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1、高中数学新教材人教（2019）版必修第一册知识点与公式大全第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及其表示1 集合的含义及表示2 空集的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集*结论 含有个元素的集合，其子集的个数为，真子集的个数为3集合的基本运算 在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍） *结论 （1） , （2） 4充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.5全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一
2、个，任给，用符号“”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“”表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：xM，p(x)(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：x0M，p(x0)（4）全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”（5）存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”第二章 一元二次函数、方程、不等式1.一元二次不等式的概念及形式(1).概念：把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(2).形式：ax2bxc>0(a0)； ax2bxc0(a0)
3、；ax2bxc<0(a0)； ax2bxc0(a0)2.三个“二次”之间的关系：设f(x)ax2bxc(a>0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式b24ac>00<0解不等式f(x)>0或f(x)<0的步骤求方程f(x)0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1x2没有实数解画函数yf(x)的示意图得不等式的解集f(x)>0x|x<x1或x>x2x|xRf(x)<0x|x1<x<x23.分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.解法：等价转化法解分
4、式不等式>0f(x)g(x)>0，<0f(x)·g(x)<0.4.基本不等式(或)均值不等式：基本不等式的变形与拓展1(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）2(1)若,则；(2)若,则（当且仅当取“=”）；(3)若,则（当且仅当时取“=”）3若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）4若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）5一个重要的不等式链：第三章函数的概念与性质3.1函数与映射的相关概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确
5、定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xAf：AB注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)
6、构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.3.2函数的三要素（1）函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0.（2）函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是yf(x)的形式，可
7、根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.（3）函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数ykxb(k为常数且k0)的值域为R.(2)反比例函数(k为常数且k0)的值域为(，0)(0，)(3)二次函数yax2bxc(a，b，c为常数且a0)，当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.求二次函数的值域时，应掌握配方法：.3.3分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子
8、来表示，则这种函数称为分段函数分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数3.4函数基本性质1函数的单调性（1） 定义： 设那么: 上增函数； 上减函数.（2） 判定方法：定义法(证明题) 图像法 复合法（3） 定义法：用定义来证明函数单调性的一般性步骤： 设值：任取为该区间内的任意两个值，且 做差,变形，比较大小：做差，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方法变形比较大小 下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）（4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，对勾函数（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：
9、增+增=增： 增减=增：减+减=减：减增=增 若函数在区间为增函数，则，在为减函数（7）单调性的应用：求值域；解不等式；求参数范围；比较大小.特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”只能用“和”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示2 函数的奇偶性 （1）定义：若定义域关于原点对称若对于任取x的，均有 则为偶函数若对于任取x的，均有则为奇函数 （2）奇偶函数的图像和性质 偶函数 奇函数函数图像关于轴对称函数图像关于原点对称整式函数解析式中只含有的偶次方整式函数解析式中只含有的奇次方在关于原点对称的区间上其单调性相反在关于原点对称的
10、区间上其单调性相同偶函数=f(|x|)若奇函数在处有定义，则（3）判定方法：定义法 （证明题） 图像法 口诀法 （4）定义法: 证明函数奇偶性步骤： 求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件） 由出发，寻找其与之间的关系 下结论（若则为偶函数，若则为奇函数函数） 口诀法： 奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数 奇函数奇函数偶函数： 奇函数偶函数奇函数：偶函数偶函数偶函数具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。第四章 指数函数与对数函数4.1 指数与指数函数（1）根式概念：式子叫做根式，其中n叫
11、做根指数，a叫做被开方数.性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|（2）分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.（3）指数函数及其性质概念：函数yax(a>0且a1)叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.指数函数的图象与性质a>10<a<
12、1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0，1)，即x0时，y1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(，)上是增函数在(，)上是减函数4.2 对数与对数函数（1）对数的概念如果axN(a>0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a>0，且a1).(2)对数的运算法则；如果a>0且a1，M>0，N>0，那么； ；(nR)； .(3)换
13、底公式：(a，b均大于零且不等于1).（3）对数函数及其性质(1)概念：ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.3 幂函数(1)幂函数的定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函
14、数在(0，)上都有定义；当>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减.44 函数的应用1.函数零点的定义一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.重点强调：零点不是点，是一个实数；2.零点存在性定理如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.3.二分法二分法求零点：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进
15、而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若·<，则令=（此时零点）；若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤24.注意：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.第五章 三角函数1. 角的概念 1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类角的分类3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成
16、一个集合：S|k·360°，kZ2.弧度制及应用1弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2弧度制下的有关公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1° rad；1 rad°弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫做的正弦，记sin 叫做的余弦，记cos 叫做的正切，记tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4.同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系(
17、1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan 2同角三角函数基本关系式的应用技巧5.三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上是递增函数，(kZ)上是递减函数在2k2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是
18、2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(kZ)对称中心是(kZ)7.函数yAsin(x)的图象1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五点是：(0,1)，(，1)，(2，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)2函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)振幅周期频率相位初相(A>0，>0)ATf3.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx2yAsin(x)0A0A08 三角恒等变换1、同角三角函数的基本关系式 ：，=，2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3、和角与差角公式 . 4、二倍角公式及降幂公式 . =(辅助角所在象限由点的象限决定, ).9