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1、第六章第六章 曲线与曲面曲线与曲面 6.1 曲线曲线 6.2 曲面曲面 16-1 曲线 曲线可以看作是由以下三种方式形成的：曲线可以看作是由以下三种方式形成的：1.1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。不断改变方向的点连续运动的轨迹。2.2.曲面立体表面的交线。曲面立体表面的交线。3.3.直线族或曲线族的包络。直线族或曲线族的包络。一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类点的运动轨迹点的运动轨迹曲表面的交线曲表面的交线包络曲线包络曲线2 曲线的分类：曲线的分类：可分为可分为规则曲线规则曲线与与不规则曲线不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；等高线是不规则曲
2、线；又可分为又可分为平面曲线平面曲线和和空间曲线空间曲线，曲线上所有的点都位于一，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的例子。上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的例子。3 画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形表示曲线，
3、一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。状。状。状。曲线的投影性质：曲线的投影性质：曲线的投影性质：曲线的投影性质：1.1.1.1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线；退化成直线；退化成直线；退化成直线；二、曲线的投影二、曲线的投影4 2.2.2.2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线
4、在该投影面上的曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点；投影相切，而且切点的投影仍为切点；投影相切，而且切点的投影仍为切点；投影相切，而且切点的投影仍为切点；3.3.3.3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。椭圆。椭圆。椭圆。5 平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，平面
5、曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，当当当当平面平行于投影面平面平行于投影面平面平行于投影面平面平行于投影面时，曲线的投影时，曲线的投影时，曲线的投影时，曲线的投影反映曲线的实形反映曲线的实形反映曲线的实形反映曲线的实形；当；当；当；当平面平面平面平面垂直于投影面时垂直于投影面时垂直于投影面时垂直于投影面时，曲线的投影，曲线的投影，曲线的投影，曲线的投影退化为直线退化为直线退化为直线退化为直线；当；当；当；当平面倾斜于投影平面倾斜于投影平面倾斜于投影平面倾斜于投影面时面时面时面时
6、，曲线的投影为，曲线的投影为，曲线的投影为，曲线的投影为变了形的曲线变了形的曲线变了形的曲线变了形的曲线。反映实形反映实形退化成直线退化成直线变了形的曲线变了形的曲线61.1.1.1.投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆 圆在所垂直的那个投影圆在所垂直的那个投影圆在所垂直的那个投影圆在所垂直的那个投影面上的投影为直线段，线段面上的投影为直线段，线段面上的投影为直线段，线段面上的投影为直线段，线段的长度等于圆的直径，圆的的长度等于圆的直径，圆的的长度等于圆的直径，圆的的长度等于圆的直径，圆的另外两投影为椭圆，椭圆的另外两投影为椭圆，椭圆的另外两投影为椭圆，椭圆
7、的另外两投影为椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的直径。长轴长度等于圆的直径。长轴长度等于圆的直径。长轴长度等于圆的直径。三、圆的投影三、圆的投影 7 例例6-1 6-1 已知直径为已知直径为d d 的圆位于铅垂面内，并知圆心的圆位于铅垂面内，并知圆心 O O和和 P PH H 的位置，试作出其投影。的位置，试作出其投影。解：解：解：解：水平投影为线水平投影为线水平投影为线水平投影为线段，长度等于段，长度等于段，长度等于段，长度等于d d d d，重合，重合，重合，重合在在在在 P P P PH H H H 上；正面投影和上；正面投影和上；正面投影和上；正面投影和侧面投影为椭圆，长轴侧面投影为椭圆，长
8、轴侧面投影为椭圆，长轴侧面投影为椭圆，长轴竖直，长度等于竖直，长度等于竖直，长度等于竖直，长度等于d d d d，短，短，短，短轴水平，长度根据水平轴水平，长度根据水平轴水平，长度根据水平轴水平，长度根据水平投影作出。利用圆的辅投影作出。利用圆的辅投影作出。利用圆的辅投影作出。利用圆的辅助投影可作出椭圆上的助投影可作出椭圆上的助投影可作出椭圆上的助投影可作出椭圆上的一些中间点。一些中间点。一些中间点。一些中间点。82.2.2.2.一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的于三个投影面时，
9、圆的于三个投影面时，圆的于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆长轴的长度总是等于圆长轴的长度总是等于圆长轴的长度总是等于圆的直径圆的直径圆的直径圆的直径d d d d。9例例6-2 6-2 半径为半径为r r的圆位于一般倾斜平面的圆位于一般倾斜平面ABCDABCD上，并知圆心的位上，并知圆心的位置，试作出其投影。置，试作出其投影。解：解：解：解：首先，在水平投影中首先，在水平投影中首先，在水平投影中首先，在水平投影中作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴：长
10、轴的方向为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径2r2r2r2r。短。短。短。短轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角三角形法求出。三角形法求出。三角形法求出。三角形法求出。（点击鼠标看过程）（点击鼠标看过程）10 其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径是一对共轭直径12 12、3 4 3 4。根据共轭直径可求出
11、椭。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点圆上的其余四个点5 5、6 6、7 7、8 8，用八点法画出正用八点法画出正面投影椭圆。面投影椭圆。11最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的5 5、6 6、7 7、8 8四点，从而画出水平投影椭圆。四点，从而画出水平投影椭圆。12四、四、螺旋线螺旋线 当一个动点沿着一直线等当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。1.1.圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成132.2.螺旋
12、线的画法螺旋线的画法 螺旋线轴线为铅螺旋线轴线为铅垂线时，螺旋线的水垂线时，螺旋线的水平投影为圆。把圆周平投影为圆。把圆周等分（例如等分（例如1212等分），等分），分点按旋向依次编号分点按旋向依次编号为为0 0、1 1、2 2；在；在正面投影中把导程也正面投影中把导程也作相同的等分，过各作相同的等分，过各分点作水平线；由水分点作水平线；由水平投影中的各分点作平投影中的各分点作竖直线与正面投影上竖直线与正面投影上的对应水平线相交，的对应水平线相交，得得00、11、22,把这些点连把这些点连成光滑曲线，即为螺成光滑曲线，即为螺旋线的正面投影。旋线的正面投影。14 曲面分为规则曲面和不规则曲面。规
13、则曲面可以看成是运动的曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线母线母线母线，曲面上任意位置的母线称为曲面上任意位置的母线称为曲面上任意位置的母线称为曲面上任意位置的母线称为素线素线素线素线。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面
14、，称为。控制母线运动的线或面，称为导导导导线线线线或或或或导面导面导面导面。6-2 曲面一、曲一、曲面面面面的形成和分类的形成和分类15 由由由由直母线运动直母线运动直母线运动直母线运动生成的曲面称为生成的曲面称为生成的曲面称为生成的曲面称为直纹面直纹面直纹面直纹面，例如圆柱面、圆锥面；，例如圆柱面、圆锥面；，例如圆柱面、圆锥面；，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动只能由曲母线运动只能由曲母线运动只能由曲母线运动生成的曲面称为生成的曲面称为生成的曲面称为生成的曲面称为曲线面曲线面曲线面曲线面，例如球面。，例如球面。，例如球面。，例如球面。16 根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为根据母线运
15、动时有无旋转轴，曲面可以分为根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面旋转面旋转面旋转面和和和和非旋非旋非旋非旋转面转面转面转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。17 平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面平行于
16、某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓外形轮廓外形轮廓外形轮廓线线线线，简称，简称，简称，简称外形线外形线外形线外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面
17、上若干向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。条素线。条素线。条素线。二、曲面的投影二、曲面的投影 18 外形线同时还是曲面在该投射方向下外形线同时还是曲面在该投射方向下外形线同时还是曲面在该投射方向下外形线同时还是曲面在该投射方向下可见可见可见可见与与与与不可见不可见不可见不可见部分的部分的部分的部分的分界线。分界线。分界线。分界线。19 曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲
18、面的同面投影上。这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。借助于
19、辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为投影称为投影称为投影称为素线法素线法素线法素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为种方法求点的投影称为种方法求点的投影称为种方法求点的投影称为纬圆法纬圆法纬圆法纬圆法。三、曲面上点的
20、投影三、曲面上点的投影20在圆锥面上用在圆锥面上用在圆锥面上用在圆锥面上用素线法素线法素线法素线法和和和和纬圆法纬圆法纬圆法纬圆法求点的投影的例子：求点的投影的例子：求点的投影的例子：求点的投影的例子：21 直纹面分为直纹面分为旋转直纹面旋转直纹面和和非旋转直纹面非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、。圆柱面、圆锥面、旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、柱状面等属于非旋转直纹面。面、柱状面等属于非旋转直纹面。直母线直母线直母线直母线 l l 沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定
21、方沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方向向向向T T T T，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为柱面柱面柱面柱面。柱面的所有素线均互相平行，。柱面的所有素线均互相平行，。柱面的所有素线均互相平行，。柱面的所有素线均互相平行，画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。一、柱面一、柱面2.2.1 2.2.1 直纹面直纹面22在柱面上求点的投影，一般可用在柱面上求点的投
22、影，一般可用素线法素线法。23 柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取名的，正截面是圆时，称为名的，正截面是圆时，称为圆柱面圆柱面；正截面是椭圆时，称为；正截面是椭圆时，称为椭椭圆柱面圆柱面，等等。，等等。如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。24 直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线C C C C 运动，且始终通过定点运动，且始终通过定点运动，且始终通过定
23、点运动，且始终通过定点S S S S，这样形成，这样形成，这样形成，这样形成的曲面称为锥面。的曲面称为锥面。的曲面称为锥面。的曲面称为锥面。S S S S 称为称为称为称为锥顶锥顶锥顶锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，所有的素线都通过它。在投影图上，所有的素线都通过它。在投影图上，所有的素线都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。二、锥面二、锥面二、锥面二、锥面25 在锥面上作点，一般利用在锥面上作点，一般利用素线法素线法。当用投影面平行面能截。当用投影面平
24、行面能截出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。下面是几种有轴的锥面。下面是几种有轴的锥面。26 直母线直母线直母线直母线 l l 沿着一条沿着一条沿着一条沿着一条曲导线曲导线曲导线曲导线C C C C 运动，且始终运动，且始终运动，且始终运动，且始终与与与与C C C C 相切，这样形成的相切，这样形成的相切，这样形成的相切，这样形成的曲面称为曲面称为曲面称为曲面称为切线面切线面切线面切线面。曲导曲导曲导曲导线线线线C C C C 是空间曲线，称为是空间曲线，称为是空间曲线，称为是空间曲线，称为切线面的切线面的切线面的切线面的脊线脊线脊线脊线。三、切线面三、切线面
25、27 工程中弯曲坡道两工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切侧的边坡往往设计成切线面，并且使切线面的线面，并且使切线面的所有切线与地面成同一所有切线与地面成同一角度，这样设计成的切角度，这样设计成的切线面称为线面称为同坡曲面同坡曲面。28 直母线直母线直母线直母线 l l 沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线 ABAB、CDCD运动，且始终平行于某一导平面运动，且始终平行于某一导平面运动，且始终平行于某一导平面运动，且始终平行于某一导平面 Q Q，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面双曲抛物面双曲抛
26、物面，工，工，工，工程上也称程上也称程上也称程上也称扭面扭面扭面扭面。双曲抛物面的投影图中，只需画双曲抛物面的投影图中，只需画双曲抛物面的投影图中，只需画双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投影，而出两条直导线和若干素线的投影，而出两条直导线和若干素线的投影，而出两条直导线和若干素线的投影，而不必画出导平面。不必画出导平面。不必画出导平面。不必画出导平面。四、双曲抛物面四、双曲抛物面29P导平面直导线直导线直母线303132双曲抛物面在工程上有广泛的用途。双曲抛物面在工程上有广泛的用途。水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段道路边坡过渡段道路边坡过渡段道路边坡
27、过渡段道路边坡过渡段33 对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以ADAD、BCBC为交叉为交叉直导线，以平行于端点连线直导线，以平行于端点连线ABAB、CDCD 的平面的平面P P 为导平面所形成的。为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。34 直母线直母线直母线直母线 l l 沿着一条直导线沿着一条直导线沿着一条直导线沿着一条直导线 EFEF 和一条曲导线和一条曲导线和一
28、条曲导线和一条曲导线ABCABC 运动，且始终运动，且始终运动，且始终运动，且始终平行于导平面平行于导平面平行于导平面平行于导平面P P（P P 平行于两条导平行于两条导平行于两条导平行于两条导线端点的连线线端点的连线线端点的连线线端点的连线AE AE 和和和和CF CF），这样），这样），这样），这样形成的曲面称为形成的曲面称为形成的曲面称为形成的曲面称为锥状面锥状面锥状面锥状面。五、锥状面五、锥状面351 1锥状面的形成锥状面的形成P导平面曲导线直导线362.2.锥状面的画法锥状面的画法37六、柱状面六、柱状面 直母线直母线直母线直母线 l l 沿着两条曲导线运动，沿着两条曲导线运动，沿着
29、两条曲导线运动，沿着两条曲导线运动，且始终平行于某一导平面，这样形且始终平行于某一导平面，这样形且始终平行于某一导平面，这样形且始终平行于某一导平面，这样形成的曲面称为成的曲面称为成的曲面称为成的曲面称为柱状面柱状面柱状面柱状面。柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面管道柱状面管道柱状面管道柱状面管道38P1 1柱状面的形成柱状面的形成导平面曲导线曲导线39 柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。投影图上只需表
30、示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平面。面。面。面。以正平面为导平面以正平面为导平面以正平面为导平面以正平面为导平面的柱状面管道的柱状面管道的柱状面管道的柱状面管道402.2.柱状面的画法柱状面的画法41 直母线绕一条与它交叉的直母线绕一条与它交叉的直母线绕一条与它交叉的直母线绕一条与它交叉的直线直线直线直线 OOOO 旋转，这样形成的曲旋转，这样形成的曲旋转，这样形成的曲旋转，这样形成的曲面称为面称为面称为面称为旋转单叶
31、双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面，直线，直线，直线，直线OOOO称为称为称为称为旋转轴旋转轴旋转轴旋转轴。七、旋转单叶双曲面七、旋转单叶双曲面42 投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨迹的投影，以及素线的包络线。迹的投影，以及素线的包络线。迹的投影，以及素线的包络线。迹的投影，以及素线的包络线。432.2.单单叶叶双双曲曲回回转转面面的的画画法法44 旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。
32、旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆喉圆。过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。45工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架 冷却塔冷却塔冷却塔冷却塔46八八 正螺旋柱状面正螺旋柱状面1.1.正螺旋柱状面的形成正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2.2.正螺旋柱状面的画法正螺旋柱状面的画法（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2）作出直母线的两面投影；（3）作出该曲面上各素线的投影。3.3.正螺旋柱状面的应用的例子正螺旋柱状面的应用的例子471 1正螺旋柱状面的形成正螺旋柱状面的形成482.2.正正螺螺旋旋柱柱状状面面的的画画法法493.3.正螺旋柱状面应用的例子正螺旋柱状面应用的例子螺旋扶手螺旋楼梯50本 章 结 束51