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1、 圆锥曲线常见题型归纳一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求及有关的值，求及焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率及曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在轴和轴的两种（或四种）情况；（3）注意，的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中，双曲线中，离心率，准线方程；例题： （1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ）A B C D（答：C）；（2）方程表示的曲线是 （答
2、：双曲线的左支）（3）已知点及抛物线上一动点P（）,则的最小值是 （答：2）（4）已知方程表示椭圆，则的取值范围为 （答：）； （5）双曲线的离心率等于，且及椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程（答：）；（6）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为（答：）二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，及动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形
3、面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：（1） 椭圆（以（）为例）：范围：； 焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2； 准线：两条准线；离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。例：（1）若椭圆的离心率，则的值是（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（答：）（2） 双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为
4、2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 两条渐近线：。离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；例：（3）双曲线的渐近线方程为34,则双曲线的离心率为 （4）双曲线的离心率为，则=（答：4或）； （5）设双曲线（a00）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是（答：）； （3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。 （4）点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外； 2）点在椭圆上1；（
5、3）点在椭圆内例：（6）设，则抛物线的焦点坐标为（答：）；（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为（答：）；（8）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于；（9）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为（答：）；（10）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为（答：）；三、直线及圆锥曲线的关系题 （1）写直线方程时，先考虑斜率存在，把直线方程设为的形式，但随后应对斜率不存在的情况作出相应说明，因为不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去或消去
6、，得到方程 或 ，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。（3）当方程或的二次项系数时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线及双曲线的渐近线平行或直线及抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作及抛物线只有一个公共点的直线有三条， 过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作及双曲线只有一个公共点的直线有四条；）（4）当方程或的二次项系数时，判别式、，及之相对应的是，直线及圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线及圆锥曲线有公共点，应用来求斜率的范围；例题：（1）过点作直线及抛物线只有一个公共点，这样的直线有（答：2）； （2）过点(0,2)及双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的
7、取值范围为（答：）；（3）直线y1=0及椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（答：1，5）（5，+）； （4）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若4，则这样的直线有条（答：3）；（5）直线及圆锥曲线相交成弦（前提，），记为，其中，的坐标可由方程或求得，一般是由方程求出，再代入直线方程求，或由方程求出，再代入直线方程求。（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程 求出，在直线上， 请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去，得到 ，继而用韦达定理，求出，,（6）若抛物线的焦点弦为，则；（7）若、是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线恒经过定点（7） 涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程 求出
8、，设弦的中点为，则，点也在直线上，。如果问题仅仅及弦中点和弦的斜率有关，而不涉及弦长，则可把弦的坐标，直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有、，这些都及弦中点坐标和弦的斜率有关。（点差法）（8）弦满足有关的向量的条件，如（为原点），则， ，.又如过椭圆的右焦点的直线及该椭圆交于两点，且，求直线的方程。特别提醒：因为是直线及圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！例：（1）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段的中点到轴的距离为（答：2）；（2）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；（3）已知直线1及椭圆
9、相交于A、B两点，且线段的中点在直线L：x20上，则此椭圆的离心率为（答：）；（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即及双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。如（4）及双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（答：）（5）经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30的弦，（1）求（2）求三角形的周长，（F1是左焦点）（6）已知抛物线及直线(1)相交于A、B两点（1）求证：（2）当，求k的值。（7）已知动直线及椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值. 解: 将代入中得 所以 （8）过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。四、关于圆锥曲线的最值（1）圆锥曲线上的动点
10、到一个定点的距离的最值。设动点的坐标，用两点间的距离公式表示距离，利用点的坐标满足圆锥曲线方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函数，因为（或）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴及闭区间的关系进行分类讨论。（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线及定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线及定直线的距离即为所求最值。例：（1）椭圆x2/32=1上的点到直线4=0的最短距离；五、求动点的轨迹方程（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；注意：不重合的两条直线及，的法向量为：，方向向
11、量为，且；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。（2）线段过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)由动点P向圆作两条切线、，切点分别为A、B，600，则动点P的轨迹方程为（答：）；（4）点M及点F(4,0)的距
12、离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是 （答：）；(5) 一动圆及两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；(6)动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为（答：）；（7）是圆O的直径，且2a，M为圆上一动点，作，垂足为N，在上取点，使，求点的轨迹。（答：）；（8）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是（答：）；（9）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦的中点M的轨迹方程是（答：）；（14全国卷）20.（本小题满分1
13、2分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（）求的方程；（）设过点的直线及相交于两点，当的面积最大时，求的方程.20.（本小题满分12分）解：（）设，由条件知，得，又，所以故的方程为5分（）当轴时不合题意，故设，将代入得当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积9分设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为或12分答案一：1 2.双曲线的左支32/4 即x2=4y焦点F为（0,1）准线：1过点P作1于M=1=1当三点共线时最小（）（22）2+1=3（）（1）3-1=24.）； 5.； 6.二：1. 3或 2.设焦点在x轴上
14、,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆及y轴的交点上,即此时高为b,即 2c*2=111而c2= a22 =(1)2 即a2= b2 +(1)2 2a2 长轴2a223. （1）焦点在x轴上,渐近线()x 3/4 3t, 4t 5t 5/4（2）焦点在y轴上,渐近线()x 3/4 3t, 4t 5t 5/3 4. 4或5. 2,2,(-)/21/2,1/2, (-)/2/4,/3,-/2,2/3, 的取值范围是/3,/2.6. 7. 8. 7 9. （ ） 10. 三： 1、2 2.显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在5上.解方
15、程组5=8x ,则5210.该点坐标为（5,210）.用公式算得该点至抛物线距离为7.2.设直线为,过（0,2）点,可得22及x2/92/16=1有且只有一个公共点也就是方程组x2/92/16=1；2只有一组解将2代入x2/92/16=1得到：(16-9k2)x2-18180=0就此讨论：当16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是(4/3)时,方程只有一组解当16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件也就是b2-40,可以得到另一组k的值3：椭圆，且，直线恒过定点，欲使其及椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，选C.4. X2 - Y2/2 =1 c=1+2=3 F
16、(3,0)过F且垂直x轴的直线是3 代入则y=4 2所以此时2-(-2)=4 所以这里有一条且都在右支时其他的直线则都大于4 所以都在右支只有1条直线L交双曲线于两点、B分别在两支时, 顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是24 所以也有两条,关于x轴对称 所以共有3条1. 2 2. 3. 4. 56、 （1）将(1)代入y2, 设A（X11）(X22)易得X12(2k2+1)21*X2=1y1*y22(X1+1)(X2+1)10A斜率K1为y11,0B斜率K2为y22,所以K1*K21得证（2）1/2(根x1212*根下x222)=根10 （x1212）*（x222）=40x12x22+(
17、x122222y12)=40 2-(x12x222x1)=40x1x2(x12)38 (2k2+1)238 k2=1/36 1/67、 7、解: 将代入中得 所以 8.设直线及椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。四、 1.解：将直线L向椭圆方向平移至直线L0，使直线L及椭圆恰好相切，切点为P，把代入椭圆方程x2/32=1（1）,得 （)2/32=1 整理得：4y2-22-3=0 由=0得4c2-44(c2-3)=02 即直线L方程为2=0 方程为2=0（2） 符合题意解（1）、（2）得P点坐标为（-3/2,1/2）。点P到直线4=0的距离的最小值为：3/2-1/2+42=2/2。五、1. 或）；2. 3. 4. 5.双曲线的一支6. 7. 20.（本小题满分12分）解：（）设，由条件知，得，又，所以故的方程为5分（）当轴时不合题意，故设，将代入得当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积9分设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为或12分第 9 页