《圆锥曲线试题与复习资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线试题与复习资料.docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、椭圆一、选择题1(2012高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x4，则该椭圆的方程为( )1 11 1解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为1(ab0)由题意知b2a2c24，故所求椭圆方程为1.2(2011高考浙江卷)已知椭圆C1：1(ab0)及双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线及以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析：选C.由题意知，a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40
2、，直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.3椭圆1(ab0)的右焦点为F，其右准线及x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()A(0， B(0，C1,1) D，1)解析：选D.设P(x0，y0)，则a0.又点F在的垂直平分线上，a0c，因此x0.又ax0a，aa.11.又0e1，eb0)，以其左焦点F1(c,0)为圆心，以ac为半径作圆，过上顶点B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M，N.若过两个切点M，N的直线恰好经过下顶点B1(0，b)，则椭圆E的离心率为()1 12 3解析：选B.由题意得，圆F1: (xc)2y2(ac)2.设M(
3、x1，y1)，N(x2，y2)，则切线B2M：(x1c)(xc)y1y(ac)2，切线B2N：(x2c)(xc)y2y(ac)2.又两条切线都过点B2(0，b)，所以c(x1c)y1b(ac)2，c(x2c)y2b(ac)2.所以直线c(xc)(ac)2就是过点M、N的直线又直线过点B1(0，b)，代入化简得c2b2(ac)2，所以e1.二、填空题6(2011高考课标全国卷)在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且2的周长为16，那么C的方程为解析：设椭圆方程为1，由e知，故.由于2的周长为2|2|1|2|1|2|4a16，故
4、a4.b28.椭圆C的方程为1.答案：17(2011高考江西卷)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是解析：由题意可得切点A(1,0)切点B(m，n)满足，解得.过切点A，B的直线方程为2xy20.令y0得x1，即c1；令x0得y2，即b2.a2b2c25，椭圆方程为1.答案：18(2012高考四川卷)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm及椭圆相交于点A、B，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是解析：设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|2a.又的周长为|4a，当且仅当过右焦点F时等号成立此时4a12
5、，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.答案：三、解答题9设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，过F2的直线l及椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，直线l的方程为y(x2)联立 ，得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2.即2，得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为1.10(2011高考辽宁卷)如
6、图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为，且C1，C2的离心率都为e.直线l，l及C1交于两点，及C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求及的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得，并说明理由解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1(ab0)设直线l：xt(a)，分别及C1，C2的方程联立，求得，.当e时，ba，分别用，表示A，B的纵坐标，可知.(2)当t0时的l不符合题意，当t0时，当且仅当的斜率及的斜率相等，即，解得ta.因为a，又0e1，所以1，解得e1.所以当0e时，不存在直线l，使
7、得；当eb0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y24x的焦点，M是C1及C2在第一象限的交点，且2|.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知菱形的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x7y10上，求直线的方程解：(1)设M(x1，y1)，F2(1,0)，2|.由抛物线定义，x11，x1，4x1，y1.M(，)，M在C1上，1，又b2a21，9a437a240，a24或a20，m27，m0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4B3C2 D1解析：选C.渐近线方程可化为yx.双曲线的焦点在x轴上，2，解得a2.由题意知a0，a2.2(2011高考天津卷)已知双曲线
8、1(a0，b0)的左顶点及抛物线y22(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线及抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2C4 D4解析：选B.双曲线左顶点为A1(a,0)，渐近线为yx，抛物线y22(p0)焦点为，准线为直线x.由题意知2，p4，由题意知2a4，a2.双曲线渐近线yx中及准线x交于(2，1)的渐近线为yx，1(2)，b1.c2a2b25，c，2c2.3设双曲线的左准线及两条渐近线交于A、B两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为()A(0，) B(1，)C(，1) D(，)解析：选B.法一：由得.同理可得.又左焦点F(c,0)
9、，.点F在以为直径的圆内，0，即220，b4a2b2，b2a2，即c2a2a2，c22a2，即e22，e1，1e.法二：由得.同理可得.点F(c,0)在以为直径的圆内，左焦点F到圆心的距离小于半径长，即cb.e 1，1e0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()1 11 1解析：选A.双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程及圆C相切，即直线0及圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.二、填空题
10、6(2011高考四川卷)双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是解析：由1可知a8，b6，则c10，设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由2|4及双曲线的第一定义得1|16420.设点P到左准线的距离为d，由双曲线的第二定义有，即d16.答案：167(2012高考重庆卷)设P为直线yx及双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，1垂直于x轴，则双曲线的离心率e.解析：直线yx及双曲线1相交，由消去y得x，又1垂直于x轴，c，即e.答案：8已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b.解析：双曲线的焦点在x轴上，2，4.a21，b24.又b0，b2.
11、答案：2三、解答题9由双曲线1上的一点P及左、右两焦点F1、F2构成1F2，求1F2的内切圆及边F1F2的切点坐标N.解：由双曲线方程知a3，b2，c.当点P在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得1|2|2a.由于1|2|1|2|2a.1|2|2c.由得1|ac，1|1|acca3.故切点N的坐标为(3,0)根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(3,0)10(2012高考四川卷)如图，动点M及两定点A(1,0)、B(1,0)构成，且直线、的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线yxm(m0)及y轴相交于点P，及轨
12、迹C相交于点Q，R，且，求的取值范围解：(1)设M的坐标为(x，y)，当x1时，直线的斜率不存在；当x1时，直线的斜率不存在于是x1且x1.此时，的斜率为，的斜率为.由题意，有4.化简可得，4x2y240.故动点M的轨迹C的方程为4x2y240(x1且x1)(2)由，消去y，可得3x22m240.(*)对于方程(*)，其判别式(2m)243(m24)16m2480，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m0)可知，m0且m1.设Q、R的坐标分别为(，)，(，)，则，为方程(*)的两根因为，所以1，且 2，所以113，且1，所以10)，则M到焦点的距离为23，p2，y24x.4
13、2，y02，2.3(2013四川成都模拟)设抛物线y28x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点若线段的中点E到y轴的距离为3，则弦的长为()A5 B8C10 D12解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，又E到y轴距离为3，3.10.4(2011高考课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点，且及C的对称轴垂直，l及C交于A，B两点，12，P为C的准线上一点，则的面积为()A18 B24C36 D48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y22(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22得yp，即2p，又12，故p6，所以抛物线的准线方程为x3
14、，故S61236.5(2011高考四川卷)在抛物线yx25(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时及抛物线和圆5x25y236相切，则抛物线顶点的坐标为()A(2，9) B(0，5)C(2，9) D(1，6)解析：选A.当x14时，y1114a；当x22时，y22a1，所以割线的斜率ka2.设直线及抛物线的切点横坐标为x0，由y2xa得切线斜率为2x0a，2x0aa2，x01.直线及抛物线的切点坐标为(1，a4)，切线方程为ya4(a2)(x1)，即(a2)xy60.圆5x25y236的圆心到切线的距离d .由题意得，即(a2)215.又a0，
15、a4，此时，yx24x5(x2)29.顶点坐标为(2，9)二、填空题6(2012高考重庆卷)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则.解析：由于y22x的焦点坐标为，设所在直线的方程为y，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，将y代入y22x，得k222x，k2x2(k22)x0.x1x2.而x1x2px1x21，x1x2.x1，x2.x1.答案：7已知抛物线C：y24x的焦点为F，C上的点M在C的准线上的射影为M，若|，则点M的横坐标为解析：如图所示，M|，M.M60.又，故F为正三角形设M(x，y)，则M(1，y)，F(1,0)，|x1，整理得y2x22x3，将y
16、24x代入y2x22x3得x22x30，即x3或1(舍)答案：38(2011高考重庆卷)设圆C位于抛物线y22x及直线x3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为解析：如图所示，若圆C的半径取到最大值，必须为圆及抛物线及直线x3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；(2)已知当M点的坐标为(2，2p)时，4.求此时抛物线的方程解：(1)证明：由题意设A(x1，)，B(x2，)，x10)的直线l及圆C2相切，切点为A，直线l及曲线C1相交于点B，则直线的斜率为(
17、) C1 解析：选A.设B(a，b)，则由题意可得，解得.则直线的方程为yk(x1)，故1，k或k(舍去)4设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线及该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为() 解析：选D.设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而，()1，整理得b2.c2a20，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.5已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l及E相交于A，B两点，且的中点为N(12，15)，则E的方程为()1 11 1解析：选B.1，直线的方程为yx3.由于双曲线的焦点为F(3,0
18、)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，把yx3代入双曲线方程，则1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为1.二、填空题6(2011高考江西卷)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是解析：由题意可得切点A(1,0)切点B(m，n)满足，解得.过切点A，B的直线方程为2xy20.令y0得x1，即c1；令x0得y2，即b2.a2b2c25，椭圆方程为1.答案
19、：17(2013广西梧州高三检测)设点F为抛物线yx2的焦点，及抛物线相切于点P(4，4)的直线l及x轴的交点为Q，则的值是解析：yx，y42，直线的方程为y42(x4)令y0，得x2，点Q(2,0)又焦点F(0，1)，1，.答案：8已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为解析：法一：如图，设椭圆C的焦点在x轴上，B(0，b)，F(c,0)，D(，)，则(c，b)，(c，)，2，1，即e2， e.法二：设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(，)，则a.作1y轴于点D1，则由2 ，得，1|c，即.由椭圆的第二定义得e()a
20、.又由2，得a2a，整理得，即e2.e.答案：三、解答题9. 已知抛物线C的方程为y24x，其焦点为F，准线为l，过F作直线m交抛物线C于M，N两点求S的最小值解：由题意知F(1,0)，l：x1，设m：x1，M(x1，y1)，N(x2，y2)则y2440，由根及系数的关系得.S1y2|22(a0时取得等号)所以S的最小值为2.10(2012高考重庆卷)如图所示，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段1、2的中点分别为B1、B2，且1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点，使22，求2Q的面积解：
21、(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为F2(c,0)因为1B2是直角三角形且1|2|，故B12为直角，从而2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在1B2中，B1B2，故1B2|2|bb2，由题设条件4得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知，直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为x2.代入椭圆方程得(m25)y24160.(*)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x
22、12)(x22)y1y2(14)(24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由22，知0，即16m2640，解得m2.当m2时，方程(*)化为9y28y160，故y1，y2，1y2|，2Q的面积S1B2|1y2|.当m2时，同理可得(或由对称性可得)2Q的面积S，综上所述，2Q的面积为.11(探究选做)(2012高考上海卷)在平面直角坐标系中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线及另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l及圆x2y21相切，求证：；(3)设椭圆C2：4x2y21.若M、
23、N分别是C1、C2上的动点，且，求证：O到直线的距离是定值解：(1)双曲线C1：y21，左顶点，渐近线方程：yx.不妨取过点A及渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S.(2)证明：设直线的方程是yxb.因直线及已知圆相切，故1，即b22.由得x22b210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故.(3)证明：当直线垂直于x轴时，1，则O到直线的距离为.当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为y，则直线的方程为yx.由得所以2.同理2.设O到直线的距
24、离为d，因为(22)d222，所以3，即d.综上，O到直线的距离是定值圆锥曲线综合（一）(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y4x2的焦点坐标是()A(0，1) B(1，0)C(0，) D(，0)解析将抛物线方程变为x22y，知p，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，)答案C2已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为()A2 B3 C5 D7解析点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10，1037.选D.答案D3以抛物线y24x的焦点为圆心，且
25、过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r1，故所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0，故选D.答案D4以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是()111或1D以上都不对解析当顶点为(4，0)时，a4，c8，b4，1；当顶点为(0，3)时，a3，c6，b3， 1.答案C5已知椭圆及双曲线1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为()1 11 1解析双曲线1中3，2，则c1，故焦点坐标为(，0)，(，0)，故所求椭圆1(ab0)的c
26、，又椭圆的离心率e，则a5，a225，b2a2c220，故椭圆的标准方程为1.答案B6(2011山东烟台期末)已知椭圆1的两个焦点为F1，F2，弦过点F1，则2的周长为()A10 B20 C2 D4解析2|2|1|1| F2|2|(1|2|)(1|2|)4a4.答案D7双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A2 解析双曲线1的两条渐近线方程为yx，依题意() 1，故1，所以1即e22，所以双曲线的离心率e.故选C.答案C8已知椭圆x2 y2 1(00.又02，0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()1 11 1
27、解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是0，c3，根据已知得2，即2，解得b2，得a2c2b25，故所求的双曲线方程是1.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11已知点(2，3)及抛物线y22(p0)的焦点的距离是5，则p.解析抛物线y22(p0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得5.解得p4.答案412若椭圆x221的离心率为，则它的长半轴长为解析当0m1时，1，a1.应填1或2.答案1或213已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为解析由题意知，椭圆的焦点坐标
28、是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，因此所求双曲线的方程是1.答案114设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线及椭圆相交，其中的一个交点为P，若F12为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是解析由题意，知2F1F2，且F12为等腰直角三角形，所以2|1F2|2c，1|2c，从而2a1|2|2c(1)，所以e1.答案1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15(10分)双曲线C及椭圆1有相同的焦点，直线yx为C的一条渐近线求双曲线C的方程解设双曲线方程为1(a0，b0)由椭圆1，求得两焦点为(2，0)，(2
29、，0)，对于双曲线C：c2.又yx为双曲线C的一条渐近线，解得a21，b23，双曲线C的方程为x21.16(10分)双曲线及椭圆有共同的焦点F1(0，5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线及椭圆的一个交点，求双曲线及椭圆的方程解由共同的焦点F1(0，5)、F2(0，5)，可设椭圆方程为1；双曲线方程为1，点P(3，4)在椭圆上，1，a240，双曲线的过点P(3，4)的渐近线为yx，即43，b216.所以椭圆方程为1；双曲线方程为1.17(10分)已知抛物线y22x，直线l过点(0，2)及抛物线交于M，N两点，以线段的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程解由题意，知直线l的斜率
30、存在，设为k，则直线l的方程为y2(k0)，解方程组消去x得22y40，416k0kb0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求2的面积解(1)易得椭圆方程为y21.(2)F1(1，0)，直线1的方程为y2x2，由得9x216x60.162496400，所以直线及椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则1x2|，又点F2到直线1的距离d，故S2d.19(12分)已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长3，(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且的面积为9，求P的坐标解(1)由得4x24(m1