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1、第一章预备知识1 集合.11、集合的含义.12、集合的表示.43、集合的基本关系.94、交集与并集.125、全集与补集.162 常用逻辑用语.191、必要条件与充分条件.192、全称量词与存在量词.233 不等式.271、不等式的性质.272、基本不等式.324 一元二次函数与一元二次不等式.361、一元二次函数.362、一元二次不等式及其解法.433、一元二次不等式的应用.471集合1、集合的含义知 识 点1元素与集合的相关概念1.集合：把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母4 B,C,表小.2.元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,表示.3.集
2、合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同,也 就 是 说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性,互异性,无序性.知识点2元素与集合的关系1.属于：如果元素a在集合力中，就说元 素a属于集合力,记 作a d屈2.不属于：如果元素a不 在 集 合/中，就说元 素a不属于集合4记作避A.思考元素与集合之间有第三种关系吗？提示 没有，对于一个元素a 与一个集合/而言，只有“a S 与 甜4这两种结果.知识点3 常见的数集及符号表示思 考 N与N+（N*）有何区别？数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号NN,或 N*ZQRR.提示 N+（N*）是所有正整数组成的集合，而N
3、是由0 和所有的正整数组成的集合，所以N比N+（N*）多一个元素0.疑难解惑 类型1 集合的概念【例 1】下列给出的对象中，能构成集合的是（）小于0的所有实数；与0 非常接近的实数；中国著名的高等院校；中国双一流的高等院校A.B.C.D.C“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.厂.反G 领悟.A判断所描述的对象构成集合的标准判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合.在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性.口 类 型 2 元素与集合的关系【例 2】（1）下列所给关系正确的个数是（）J I GR
4、；OWN*；|一5|建 N*.A.1B.2C.3D.4（2）已知集合力含有三个元素2,4,6,且当有6 4那么a为（)A.2B.2 或 4C.4 D.0(D B (2)B (1)n是实数，/是 无 理 数，0 不是正整数；I 5 1=5,5 是正整数，则正确，故选B.(2)由题知，a=2 W 4 6 a=4 W 4 a=2 或者 a=4 e/,6 a=2 W 4,.,.a=4,综上知,a=2,4.故选B.1.反 C 领悟.一1 .判断元素与集合关系的2 种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元
5、素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2 .已知元素与集合的关系求参数的思路当 a W/时，则 a 一定等于集合4中的某个元素.反之，当前/时，结论恰恰相反.利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.I I 类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集合4 含有两个元素a 和a ,则实数a的 取 值 范 围 是.a W O 且 a W l 因为力中有两个元素a 和才，所以a W a?,解得a W O 且 a WU 母题探究本例若加上条件“ie 4”，其他条件不变，求实数a 的值.解 若 164
6、则 a=l 或才=1,即&=1.当 a=l 时，集合/有重复元素，不符合元素的互异性，a#1；当 a=-l 时，集合力含有两个元素1,一1 符合元素的互异性.1=-1.反 c 领悟,.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3 个步骤/求 解）T根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值|/检 验 讪 据 集 合 中 元 素 的 互 异 性，对解出的值进行检验|/作 答 彳 厂写生所有符合题意的字母的取值 a+3=3 fa+37 3,0或 1 V 3e/1,：.或 彳 解得：。=0 或 a=L 2 a I 1 3 213 I 1 3,2、集合的表示知识点1列举法把集合中的元素一一列举出来写在
7、花括号“把内表示集合的方法，一般可将集合表示为 a,b,c,.思 考 一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？提示 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如：a,6 与 B，a表示同一个集合.知识点2描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为 X及X的范围1 x满足的条件,即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“I”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.思考 集合4=x|xl =o 与集合B=表示同一个集合吗？提示=x|x-1=0 =1 与集合8表示同一个集合.知识点3集合的分类1 .有限集：含有有限个元素的集合.2 .无限集：含有无限个元
8、素的集合.3.空集：不含任何元素的集合,记作巴思考氐 0 与。相同吗？提示 不同.0 表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而。表示空集，其不含有任何元素，故 0 与。不相同.知识点4 区间及相关概念1.区间的概念及记法设 a,8 是两个实数，且水6,我们规定:2.无穷大实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”，“一8”定义名称符号数轴表示x a&xbI闭区间 a,b0 bxx axa(a,+0)-U_.a x3 x W b(-8,b_ ub xxx0,y 0 .(3)偶数可表示为2 ，“W Z,又因为大于4,故23,从而用描述法表示此集合为 x|x=2 ，且2 3 .
9、反 领悟.描述法表示集合的2 个步骤写代表元素明确元素的特征:分清楚集合中的元素是点还是数或是其;他的元素:将集合中元素所具有的公共特征,写在竖:线的后面注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.U类 型 3 用区间表示集合【例 3 将下列集合用区间及数轴表示出来：(1)U IX 2)；(2)x|x2 3 ；(3)x|一1 Wx0,解 得 且 在WO.2.（变条件）若集合4中至多有一个元素，求A的取值范围.解 当集合力中含有1个元素时，由例4知，4=0或4=1；当 集 合 力 中 没 有 元
10、素 时，方 程 加 一8%+16=0无 解，即4 7 0,-4=-8 24XAX16V0,解 得 力1.综上，实 数4的取值集合为 用4=0或421.厂.反 领 悟.集合与方程综合问题的解题策略（1）对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程a f+c=O,当a=0,6W0时，方程有一个解；当aWO时，若4=0,则方程有两个相等的实数解；若/又 X,X=2A+1,AZ/X|X=+2,e z ,所以力建笈厂.反廊领悟.-判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间
11、的关系.(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系.一般地，设4=x|p(x),B=x q ,若由2(x)可 推 出q(x),则力U 6；若 由q(x)可推出0(x),则 医4若夕(x),q(x)可互相推出，则 力=8；若由p(x)推不出g(x),由q(x)也推不出p(x),则集合4 6无包含关系.(3)数形结合法利用数轴或V e n n图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法.I I 类型2子集个数问题【例 2】已知 1,2 屋 恒 1,2,3,4,5 ,试写出满足条件的所有集合M.解 集合
12、.含有元素1,2,且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有 3 个元素：1，2,3 ,1,2,4 ,1,2,5 ；含有 4 个元素：1,2,3,4 ,1,2,3,5 ,1,2,4,5)；含有5 个元素：1,2,3,4,5),故满足条件的集合 共有上述7 个集合.反廓领悟.-求集合子集、真子集个数的3 个步骤I I 类型3 集合间的关系的应用【例 3】已知集合 4=x|-2W x W 7 ,8=x|/z?+l V x V 2 加 一1 ,且医求实数力的取值范围.解 当8=。时，有加+1 2 2 加-1,得加W 2,j ffH 1 2 2,当后0 时，有 2z 1 W
13、 7,Iz z 7+l 72.若 将 本 例 中 的“力=x|-2W x W 7 ”改为“力=x|xW 2,或x27“，其他条件不变，求实数加的取值范围.解 当8=。时，有/122加 一 1,得加W2,(勿+1 V2 加 一L当 今。时，有2m 1W 2,/勿+1V2 勿 1,或 K+1 2 7,解 得 心6,综上得加 2 或 m26.厂.反c 领悟.由集合的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点.注意：(1)不能忽视集合为。的情形.(2)
14、当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.4、交集与并集知识点1交集文字语言一般地，由既属于集合/区属于集合6 的所有元素组成的集合，叫作集合力与6 的交集，记作力n 6 读作“/交 6”符号语言图形语言金运算性质ACB=B_A,4 n 4=4 力 0 0=0 门4=9(4C 而(4PI而JB,AQ BAHB=A思 考(1)当集合4 8 无公共元素时，/与 8 有交集吗？若/A 8=4 则力与8 有什么关系？提示(1)有，交集为空集.(2)若 40 6=4 IJ IiJ AQ B.知识点2并集文字语言一般地，由所有属于集合/或属于集合8 的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记 作/U 6 读
15、 作“/并 8”符号语言图形语言A JB运算性质A U B=BU A,AU A=A,A U 0=0 U A=A,AQ (AU 9 住(/UB),AQ g A UB=B形.如图,.-1 0 2 4 X所以 x|-1 W x W 2 A x0 W x W 4 =x 0 x 2 .(3)因为 8=3 X 2+2；14 =3 X 4+2,所以 4 C8=8,14 .厂.反廓领悟.1.在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助V en n 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时要用V en n 图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍.2 .恰当地运用交集的
16、交换律与结合律，可简化运算过程.类型2 并集运算【例 2】设集合 4=x|/+2 x=0 ,8=X|/_ 2X=0 ,则 4 U 8=()A.o B.0,2 C.-2,0 D.-2,0,2 已知集合 M=3 x W 5 ，N=x x 5 ,则 MU/V=()A.%|5,或x 一3 B.C.-3 矛 5 D.已知集合=1，4,x ,B=h件的实数x的 个 数 为()A.1B.C.3D.(1)D(2)A(3)A (1)因 为/=0 x|-5 矛 5 x|矛 5 ，且/U 8=1,4,x,则满足条24-2 ,8=0,2 ,所以”6=2,0,2).(2)如图，在数轴上表示两集合,-6 1 6*1 1-
17、5-3 0 5 4所以机J A=x：*3 .(3)由4 U8=1,4,/,得才=系，又 x W l,所以x=0.r.反G领悟.在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算.口 类 型 3 由集合的并集、交集求参数【例 3】已知集合=3 x W 4 ,集合 8=x|A+l W x W 2 4 1,且/U 8=4试求4的取值范围.解 当8=0 时，即4+1 2 在 一 1时，k2,满足4 U 8=4 当 今 0 时，要使4 U 6=4C-33),8=X|4WXV 6,求成 解 因为4=x|2x
18、W3,M=x x 3,如数轴:所以=/U(/)=x x2,所以用=x2QK4或4 6 .厂.反卵领悟.求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.口 类 型2交、并、补的综合运算【例2】设全集为R,A-U|3 X 7,5=U|2 X 1 0,求式/U百及(M CB.解 把全集R和集合48在数轴上表示如下：由图知，ZU8=x|2K10,bC4U=U|*W2 或 10,R/=x1 x3 或 x 2 7,.（4）0 8=32/3 或 7 W 求1 0 .厂.反G领悟.解决集合交、并、补运算的技
19、巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于V e n n 图来求解.（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.类型3 补集及补集思想的应用【例 3】设全集=R,/=x|x+心 0 ,8=x|2 矛 4 ,若（C M 0 6=0,求实数加的取值范围.解 法一：/=x x+成0 =x|x 一加,Y （M C8=0,Z Z U .I.-m-2 0 2 4 x一勿 W2,:iB2.法二：A=A-|x m ,由（源）C 8=0,得 4。B
20、,-m-2 4%：.一m W2,J 勿。2.母题探究1 .若将本例中的“G M 0 8=0”改为“（）C B=B ，求实数力的值.解 由已知得 4=矛|求一/,所以一加24,解得/W-4.2 .若将本例中的“（/）C 8=0”改为“（U 4=R ，求实数加的值.解 由已知得，4=x|x 2 勿 ,An 8,所以一 mW2,解得力2 2.3 .若将本例中的SM C 8=0”改为“（/）n存。，求实数加的值.解 由例3 知，当（/）C 8=0 时，勿 22,所以当（团）0屏。时，水2.厂.反G领悟.一1.要注意下面五个关系式/仆6=/、/6=6、历 3（：/、/1 n（应=0、（/）u 6=都与/
21、U 6等价.2.对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略.该策略运用的是补集思想，即已知全集，求子集4 若直接求力困难，则可先求 力，再由。(源)=A求A.2常用逻辑用语1、必要条件与充分条件知识点1 必要条件与性质定理一般地，当命题“若 0，则是真命题时，称 2是2的必要条件.也就是说,一旦g 不成立，。一定也不成立，即对于目的成立是必要的.知识点2 充分条件与判定定理一般地，当命题“若0，则 是 真 命 题 时，称上是2的充分条件.综上，对于真命题“若 则 q ，即LQ 时，称。是。的必要条件,也称P 是 q
22、的充分条件.思 考(D p 是q的充分条件与q 是 p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：尸 q；0 是 q 的充分条件；q 的充分条件是夕;q 是0的必要条件；O的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示(1)相同，都是L Q.(2)这五种表述形式是等价的.知识点3 充要条件(1)一般地，如果g q，且m p，那么称夕是 7 的充分且必要条件，简称是 q 的充要条件，记作p o q.(2)夕是q 的充要条件也常常说成“夕成立当且仅当q成立”，或“0 与 q建价”.(3)当夕是q 的充要条件时，。也是。的充要条件.思考”1)若。是 q 的充要条件，则命题。和 q 是两个
23、相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“。是 q 的充要条件”与“2 的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确.若夕是q 的充要条件，则2Q,即0 等价于q.(2)0 是 q 的充要条件说明。是条件，q 是结论.夕的充要条件是q 说明q 是条件，0 是结论.疑难解惑 类型1充分、必要、充要条件的判断【例 1】下列各题中，0 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p-.x=l 或 x=2,0,0,y0；(4)p：四边形的对角线相等，Q：四边形是平行四边形.解(1)因为 x=l 或 x=2 x=yjxl,x 1=yx-l=x=1 或 x=2,所以0 是
24、 g 的充要条件.(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即 00 g.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即QP.所以P是q 的充分不必要条件.(3)因为孙0 时，x0,y0 或底0,y0.故p力q,但 户 p.所以p是q 的必要不充分条件.、/四边形的对角线相等*四边形是平行四边形，(4)因为，I四边形是平行四边形#四边形的对角线相等，所以P 是 q 的既不充分也不必要条件.厂.反Q领悟.充分、必要、充要条件的判断方法(D 定义法若q，q/P，则P 是 q 的充分不必要条件；若g p,则p 是 q 的必要不充分条件；若 g q,g p,则夕是?的充要条
25、件；若p fq,q f p,则夕是q 的既不充分也不必要条件.(2)集合法对于集合力=x|x 满足条件血，6=卜院满足条件司，具体情况如下：若 尾 尻则。是 q 的充分条件；若 A n B,则。是 q 的必要条件；若 4=6,则0 是 q 的充要条件；若 A睦 B,则0 是 g 的充分不必要条件；若 4翔，则。是 q 的必要不充分条件.类型2必要条件、充分条件的应用【例 2】已知夕：-2WxW10,q：1mWxWl +m,若夕是q 的充分不必要条件，求实数R的取值范围.解 由 夕 是 q 的充分不必要条件，得集合321/Z?(1+/Z?1 Z ff所以 1z?K 2,或 I mW 2,解得加2
26、9.所以实数必的取值范围是m29.母题探究1.把本例中的“P 是q的充分不必要条件”改为“0 是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数力的取值范围.解 由 夕 是 q 的必要不充分条件，得集合 削1一 加 WxWl+就是集合 x|2WxW10 的真子集，当 1后 xW l+加 =0,即冰0 时，符合题意；当 x 1 加 WxW 1 +/W。，即加2 0 时，2 0可得1加 一 2,11+加 W10 2 0或 1勿 2 2,11+水 10解得0W/W3.综上得，实数勿的取值范围是加 W3.2.本例中，是否存在实数加，使夕是g 的充要条件，若存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由.解 若
27、。是 q 的充要条件，则 1勿 =x|-2WxWl。,1 /=2即，l+zz?=10由于该方程组无解，所以实数加不存在.1.反 领 悟.利用必要条件与充分条件求参数的取值范围(1)化简P与 q；(2)把夕与g之间的关系转化为相应集合之间的关系；(3)利用集合之间的关系建立不等式；(4)解不等式求参数的取值范围.n类型3充要条件的探求与证明【例 3】求证：一元二次方程aV+Ax+cuO有一正根和一负根的充要条件是0.a 证明 必要性：因为方程a f+8 x+c=0 有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即 一 0.a充分性：由0,得a cQ,所以方程a f+6 x+c=0a有两个相异实根，设这两
28、个实根分别为耳，如由一元二次方程根与系数的关系得|%2=0,a所以两根异号.综上所述，一元二次方程a+b x+c=Q有一正根和一负根的充要条件是*a 0.厂.反C领悟.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通 常 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：若 证 明“0的充要条件是q，那 么“充分性”是 户0，“必要性”是 g；若 证 明“0是q的充要条件”，则与之相反.(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明.注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明
29、方向.2、全称量词与存在量词知识点1全称量词命题与全称量词1.全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题.2 .全称量词在命题中，诸 如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用 符 号“匕”表示，读 作“对任意的”.思 考”相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？提示 该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词.知识点2存在量词命题与存在量词1.存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题.2 .存在量词在命题中，诸 如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“工”表示，读 作“侬”.思 考“不等式Y-KO有解”是全称量
30、词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题.提示 是存在量词命题，可表示为/-KO.知识点3全称量词命题与存在量词命题的否定1.全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)全称量词命题p：V x M,x具有性质p(x)的否定为：3xG M,x不具有性 质(x).2 .存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是全称量词命题.(2)存在量词命题0：3 x M,x具有性质夕(x)的否定为：V xWM,x不具有性 质P(x).思考如何对省略量词的命题进行否定？提示 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命 题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可 加 上“
31、所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.疑难解惑 类 型1全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于3 6 0 ；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数 a,8 能使|a 8|=|a|+b 方程3 x 2 尸 10有整数解.解(1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于3 6 0 ”，故为全称量词命题.(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题.(3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题.(4)含存在量词“
32、有些”，故为存在量词命题.(5)可改表述为“存在一对整数 y,使 3 x 2 y=10成立”.故为存在量词命题.厂.反G 领悟.1.判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断.2 .存在量词命题真假的判断要判断存在量词命题“存在x G M,p(x)”是真命题，只需在集合 中找到一个元素荀，使得吊)成立即可；如果在集合 中，使得p G)成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题.注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.口 类 型 2 全称量词命题、存在
33、量词命题的真假判断【例 2】判断下列命题的真假：(1)3 x W Z,/0.解(1)因为一 1 G Z,且 所以 x ez,是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.(4)因为O W N,OJ O,所以命题“V x G N,*o”是假命题.厂.反C领悟.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合物中的每个元素X验证夕(X)成立;但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合中的一个X,使得p(x)不成立即可.(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合物中，能找到一个x 使p(x)
34、成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1 3 类型3 含有一个量词的命题的否定 例 3 命 题“V后 0,f+x 2 O”的 否 定 是()A.3 x 0,/+X 0 B.3 底0,/4-x 2 0C.3 x 2 0,f+矛 0 D.V x 2 0,/+x 0B.不存在 x G Z,*+2 x+/z?0C.对任意 x 6 Z,/+2 +/Z T 0D.对任意 x G Z,*+2X+R0 答案(DC(2)D厂.反C 领悟.一含有一个量词的命题的否定(1)首先找到命题中的量词与结论，然后把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.(2)对于省略量词的命题，通常省略的是全称量词
35、，先补上相应的量词，再进行否定.3 不等式1、不等式的性质知识点1 实数大小比较的基本事实1 .文字叙述如果H 是正数，那么处戾 如果方一8 等于0,那么何三戾 如果 一6 是负数，那么a0b；a b=0=a=b；且一伙0 0 羽6.思考.(1)在比较两实数a,b 大小的依据中，a,6 两数是任意实数吗？(2)夕的含义是什么？提示 是.(2)片 0 的含义是：2可以推出仍。也可以推出口 即夕与。可以互推.知识点2 不等式的性质性质1：如果a b,且力c,那么a c性质2：如果ab9那么a+c b+c,性质3：如果ab9 c 0,那么ac bc x(2)如果 ab,c 0,那么 ac ，dd,那
36、么a+c b+d.性质5：(1)如果a 8 0,c d3 那么己支8 a(2)如果力b0,。水0,那么ac 6 0 时，5X/，其中6 N+,?2.思考 若 a A,c d,那么a+c b+d成立吗？a c 6 d 呢？(2)若 a 8,c d,那么a c 6 d成立吗？提示(1)a+c 8+d成立，a db d不一定成立，但 a c成立.(2)不一定，但当a 6 0,c 漆0 时，一定成立.疑难解惑 类型1 数式的大小比较【例 1(D 已知才 0,试比较a与的大小.a 解(1)(A31)(2*2x)=(x 1)(x+x+l)2x(x 1)=(x-1)(第一x+1)=(x l)(x/十|二V
37、X 1,即 x K 2 x 2x.1 a2-1 a1 a+1 a-=-=-，a a a又二给0,、”,a-1 a+1当 H1 时，-0,a有 a ；a、”.a1 a+1 .1当 a=l 时，-=0,有 a=a c当 0 a l 时，一“二 1-a+1 0,W a 0,力0aa,：=l=a=6；bab水0,从0a 1 0 水6；ba,7=l=a=S；ba7 1 Z?b应用范围同号两数比较大小或分式、积、暴之间比较大小步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1 的大小；(4)下结论 类型2不等式的性质【例 2】(1)已知伙2a,3K c,则下列不等式一定成立的是()A.2a c b3dC.2a
38、+c 6+3dB.2ac 3bdD.2d+3 力6+c若求证:a b(D C (1)由于伏2d 3水。，则由不等式的性质得6+3d 2a+c,故选C.(2)证 明:因为 a 6 0=a(一心 c a c 6.因为c a9所以c a0.所以 Oc ac b.上式两边同乘1c a c-b 得-7 0.c-a c-b又因为a 6 0,所以 一-Jc-a c b厂.反廊领悟.-1 .利用不等式的性质判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，
39、便于验证计算；三是所取的值要有代表性.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.口 类 型3不等式的性质的应用【例3】已知12V a V 6 0,15 6 36,求a，的取值范围.解.T 5V 8 V 36,-36 b 15.又 12 a 6 0,/.12-36 6 0-15.，一2 4-V45.又诟后 一12 _a 一6 0一36 8 5
40、母题探究3m n=2片 5,解得41.在例3 的条件下，求第一 的取值范围.4 O 解 V 12 a 6 0,15 6 36,1 1.,.6 -a 30,-12-ZK-5.乙O1 1/.6 -a ZK 25.乙 O2.若将本例中的条件改为“2W a 6 W 4,l a+Z 0,b0,c0,且a+b+c=l.求 证:卜1)卜1廿 一1 8.证明 因为 a 0,b0,c0,且 a+6+c=l,所以工一1=b+c三a a1 Za同理A IN 平一 一 心 里.b b c c上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘,yyfbc.2A/=8)a b c当且仅当a=A=c=；时，等号成立
41、.0 母题探究(变设问)在本例条件下，求证：鸿+9 9.证明 因为 a 0,b0,c0,且 a+6+c=l,所 以 鸿+(_a+b-c a-b+c a+b+c=a _+bc-=3+仁+，+G+4+偿+42 3 +2+2+2=9.a b)a c)b c)当且仅当4=6=。=；时，等号成立.厂.反 C 领悟.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐 步推向“未知”.(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方
42、法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用.口 类 型 2 利用基本不等式求最值【例 2】(1)已知x 2,则 x d4口的最小值为(2)若 0 0,y 0,且 x+4 y=l,贝 A+：的最小值为_.X P 一(1)6 (2)(3)9 (1)因为 x 2,1 b所以x-2 0,44/T 所以 x+-=-2+-+22A/x-2-+2 =6,x-Z x-z j x-l44当且仅当x 2=-即x=4 时，等号成立.所以叶一的最小值为6.x2 x2因为O 0,所以3 x(1 2 x)=X2xX(1 一2 才)W q-5-f=7x7=7 7 244 1
43、 2 J 4 4 1 6当且仅当2 x=l2 x,即 当 时，等号成立，所以:x(l2 x)的最大值为4.421 b因为 x 0,y 0,x+4 尸 1,1 1 x+4 y x+4 y c,4 y 性y x 所以一+一=-1-=5+-4 5+2A/一 =9,x y x y x y x y4 K x 1 1当且仅当一=-，即x=1,时，等号成立，x y 3 6所 以 的 最 小 值 为 9.才 y厂.反烟领悟.利用基本不等式求最值的方法利 用 基 本 不 等 式，通 过 恒 等 变 形 及 配 凑，使“和”或“积”为 定 值.常 见 的变 形 方 法 有 拆、并、配.(1)拆一 一 裂项拆项对
44、分 子 的 次 数 不 低 于 分 母 次 数 的 分 式 进 行 整 式 分 离 一 一 分 离 成 整 式 与“真分 式”的 和，再 根 据 分 式 中 分 母 的 情 况 对 整 式 进 行 拆 项，为应用基本不等式凑定积创造条件.(2)并一 一 分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等 式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配一 一 配式配系数有 时 为 了 挖 掘 出“积”或“和”为 定 值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配 系 数 的 方 法，使 配 式 与 待 求 式 相 乘 后 可 以 应 用 基 本 不 等 式 得 出 定 值
45、，或配以 恰 当的系数后，使积式中的各项之和为定值.类 型3利用基本不等式解应用题【例3】某 货 轮 匀 速 行 驶 在 相 距300海 里 的 甲、乙 两 地 间 运 输 货 物，运输成本由燃料费 用 和 其 他 费 用 组 成.已 知 该 货 轮 每 小 时 的 燃 料 费 用 与 其 航 行 速 度 的平 方 成 正 比(比 例 系 数 为0.5),其 他 费 用 为 每 小 时800元，且该货轮的最大航行速 度 为50海里/时.(1)请 将 该 货 轮 从 甲 地 到 乙 地 的 运 输 成 本y(元)表 示 为 航 行 速 度*(海里/时)的 函 数；(2)要 使 从 甲 地 到 乙
46、 地 的 运 输 成 本 最 少，该 货 轮 应 以 多 大 的 航 行 速 度 行 驶？解(1)由 题 意，每 小 时 的 燃 料 费 用 为0.5 f元，从甲地到乙地所用的时、r、，300,间为小时,X则 y=0.5/300,300一+800 一xx(,1 600Y、=150 (0.利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；(4)回到实际问题中，检验并写出
47、正确答案.4一元二次函数与一元二次不等式1、一元二次函数1.抛物线通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.2.一元二次函数的图象变换一元二次函数y=a(x-2+A 的图象可以由y=a/的图象经过向左(或向右)平移血个单位长度，再向上(或向下)平移/个单位长度而得到.3.一元二次函数的性质函数y=ax+bx+c（a,b,c 是常数，a/0）思 考(1)如何把二次函数的一般式化成顶点式？图象a 0a 0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；当水0时，图象开口向下，a值越大，开口越大.疑难解惑 类 型1二次函数的图象及应用【例 1】在同一坐标系中作出下列函数的图象.(l)y=/；(2)y=Z 2；(3)
48、y=2/4 x并分析如何把尸/的图象变换成产=2/4 x 的图象.解 列表：描点、连线即得相应函数的图象，如图所示.X-3-2-10123y=x9410149y=/272-1-2-127y=2*4 x3 01 660-206由图象可知由尸步到 尸 2*4 x 的变化过程如下.法一：先把y=系的图象向右平移1 个单位长度得到了=(-1)2 的图象，然后把y=(x 1 尸的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2 倍，得到y=2(x l)2的图象，最后把尸2(矛 一 1 尸的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2*4 x的图象.法二：先 把 尸 步的图象向下平移1 个单位长度得到y=f-l 的图象，然后
49、再把y=/-l 的图象向右平移1 个单位长度得到/=51)2 1 的图象，最后把7=(*1)2 1 的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2 倍，便可得到y=2(x 1/一2,即 尸 2 4 矛的图象.反 领 悟.任意二次函数尸a f+6 x+c 都可转化为尸a(x+7?)2+4的形式，都可由y=a V 图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：y=a(x+A)2y=ax2平移一Q个单位K度向匕(*0)或下6 vO)平移|*|个单位氏度o)o)向左或右V(A仇平移一立个单位长度上述平移规律为:力正左移，力负右移”；“A 正上移，A负下移”.U 类型2 一元二次函数图象的应用【例 2】已知二次
50、函数y=3*2 x 1.(1)求其顶点坐标；(2)判断其在区间(一1,0)上是增加的还是减小的；(3)当x 取何值时，y=0?解 配方得 y=3 V 2 x l =3(x；J 所以其顶点坐标为他，一。上是减小的，且(一1，0)=18,1,所以该函数在区间(一1，0)上也是减小的.(3)y=0,即 3/2JC1=0,解得x-或一；，所以，当x=l 或一;时，y=0.0厂.反 领 悟.观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在 y 轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定一的符号，另外还要注意与x 轴的交点、(2)由于该函数在区间(一8,1函数的单调性等.口 类型3 一元二次函