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1、5 曲面与空间曲线例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解：设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是|AM|=|BM|由距离公式得一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，整理得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。2.坐标面及与坐标面平行的平面方程：坐标平面xOy的方程：z=0 过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=
2、0;y=0;x=a;y=b 3.球面方程：球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论：分
3、析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。4.母线平行于坐标轴的柱面方程：圆柱面；椭圆柱面；双曲柱面；抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。几种常见柱面：x+y=a 平面；4.旋转曲面：一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线
4、，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论：设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为：同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面绕z 轴得曲面例例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a的圆锥面方程。解解：将yOz面上的直线z=yctg 绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得：其中a=ctg二.空间曲线及其方程：1.空间曲线的一般方程：空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为
5、F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为称此方程组为曲线c的一般方程。例例4：方程组表示怎样的曲线？解解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上半径为1的上半球面例 方程 表示怎样曲线解：表示中心在原点，半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆，其圆心在 ，半径为2.空间曲线的参数方程：方程组称为空间中曲线的参数方程。设空间曲线方程如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例 如果空间一点M在圆柱面 x2+y2=a2 上以等角速度 绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的
6、正方向 移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当 转过角 时，点沿螺旋线升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。三.空间曲线在坐标面上的投影：在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为和解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程为3x2+2y2=1例 求曲线L：在三个坐标面上的投影曲线投影曲线方程投影曲线方程消去x得Z=1-y2投影曲线
7、方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0投影柱面方程为Z=1-y2的交线是一条空间曲线例 两个柱面 和 例例5：求曲线在xOy面上的投影方程。解解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上的投影方程为四 二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌与三个坐标面的交线均为椭圆若a=b,则 旋转椭球面2 单叶双曲面Z=h 截,截痕为一椭圆。x=h，或y=h截,截痕为一双曲线。2）当 时，截痕为一对直线1）当 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平行与z轴，当 由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线的两半轴也增大。同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。这是单叶旋转双曲面。当a=b时，方程变为3 双叶双曲面双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面Z=h截，截痕为当x=h，或y=h截，截痕为双曲线4 椭圆抛物面当 时为椭圆当 时无截痕，当 时是两点（0，0，）5 双叶抛物面6 二次锥面