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1、第三章不等式3.1 不等式的基本性质.1 a-b3.2 基本不等式N 也 忘=(0,b 2 0).83.2.1 基本不等式的证明.83.2.2 基本不等式的应用.143.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式.193.3.1 从函数观点看一元二次方程.193.3.2 从函数观点看一元二次不等式.23第 1 课时 一元二次不等式及其解法.23第 2 课时 一元二次不等式的应用.293.1不等式的基本性质知识点1 不等式(1)不等式的定义用数学符号连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式.(2)关于心 b和a W b的含义 不 等 式 人 应 读 作：“a 大于或等于b”，其 含
2、义 是 或。=江 等价于“a 不 小 于,即若a 或a=8 中有一个正确，则 正 确.不等式a W 人应读作：“a 小于或等于匕，其含义是a。或 a=b,等价于“a 不大于Z?”,即若a b；即a b O a b；如果a一人等于0,那么a=b；即aZ?=0 0a三 人;如果ab是负数，那么心人；即a b0 a b,贝I 8 b b b,b c,则ac；（传递性）性质3：若a b,则a+c b+c；（加法保号性）性质4：若a b,c 0,则a c bc；（乘正保号性）若a b,c0,则ac b,c d,则a+c b+d；（同向可加性）性质6：若。匕0,c d Q,则a c M；（全正可乘性）性质
3、7：如果那么在出（“G N果.（拓展）提醒k不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础.（1）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件.（2）要注意每条性质是否具有可逆性.考点类型1利用不等式的性质判断和解不等式【例1】（1）对于实数a,b,c,给出下列命题：若 a h,贝！6TC2/?C2；若 a b a b b2-,若a h,则。2 抉；若a b0,则齐其 中 正 确 命 题 的 序 号 是.（2）求解关于无的不等式以+10（。金2,并用不等式的性质说明理由.对于，.只有c WO时才成立，不正确；对于，a/?；ab b
4、2,.正确；对于，若0。,则。2 -2,但（-1）2 （2）2,.不正确；对于，,.&/?b 0,/.（n）2（Z?）2,即/，序.K Va b Q,.J。，.a2-7 h2-y,正确.a b a b a b b a所以正确答案的序号是.(2)解 不等式G：+l O(aW R)两边同时加上一1得a x 1 (不等式性质3),当。=0时，不等式为0 1恒成立，所以x GR,当a 0时，不等式两边同时除以a得(不等式性质4),当a 0时，不等式的解集为(一5,+8),当a 0时，不等式的解集为(一8,一().成思领悟.S1 .利用不等式判断正误的2种方法直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性
5、质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.2 .利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准.因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集.I I类 型2利用不等式的性质比较代数式的大小【例2】已知x W l,比较3/与3 1 x+1的大小.解3X3-0,.(3 x2+l)(xl)W 0./.3/忘3/x+1.母题探究1.将本 例 中“x W l”改 为“x W R”，再比较3/与3/x+1
6、的大小.解 3 必一(3 1 x+1)=(3J?3 1)+(%1)=(3/+1)。-1),.3 f+l 0,当 x l 时，x1 0,3 3 3 一x+1.当 x=l 时，xl=O,：.3xi=3x2x+L当 x l 时，x1 0,/.3 x3 0,b 0，比 较 与 Ui的大小 解（作差法）（海）-冷法 一：(ab+方)+(a?+ab)ab 方+方2ah(a+b)ah(a+b)因为4 0 0,所以屋+方+廿ah(a+b)。所以鸿,”+1万法 二：（作商法）因为a0Q。，所以那与会同为正数,所以1,1a b (a+h)2 raba-b1(。+匕A cP+ab+b2即（。+力A、即，因 为 寿0
7、,所以5+另 七法三：（综合法）因为。0,b 0,所以。+力 0,所 以8十1（。+加=a b、a，,1.1 1丁=2+z+/l,所以厂.成 思领悟.1 .作差法比较两个数大小的步骤及变形方法（1）作差法比较的步骤：作差f变形f定号f结论.（2）变形的方法：因式分解；配方；通分；分母或分子有理化（针对无理式中的二次根式）；分类讨论.2 .作商法比较大小的三个步骤（1）作商变形；与1比较大小；(3)得出结论.提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数.3.综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：如.类 型3证明不等式【例3】若 ab09 cd0,e0,求证：广 思路点拨 可结合不等式的基本性
8、质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果.证明VcJd0.又 ab0,C.achJ0.:.(ac)2(bd)20.两边同乘以日二 志 二 不，得 一 7-.a-c b-d 证明VcJd0.Vab0,.,.acbd0,：.01 1a-c bd又evO,*a-cbd反 忠 领 悟利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.类型4利用不等式求取
9、值范围【例 4】已知1&4,2。8.试求2。+38与a-b的取值范围.思路点拨 欲 求 的 范 围，应先求一。的范围，再利用不等式的性质求解.解 V K4,2ZJ8,.22a8,63*24,.82a+3b32.2b8,8一/?2,又/la 4,1 +(8)a+(一份4+(2),即一7。一。2,故 82a+3b32,la b2.即2a+3。的取值范围为(8,32),a-b的取值范围为(一7,2).母题探究1.在本例条件下，求 f的取值范围.解 V 2Z?8,又 la4,.!f w 竽，.2W%+|y W10.即一2W3a2bW 10.所以3 a 2h的范围是 一2,10.法二：设 3 a-2h=
10、m(a+b)+n(a b )=(0）3.2.1 基本不等式的证明知识点1算术平均数、几何平均数与基本不等式（1）算术平均数与几何平均数对于正数a,b,我们把 审 称 为a,8的算术平均数，板 称 为a,b的几何平均数.（2）基本不等式如果a,是正数，那 么 旃 三等（当且仅当片上时，等号成立），我们把不等式、应 W与（a,匕N O）称为基本不等式.a+b思 考1.如何证明不等 式 旃W”（a,。2 0）?提示 因为a+A 2 1/=（3）2+（地 -2/p福=（或一也）2 2 0,当且仅当a b时，等号成立，所以 a+b 2 a b,所以也，当且仅当a=8时，等号成立.知识点2两个重要的不等式
11、+序若a,b R,则,一,即屋+/N2次?（当且仅当a=b时，等号成立）;卜当且仅当a=8时，等号成立）.思 考2.当外。满足什么条件时，2+/?2=2 a/?c+b la b?提示 当 a=b 时，a2+b2=2a b,a、0 G R 时/十2勿;.知识点3应用基本不等式求最值在运用基本不等式的W?求 最 值 时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”.一正：a,Z?是正数.二定：和a+b 一定时，由 旃 忘 皇 变 形 得 必 即 积 边 有 最 大值 券 ；积a b 一定时，由，方w g 变形得a+b 2a b,即和a十:有最小值三相等：取等号的条件都是当且仅当。=匕时，等号成立.考点类
12、 型1对基本不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程：因为a,8为正实数，所以）+花 2、快=2；因为 aR,aW O,所以因为“G R,孙V 0,所 以 评THM汴2一9=-2.其中正确的推导为（）A.B.C.D.B 因为db 为 正 实数,所以*称为正实数，符合基本不等式的条件,故的推导正确.因为aGR,“W O,不符合基本不等式的条件,所以+a 2 2 /4*a=4是错误的.a由孙V 0,得已!均为负数，但在推导过程中将整体+少是出负号后,y A y%x均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.成思领悟1.基本不等式旃 或 等 3 2 0,820)反映了两个非负数的和与积之间的关系.2.
13、对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a,。都是非负数.“当且仅当”的含义：当。=。时，砺 三 等 的等号成立，即a=b今 空=-a h；仅当。=人时，记的等号成立,即生产=g=a=Z?.类型2利用基本不等式比较大小【例 2】已知 z=a+S(a2),H=(-+)+5(a,Z?e(0,+),试比较加、的大小.解=+占=（-2）+3+2,Va 2920,.J.。,=a-2+六+222小-2）.号+2=4,当且仅当。-2=占时等号成立,此时(2 =3./.7724.=-(X I+5 W 2疆+5=3,当且仅当a=Z;时等号成立.综上/%.1.反思领悟.1.在理解基本不等式
14、时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a+b22的 成 立的条件是。2 0，。2 0,等号成立的条件是。=6/+铲 2 2 成立的条件是a,eR,等号成立的条件是a=8.1 3 类型3利用基本不等式证明不等式【例3】已知a,b,c是互不相等的正数，且a +b+c=l,求证：鸿 十 思路点拨 看到（+：9,想 到 将 1 换 成 a+b+c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明.证明 因为a,b,c是正数，且a+b+c=l,“1,1,1 a+0+c ,a+/?+c ,a+O+c所以 一+7+-=-4-4-a b c a b c=3 4-
15、2+2+2=9.当且仅当a=/?=c时取等号，又因为a,b,c互不相等，所以5+:+：9.母题探究本例条件不变，求 证:（m）L 证明 因为a,b,c是正数，且a+匕+c=l,力+c a+c a+Z?一 a b c/a hc=8,当且仅当a=Z;=c时取等号,因为a,b,c互不相等，所以g-1 8.1.辰 思 领 悟.1.条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系.2.先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为符合待证的不
16、等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.口 类 型 4利用基本不等式求最值12【例 4】当x0时，求二十以的最小值;12（2）当x l时，求 2尤+不 的最小值；(4)已知4x+f(x0,。0)在x=3 时取得最小值，求a的值.12 解(l)Vx0,.y0,4x0.当且仅当不=4 x,即=小时取最小值8小,12当x0时，-y+4x的最小值为8小.（2）Vx0.则 匕+（一旬 2 2yJ 当（一 4x）=8小，19当且仅当二7=一我时，即工=一小时取等号.，型+4xW8小.1 9.当x l,.*.x-1 0,o.2 x 4-j-2 X 2 4+2=1 0,4当且
17、仅当x l=-，即x=3时，取等号.X.当x l时，2r+/7的最小值为1 0.X 1(4)4犬+三2 2当且仅当4 x=f,即4=4*2=3 6时取等号，:。=3 6.厂.废 思 领 悟.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.3.2.2基本不等式的应用知识点基本不等式的应用1.基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建
18、立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.条件变形，进 行“1”的代换求目标函数最值.1 41.已知。0,/?0,a+b=2,则 的 最 小 值 是()7A.2B.49C.2D.5,a+bC*：a+b=29短=七+款 空=1+华+如1+2再4当 且 仅 当 空=/，即。=2。时，等号成立.49一22.应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)(3)解题注意点设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函
19、数的最值.在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解.考点类 型1利用基本不等式变形求最值【例1】(1)已知x 0,0，且：+3=1，求x+y的最小值；设a Z?O,求 +(+布 药的最小值.1 9 解(1)法一：.”0,y 0,-+-=1,尸 牛 +1。2 6+1 0=1 6,当 且 仅 当 常，1 9又;:十二=1,即x=4,y=1 2时，上式取等号.x y故当 x=4,y=1 2 时,(x+y)m i n=1 6.1 9法二：由1+q=l,得(九一1)。-9)=9(定值).1 9由 一x+-y=1 可知 x l,，/y,9,：.x+y=(x-1)+(y-9)+1
20、02正 一1)&-9)+1 0=1 6,当且仅当X 1=3；9=3,即x=4,y=1 2时上式取等号，故当 x=4,y=1 2 时，(x+y)m i n=1 6.(2)因为 a b Q,所以 a b 0,a2a b 0,则 序+9+”(“)/,)=(/-昉)+7 +曲2、l(a 2 ab)x/嬴+2 嗝*=4,当 且 仅 当 层 一 必=户 匕 且 七=血 即。=啦，人=坐时取等号./+4+丁 J的最小值为4.a b a(a h)母题探究若将本例(1)中条件换为：x 0,y 0且 2 x+8 y=x y,求x+y 的最小值.解 法一：由 2 x+8 y 孙=0,得 y(x 8)=2 x.2xV
21、 x 0,y 0,/.%8 0,y=_Q,X-o.2x(2 x 1 6)+1 6.x+y)=x+x-8o=x+x-8=U-8)+1 0 2 /(X-8)X +1 0=1 8.当且仅当x 8=X，即x=1 2 时，等号成立.X-o的最小值是1 8.法二：由 2 x+8 y 一封=0 及 x 0,y 0,得 牢=1.x y.*.x+y=（x+y）（；+1=+10221 迎 空+1 0=1 8.x y x y当且仅当货=2，即x=2 y=1 2 时等号成立.x y.x+y 的最小值是1 8.成 思领悟.s1 .基本不等式常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项.b常见形式有y=a
22、 x+1（积定）型和y=a x S 一词（和定）型.2 .多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围.3 .两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到.1 3 类型2 利用基本不等式求参数取值范围【例 2】（1）已知函数y=J t+f+2 的值构成的集合为（-8,0 U 4,+8）,则a 的值是（）A-2B-2C.1 D.2F-1-6 Z X-1-11(2)已知函数y：1南 一(aW R),若对于任意的xCN*,y 2 3恒成立，则a的取值范围是.(1)C(2)-1,+j 由题意可得4 0,当 x0 时，.*x)=x+f+2 2 2 g+2
23、,当且仅当x=g时取等号；当 x一(x+,)+3.设 z=x+，xWN*,则z=x+-2 4“，当x=2也时等号成立，又x=2时z=6,又x=3时z=r.X-J故a的取值范围是一*+8).厂.成 思 领 悟 .含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.D类 型3利用基本不等式解决实际问题【例3】“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中
24、，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量。万件(生产量与销售量相等)与推广促销费X 万元之间的函数x 1关系为。=(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2(。+号万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为(2+落元/件.那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润=销售额一成本一推广促销费)解 设该批产品的利润为y,由题意知y=(2+色.Q-2(Q+9-X2 2=2 Q+2 0 2Q一Q一 元=2 0 一Q-x4 r 4 -=2 0 Wfx=2 1 T 7+(A:4-1),0 .X 1 _ x
25、 _ r i _4 12 1 干+。+1)产 2 1 2 5=1 7,当且仅当x=l 时，上式取“=”，*当 X=1 时，ym a x=1 7.即当推广促销费投入1 万元时，利润最大为1 7 万元.厂.思领悟.在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1 从函数观点看一元二次方程知识点1 二次函数的零点一般地，一元二次 方 程 加+笈+。=0(
26、4#0)的根就是二次函数y=a x2+bx+c(a#0)当函数值取零时自变量x的值,即二次函数y=a x2+bx+c(a W O)的图象与x轴的交点的横坐标,也称为二次函数(a W O)的零点.思考、二次函数一定有零点吗？提示 当二次函数的图象与x轴不相交时，二次函数无零点.提醒鼠函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与X轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的X的值，也是函数相应的方程相异的实数根.知识点2 函数零点的探究当 a 0 时，一元二次方程7 =炉+2 +1 的 零 点 为()判别式/=序-4QC/0J=0J 0)的根有两个相异的实数根处,2 =1 旦/-4 a c2a有两
27、个相等的实数根b孔2=一五没有实数根二次函数y=o?+法+c(a O)的图象l:/VQ X=X2 XVo 1 r二次函数y=a x1+b x+c(a 0)的零点有两个零点乱2 =-bl?-4 a c2a有一个零点=二b2 a无零点A.1C.-1B.2D.2C 令y=0得，f+2 x+l=0,解得=一1,二次函数=/+2+1的零点为-1.考点 类 型1求函数的零点【例1】求下列函数的零点.(l)y=3 x2lx 1 ；(2)y=a jr-x-a一 1(G R)；(3)y=a x2+bx+c,其图象如图所示.思路点拨(1)直接解出相应方程的根.(2)对于二次项的系数a分。=0,aWO两类进行讨论，
28、当aWO时，还要比较两根的大小.(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标.解 由3一2 x 1=0解得x i =l,X 2=一所以函数y=3 f 2 x 1的零点为1和一去(2)(i)当a=0时，y=-x 1,由一x 1 =0得x=1,所以函数的零点为-1.()当。/0时，由 a x2x a 1=0 得(以一a l)(x+l)=O,解得 x i =十1X2=.a 1 2。+1又 丁 一(一1)=丁 当a=-g时，x i=X 2=1,函数有唯一的零点一1.a+1 当aW3且a W O时，x i#X 2,函数有两个零点一1和 a综上：当a=0或一/时，函数的零点为一1.当aW3且a*。
29、时，函数有两个零点一1和生:.(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为一1和3,所以该函数的零点为一1和3.厂.废 思领悟.1 .求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点.2 .函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点.3 .求含有参数的函数y=a x2+b x+c的零点分类讨论的步骤(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数.若可以因式分解，则一定存在零点.(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等.类型2函数的零点个数的论证与探究【例2】若a 2,
30、求证：函数y=(a 2)*2(a 2)x 4有两个零点.思路点拨 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程m2)f2(2)%4=0有两个不相等实数根.证明 考察一元二次方程(a 2)/2(a 2)x 4=0,因为/=4(a 2)2+1 6(a 2)=4(a 2)(a+2),又a 2,所以/0,所以函数/=(a 2)*2 2(a 2)x 4有两个零点.母题探究求函数y=(a Z)X22 一2)X 4有零点的充要条件.解(必要性)因为函数)=(a 2)/2(a 2)x 4有零点，当a=2时，方程(。一2)/2(。一2 一4=0无解.函数无零点；当aW2时，因为函数旷=(a-2)x2-2(a-
31、2)x-4有零点，所以方程32)/一2 3 2-4=0 有实数根.所以1=4(a-2)2+1 6(a-2)=4(a-2)(a+2)e 0,即 2或aW2,所以函数y=(a-2*2(。-2)%4有 零 点,则a 2或a W-2.(充分性)当a 2或aW2时，对于方程(a 2)/一2(a 2)x 4=0,/=4(a 2 +1 6(a 2)=4(a 2)(a+2)2 0,所以函数y=(a 2)/2(a 2)x 4有零点.综上，函数y=(a-2)x2 2(a 2)x4有零点的充票条件是a 2或a W 2.厂.应思领悟.二次函数y=a?+b尤+c(a W 0)的零点的论证对于一元二次方程a x 2+x+
32、c=0(a W 0)的根的判别式A =b1-a c.(1)/0 0函数=加+陵+仪。)有两个零点.(2)/=0 0函数=加+以。/。)有一个零点.(3)/0台 函数 y=a f+Z?x+c(a W 0)无零点.类 型3二次函数的零点分布探究【例3】(1)判断二次函数y=-?2x+l在(一3,2)是否存在零点；(2)若二次函数y=(a 2)/2(a 2)x-4(a#2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围.思路点拨(1)直接求出函数的零点，再加以判定.(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究.解(1)由/2x+1 =0 得 xi 1 +/2,X 2=-1 y 2,因为一3 一
33、1/2=(a-2)x22(a-2)x4的两个零点均为正数，所以(。一2)9一2 5一2一4=0有两个不相等的正实数根.显然a W 2.由一元二次方程的根与系数的关系得 0,-2(a-2)X I +X 2=7 77-=2 0,(a -2)-4X1X2=7 0,I a 2a 2 或 a 2,即 a2,所 以a 0,(1)0,台 函数 y=%2+/；x+c(a W O)有两个正零点.O件 0,(2)X I+X2=加+法+以。7。)有两个负零点.l x i X 2 0O x i x z v O 0函数了=公+云+或/。)有两个异号零点.2.二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便.3.3.2从
34、函数观点看一元二次不等式第1课时 一元二次不等式及其解法知 识 点1 一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2_的整式不等式，叫作一元二次不等式.思 考1.不等式如一y 2()是一元二次不等式吗？提 示 此 不 等 式 含 有 两 个 变 量，根 据 一 元 二 次 不 等 式 的 定 义，可知不是一元二次不等式.知 识 点2三 个“二 次”的关系设二次函数+b x+c(a 0),一 元 二 次方程 a x2+/?x+c=0.思 考2.若 一 元 二 次 不 等 式 以2+%+1 0的 解 集 为R,则 实 数a应满足什么判别式/=-4 a c/0J=0J 0方程a x2
35、-bx+c=O 的根有两个相异的实数根XI,X2(X1=加+法+。的图象必Vo|跆叼4义a x 1+b x+c X)的解集(8,X I)U(X2,+8)(二 皋 v)Ra x2+b x+c 0的解集为a 0,1/、R 则解得/，所 以 江 匕+8)使 不 等 式 小+、+1 的解集为R考点类 型1 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式.5 x 6；(2)4-I W O；(3)-/+7x 6；(4)2/+3 x 2 6 得 x25 x 60,方程%25 x 6=0 的解为 x i =-1,X 2=6.根据y=x 2 5 x 6的图象.可得原不等式的解集为 x|x 6或x 1 .(2)方程4
36、1 4 x+1 =0有两个相同的解x i =X 2=；.根据y=4/-4 x+1的图象可得原不等式的解集为(3)不等式两边同乘以一1,得 27x+6 0.方程f7x+6=0 的解为 x i=6,X 2=1.根 据)=/-7x+6的图象，可得原不等式的解集为 月1令 0,因为/0,所以方程2_?3彳+2=0无实数解.根据y=2/3 x+2的图象，可得原不等式的解集为R.厂.成 思领悟.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据
37、判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.类 型2含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于x的不等式a x2-(a+l)x+l0.思路点拨 对于二次项的系数a是否分a=0,l.当aWO时，原不等式可化为(如一1)。-1)0.当。0时，不等式可化为(x(xl)0,V-al.当a0时，原 不 等式可 化 为1 )O.若!1,则若(=1,即 a=l,则 xG。；若(1,即 0。1,则 la ：.综上所述，当a1当a=0时，原不等式的解集为国光1;当0al时，原不等式的解集为，14 时，原不等式的解集为二.近 思
38、领 悟.-解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.类型3三 个“二次”的关系【例3】已知关于尤的不等式a +b x+o O的解集为 x2 x 3 ,求关于x的不等式。/+法+。0的解集.解 法一：由不等式af+bx+c,。的解集为 x2 r 3 可知，。0,且2和3是方程o x2+bx+c=o的两根，由根与系数的关系可知/=5,=6.由a 0知c 0,即 2*+*0,解得x 3，所以不等式e x2+bx+a 0的 解 集 为 x 1或X；法二：由不等式t u 2+x+c。的解集为 x2 x 3 可知，a 0,且2和3是方程
39、a x2+b x+c=0 的两根，所以 a x2+bx+c=a(x2)(x3)=a x15 a x+6 a b=5 a,c=6 a,故不等式 cf+bx+aV),即 6加一，0的解集.h 解 由根与系数的关系知=-5,二=6且a 0.,.c 0,=故不等式 cf 云+。0,即 f%+%。,即 f+云+焉 。.解 得X1 1-2 J C -32.（变条件）若将本例中的条件“关 于x的 不 等 式a+b x+o O的解集为324 3”变 为“关于x的不等式以2+bx+cN 0的解集是卜一；WxW2”.求不等式c +b x+a Q的解集.解 法一：由 加+/?x+c20的解集为k知4Vo.又（一寸义
40、2=0.又一；，2为 方 程 加+云+=0的两个根，qC 2.,5 2又，=-Q,b=-qa,c=a,二.不等式变为（一/7?+。V ，即 2加+5。工-3a0.又 （）,A2X2+5X-3 0,所求不等式的解集为卜-3 x 0,设方程。/+云+。=0的两根分别为XI,X2,则 Xl+X2=g,Xl-X2=p.*.xi=-3,九2=；.;不等式 cx1+b x+a 0 的解集为卜1 3x 0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把乩c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约 去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.第2课
41、时 一元二次不等式的应用知 识 点1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式a x+b,0(0(0去二：a x+b)(cx+d)0(6 z x+Z?0)cx+J 0：0)a x+b cx+dVV去一：QX+2 0(W0)或 0去二：(ar+b)(cx-d)N 0(ax+Z?W 0(2 0)cx+J 0W O)cx+产k非零实数)f0等价吗？将 吊 0 变形为(X 3)(x+2)0,有什么好处？提示 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.知识点2与一元二次不等式相关的恒成立问题(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件(2)有关不等式恒成立求参数的
42、取值范围的方法不等式aj+bx+oOcv+bx+c。=0b=0,c0b=0,c0/0a0/0 的解集有什么关系？提示%10在区间 2,3 上恒成立的几何意义是函数=%-1在区间 2,3上的图象恒在x 轴上方.区间 2,3 内的元素一定是不等式*一10的解，反之不一定成立，故区间 2,3 是不等式x-l 0 的解集的子集.知识点3从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系.(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).(3)解不等式(或求函数最值).(4)回扣实际问题.3.用一根长为100 m 的绳子
43、，围成一个一边长为x 米，面积大于600 m2的矩形，则 x 的取值范围为.(20,30)设围成的矩形一边的长为x m,则另一边的长为(5 0-x)m,且0 x600,即/-50 x+6000,解得 20r30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 n?的矩形.考点类 型1分式不等式的解法【例1】解下列不等式:2x+1一。;2x+l=2.2尤 _|_ _ 解(1)不等式幺三()可转化为(2x+l)(x3)0,即一为x3.原不等式X J N的解集为1x39 Y+1 3x-2(2)原不等式可化为-一一1 2 0即 不 一20.不等式等价于(3L2)(X_3)W
44、 0.xW32解得 Wx3.2.原不等式的解集为卜1.思领悟.1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.类 型2 元二次不等式的应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品机吨.按规定，农户向国家纳税为：每 收 入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收
45、总收入不低于原计划的7 8%.思路点拨 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8 x)%;“收购量能增加2%个百分点”，此时总收购量为机(1+2尤 )吨，“原计划的7 8%”即为2400z X 8%X 7 8%.f解 设税率调低后”税收总收入”为y元.y=2 400w(l+2x%).(8-x)%1 2=一不加(记+42兀-400)(0 x W8).依题意，得 y，2400z X 8%X 7 8%,1 2即一天机(/+42X-4 0 0)2 2 400/X 8%X 7 8%,整理，得/+42X 8 8 W 0,解得一44Wx W2.根据x的实际意义，知0r W8,所以x
46、的范围为(0,2.反 忠 领 悟.-解不等式应用题的步骤类 型3不等式恒成立问题【例3】若函数y=%2-以一3在 3,-1 上恒有/-奴一30恒成立.求。的取值范围.尝 试 与 发 现结 合 图 象 说 明 对 3,1 上恒有A2a x 30的意义是什么？提示 当x G 3,1 时函数图象在x轴下方.解 要使x2a x 30在 3,1 上恒成立，则必使函数y j r2or 3在 3,1 上的图象在x轴的下方，由函数y=f一分-3的图象可知，此时,应满足(3)2+3t z30,3a+6 0,、即,l(-l)24-a-30,U-20,解得a-2.故当。6(8,2)时，有for 30在大 -3,1
47、时恒成立.母题探究若函数y=/+2(a 2)x+4对 任 意 31 时，y 0恒成立，如何求x的取值范围？解 由于本题中已知。的取值范围求x,所以我们可以把函数y=/U)转化为关于自变量是。的函数，求参数x的取值问题，则令y=g(a)=2r a+x 2一叙+4.2 x+f 4X+40要使对任意y 0恒成立，只 需 满 足14 n1(3)X 2x 十廿一4x +40,-2%+40,即V r x2 1 0 x+40.因为-2%+4 0的解集是空集，所以不存在实数x,使函数y=/+2(a-2)x+4对任意a W -3,l ,y 0；伍0,当“W 0时，I J O.2.不等式加+云+c 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a=O时，b=O,c 0；,aQ,当a#O时，I z KO.3.y W a恒成立台aM(函数的最大值为M),y a恒 成 立 函 数 的 最 小 值 为in).