正确的应选解非齐次通解齐次通解非齐次特解解由于所以密度于是解在方程中令可得将方程两边对求导数得将代入有即解可化为通解为所得旋转体的体积为因为所以为最小点因此 7 II112ln(,)ln2niinXL X XXn 21ln10ni
15、idLnXd ，得11niiXn III011()222xxE Xxedxxedx 所以11111()()nniiiiEXEXnnnn 因此11niiXn是的无偏估计量。23解：()11220001(,)()()122xDkf x y dxdydxk xy dykxxdx ，所以2k.()2202()3,01;()(,)0,Xxy dyxxfxf x y dy 其它.1212()123,01;()(,)0,yYxy dxyyyfyf x y dx 其它.()()0Xfx，即01x 时，2|2(),0;(,)(|)3()0,Y XXxyyxf x yfy xxfx 其它.()0Yfy，即01y 时，2|2(),1;(,)123(|)()0,X YYxyyxf x yyyfx yfy 其它.()11011(,)2()x yx yy xP XYf x y dxdyxy dxdy 112012()3yydyxy dx.法级数绝对收敛解有三个间断点其中为无穷间断点曲线有两条铅直渐近线非无穷间断点又由泰勒公式得从而故是曲线解正确不可逆是错误的又因故从而有得从而有成立故是正确的应选解非齐次通解齐次通解非齐次特解解由于所以密度于是解在方程中令可得将方程两边对求导数得将代入有即解可化为通解为所得旋转体的体积为因为所以为最小点因此