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1、 高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照
2、明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母 A，B ， ，表示集合，用小写的字母a ， ，c 表示集合中的元素.Cb5.集合的相等= B当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合 A 与集合 B 相等记作 A6.元素与集合之间的关系.a Aaaa，读作 属于 A .（1）属于：如果 是集合 A 中的元素，就说 属于集合 A ，记作
3、a Aaaa，读作 不属（2）不属于:如果 不是集合 A 中的元素，就说 不属于集合 A ，记作于 A .7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程 x2=1的实数根组成的集合.-1 0（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式 x8.常用数集及其记法的解组成的集合.（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作N 或 +.N*（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N .（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z .（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q .（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R
4、 .9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元1 素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大-1)(x + 2) = 0洋”组成的集合表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程(x的所有实数根”组成的集合表示为1,-2.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为x p(x)，其中 是集合中的元素代表， ( ) 则表示集合中的元素所具有的共同特征xp
5、x.例如，不等式 x-7 3的解集可以表示为xR x -7 3=xR x b a -b 0 ；a = b a -b = 0 ；a b a -b b ，那么b a ；如果b b.即性质 1 如果 a性质 2 如果 a性质 3 如果 a，那么a b b b b c，那么 a c .即a b ，b c a c. ba + c = b + c，那么.6 由性质 3 可得，a + b c a + b + (-b) c + (-b) a c -b .这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. b c 0ac bca b c 0 ，那么ac b c da + c b + d.， b 0 c
6、d 0，ac bd，那么. b 0n N n 2，那么a b （ ， ）.性质 7 如果 ann2.2 基本不等式1.重要不等式a ,bR，有a + b 2ab ，22= b当且仅当a时，等号成立.2.基本不等式 0 b 0，如果 a，则a + bab ，2= b当且仅当aa + b时，等号成立.叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：ab2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当 a ,b R时，有 a + b 2ab ， 2 = b当且仅当a（2）当 a时，等号成立. 0 b 0，时，有2 ab1 1+ab=
7、b当且仅当a时，等号成立.（3）当 a ,b R时，有 a + b a +b222， 2 2= b当且仅当a时，等号成立.4.利用基本不等式求最值7 x 0 y ， 0，那么已知xyPx = yx + yP（1）如果积 等于定值 ，那么当时，和有最小值2；1x + yS等于定值 ，那么当x = y xy时，积 有最大值S2.（2）如果和42.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系yyy二次函数y = ax + bx + c2xa 0（OOxx2有两相异实根ax
8、 + bx + c = 0b2x = x = -2a121212b2x x -R122(a 0 )的解集12第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念A BAf设 , 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 x ，按照某种确定的对应关系 ，By在集合 中都有唯一确定的的数 和它对应，那么就称f : A BA B为从集合 到集合 的一个函数，记作x A.y = f (x),8 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f (x) | x A叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集.2.区间：设a ,
9、是两个实数，而且a b，我们规定：b（1）满足不等式a x b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为a,b ；（2）满足不等式a x b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a,b)； x b a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：（3）满足不等式aa,b) , (a,b .或这里的实数a ， 都叫做相应区间的端点.b这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示x a x b闭 区 间ab xx a x bx a x bx a ，x a ，x b x b，+的实数x 的集合，用区间分别表示为a, ) ，(a, )+(-,b，(-,b).这些区间的几何表示如下表所示.定义符
10、号(-,+)0xxxxb9 xb注意：（1）“ ”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.-（2）以“”或“+ ”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.（2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直
11、观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.说明：将自变量的一个值 x 作为横坐标，相应的函数值 f (x ) 作为纵坐标，就得到坐标平00面上的一个点(x , f (x ) .当自变量取遍函数的定义域 A 中的每一个值时，就得到一系列这00= f (x)y = f (x)的图象在 x 轴上样的点，所有这些点组成的图形就是函数 y的图象.函数的射影构成的集合就是函数的定义域，在 y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.（3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初
12、中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.6.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如-x, x 02说明：分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.10 分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.（2）分段函数的
13、图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.3.2 函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.1.单调性与最大（小）值（1）增函数f (x) x x Dx x( ) ,f x f x设函数的定义域为 I,区间 D I.如果，当时，都有 ( )121212f (x)那么就称函数在区间 D 上单调递增.f (x)特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.yyy=f(x)f(x ) f x( )2( )f x112OOxx x2x
14、xx112（2）减函数f (x) x x Dx f x时，都有 ( ) ( )设函数那么就称函数特别地，当函数（3）单调性、单调区间、单调函数的定义域为 I，区 间 D I.如果，当,121212f (x)在区间 D 上单调递增.f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.y = f (x)y = f (x)在区间 D 上如果函数具有（严格的）单调性，区间 D 叫做如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y = f (x)的单调区间.f (x)（4）证明函数在区间 D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下：x
15、 , x Dx 1 *，且n N .如果 xn，那么 x 叫做 a 的n 次方根，其中n当 n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n 方根用符号 an表示.当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数 a 的正的 n 次- a方根用符号 a 表示，负的 n 次方根用符号n表示. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合n13 a 0）.并写成负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是 0，记作（ an0 = 0.n式子 a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.n关于根式有下面两个等式：( a) = a；nn, n为奇数aa =
16、 .nn a ,n为偶数.2.分数指数幂（1）正分数指数幂a = a （ amn 0n N * n 1， m ， ， ）.nm0 的正分数指数幂等于 0.（2）负分数指数幂11mn= 0 *， m ， n N ，n1）.a-（ amaamnn0 的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质= a 0 r sQ， ， a ar+ （ ar s）；s(a ) = a 0（ a， r ， s Q ）；rsrs(ab) = a b 0 0 ，r Q ）.（ a，brrr3. 无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当 x 是无理数时，a 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无
17、理数指数幂.当 xx的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近 x 时 ，a 和 a 都趋向于同一个数，这个数就是a .mnx 0所以无理数指数幂a （ a， x 是无理数）是一个确定的数.x（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ， ，均有下面的运算性质.s= a 0 r ， ， s R）； a ar+ （ ar ss(a ) = a 0 ， r ， s R）；（ arsrs(ab) = a b 0 0 ，r R ）.（ a，brrr4.2 指数函数1.指数函数的概念= a 01）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是 R .函数 y（ a，且
18、ax2.指数函数的图象和性质= a 0 1）的图象和性质如下表所示：，且a一般地，指数函数 y（ ax14 0 a 1yyy = a xy = ay = 1x图 象(0,1)(0,1)xOxOR(0,+)时，性 质RR（2）在 上是增函数（2）在 上是减函数4.3 对数1.对数的概念a = N (a 0,a 1)xaN，那么数 叫做以 为底 的对数，记作x一般地，如果x = log N.aaN其中 叫做对数的底数， 叫做真数.a 0a 1时， a = N x = log N.当，且2. 两个重要的对数（1）常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，并把xalog N 记为lg N.10e e
19、e = 2.71828log N（2）自然对数：以 （ 是无理数，）为底的对数叫做自然对数，并把e记作ln N.3. 关于对数的几个结论（1）负数和 0 没有对数；log 1 = 0（2）（3）；alog a =1.a4. 对数的运算a 0a 1 M 0 N 0， ， ，那么如果，且log (MN) = log M + log N（1）（2）；aaaMNlog= log M - log N；aaa15 log M = nlog M n R（3）n（）.aa5. 换底公式log blog b =a 0a 1 b 0 c 0 c 1，且 ， ， ， ）.（logcaac4.4 对数函数1. 对数函
20、数的概念y = log x a 0a 1一般地，函数（，且）叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是a(0,+).2.对数函数的图象和性质yy图象axO(1,0)xa定义域值域(0, +)R时，性质（2）增函数（2）减函数3. 反函数y = aa 0a 1）与对数函数 y = log x a 0，且a 1）互为反函指数函数x （，且（a数，它们的定义域与值域正好互换.y = x互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.4. 不同函数增长的差异y = log x a 1y = kx k 0（y = bx （b 1）、指数函数对于对数函数（）、一次函数a来说，尽管它们在(0,+)上都是增函数，但是
21、随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.y = log x a 1y = kx k 0（ ）增长其中对数函数（）的增长速度越来越慢；一次函数a16 = b （b 1）增长的速度越来越快.总之来说，不管 （ a 1），a的速度始终不变；指数函数 yxk （ k 0），b （b1）的大小关系如何，y b （b 1）的增长速度最终都会大大超过=xy = kx （ k 0=k 0=）的增长速度最终都会大大超过 y log x）的增长速度； y kx （a1（ a）的增长速度.因此，总会存在一个 x ，当 x x 时，恒有00b kx log x .xa4.5 函数的应用（二）1. 函数的零点与方程的
22、解（1）函数零点的概念= f (x)f (x) = 0y = f (x)的实数 x 叫做函数 的零点.对于函数 y，我们把使= f (x)f (x) = 0y = f (x)的图象与 x 轴的公函数 y的零点就是方程的实数解，也是函数共点的横坐标.所以= 0方程 f (x)有实数解=函数 y f (x) 有零点y = f (x)函数的图象与 x 轴有公共点.（2）函数零点存在定理= f (x) 在区间a,bf (a) f (b) 0，那如果函数 y上的图象是一条连续不断的曲线，且有= f (x) 在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c(a,b)，使得 f (c) = 0，这么，函数 y=
23、0个c 也就是方程 f (x)的解.2. 用二分法求方程的近似解对于在区间a,b上图象连续不断且 f (a) f (b) 0的函数 y = f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.= f (x)给定精确度e ，用二分法求函数 y零点 x 的近似值的一般步骤如下：0（1）确定零点 x 的初始区间a,b，验证 f (a) f (b) 0.0（2）求区间(a,b)的中点c .（3）计算 f (c) ，并进一步确定零点所在的区间：17 = 0=（此时 x c ），则c 就是函数的零点；若 f (c)0 0 0 =（此时 x
24、 (a,c) ），则令b c ；若 f (a) f (c)若 f (c) f (b)0=（此时 x (c,b) ），则令a c .0-b （4）判断是否达到精确度e ：若 a骤（2） （4）.e ，则得到零点的近似值a （或 ）；否则重复步b由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：实际问题函数模型解释说明实际问题的解函数模型的解这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型
25、；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制1.任意角B（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.OA射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.（2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.（4）终边相同的角18 aa所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合b b aS = | = + k 360,k Zaa即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍；象限角的表示：第一象限角的集合aa| k 360 90+ k 360,k Z第二象限角的集合