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1、菅光宾数字媒体系n7.1 7.1 基本概念基本概念n7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线n7.5 Bezier7.5 Bezier曲面曲面n7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线n7.7 B7.7 B样条曲面样条曲面n工业产品的几何形状大致可分为两类工业产品的几何形状大致可分为两类n一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。初等解析函数完全清楚地表达全部形状。n另一类由自由曲面组另一类由自由曲面组成，如汽车车身等的曲成，如汽车车身等的曲线和曲面，不能用
2、初等线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计这些研究成果形成了计算机辅助几何设计算机辅助几何设计(Computer Aided(Computer Aided Geometric DesignGeometric Design，CAGD)CAGD)学科学科7.1.1 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面n在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各型值点，其它地方自然过渡
3、，条）通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线然后沿样条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)Spline Curve)。n在计算机图形学中，样条曲线是指由多项在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面则处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交样条曲线来描述。可用两组正交样条曲线来描述。7.1.2 7.1.2 曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式n曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方曲线曲面的可以采用显式方程、隐函数方程和参数方程表示：程和参数方程
4、表示：n直线的表示形式：已知直线的起点坐标直线的表示形式：已知直线的起点坐标P1P1（x1x1，y1y1）和终点坐标）和终点坐标P2P2（x2x2，y2y2）,直线的显式方程表示为：直线的显式方程表示为：n直线的隐函数方程表示为：直线的隐函数方程表示为：n直线的参数方程表示为：直线的参数方程表示为：n由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。方程来描述曲线曲面。n一条三次曲线的参数方程的矢量和矩阵表一条
5、三次曲线的参数方程的矢量和矩阵表示：示：n参数方程表示：参数方程表示：，tt0,10,1；n矢量表示：矢量表示：tt0,10,1n矩阵表示：矩阵表示：tt0,10,1n几何形式几何形式对三次参数曲线，若用其端点位矢对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)P(0)、P(1)P(1)和切和切矢矢P P(0)(0)、P P(1)(1)描述。描述。将将P(0)P(0)、P(1)P(1)、P P(0)(0)和和P P(1)(1)简记为简记为P P0 0、P P1 1、P P 0 0和和P P 1 1，代入，代入 得得令：令：可将其简化为：可将其简化为：上式是上式是三次三次Hermite(Ferguson)
6、Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，曲线的几何形式，几何系数是几何系数是P P0 0、P P1 1、P P 0 0和和P P 1 1。称为调和函数（或混合函数）称为调和函数（或混合函数）7.1.3 7.1.3 拟合和逼近拟合和逼近 n曲线曲面的拟合：曲线曲面的拟合：当用一组型值点当用一组型值点（插值点）来指（插值点）来指定曲线曲面的形定曲线曲面的形状时，形状完全状时，形状完全通过给定的型值通过给定的型值点序列确定点序列确定7.1.3 7.1.3 拟合和逼近拟合和逼近 n曲线曲面的逼曲线曲面的逼近：当用一组近：当用一组控制点来指定控制点来指定曲线曲面的形曲线曲面的形状时，求出的状时
7、，求出的形状不必通过形状不必通过控制点控制点连续性条件连续性条件 n通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。能描述复杂的形状。n为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连连续性条件。连续性条件有两种：参数连续性和几何连续性。续性和几何连续性。n参数连续性参数连续性n 零阶参数连续性，零阶参数连续性，记作记作C C0 0，指相邻两个，指相邻
8、两个曲线段在交点处具有曲线段在交点处具有相同的坐标。相同的坐标。n一阶参数连续一阶参数连续性，记作性，记作C C1 1，指相邻两个曲指相邻两个曲线段在交点处线段在交点处具有相同的一具有相同的一阶导数。阶导数。n二阶参数连续二阶参数连续性，记作性，记作C C2 2，指，指相邻两个曲线相邻两个曲线段在交点处具段在交点处具有相同的一阶有相同的一阶和二阶导数。和二阶导数。7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线 n 法国雷诺汽车公司的工程师法国雷诺汽车公司的工程师BezierBezier和法和法国雪铁龙汽车公司的国雪铁龙汽车公司的de Casteljaude Casteljau分别提分别提出了
9、一种新的参数曲线表示方法，称为出了一种新的参数曲线表示方法，称为BezierBezier曲线。曲线。7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线 nBezierBezier的想法从一开始就面向几何而不是的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。面向代数。nBezierBezier曲线由控制多边形惟一定义，曲线由控制多边形惟一定义，BezierBezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上点落在控制多边形上7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线 n多边形的第一条和最后一条边表示了曲线多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方
10、向，其它顶点则在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状用于定义曲线的导数、阶次和形状n曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制形状。绘制BezierBezier曲线的直观交互性使得曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。度，使用起来非常方便。几种典型的三次几种典型的三次BezierBezier曲线曲线 7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲线的定义曲线的定义n给定给定n+
11、1n+1个控制点个控制点P Pi i（i i0 0，1 1，2 2n n），），称为称为n n次次BezierBezier曲线。曲线。t0，1 nPi 是n+1个控制点，是Bernstein基函数 1.1.一次一次BezierBezier曲线曲线 n当当n n1 1时，时，BezierBezier曲线的控制多边形有二个曲线的控制多边形有二个控制点控制点P P0 0和和P P1 1，BezierBezier曲线是一次多项式。曲线是一次多项式。n可以看出，一次Bezier曲线是一段直线2.2.二次二次BezierBezier曲线曲线 n当当n n2 2时，时，BezierBezier曲线的控制多边
12、形有三曲线的控制多边形有三个控制点个控制点P0P0、P1P1和和P2P2，BezierBezier曲线是二次曲线是二次多项式。多项式。n可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。3.3.三次三次BezierBezier曲线曲线 n当当n n3 3时，时，BezierBezier曲线的控制多边形有四曲线的控制多边形有四个控制点个控制点P0P0、P1P1、P2P2和和P3P3，BezierBezier曲线是曲线是三次多项式。三次多项式。n可以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。n注意：对于注意：对于BezierBezier曲线，在区间曲线，在区间0,10,1范围内，每个基函数均不为零，说明不能
13、范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整个曲整，如果要改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响。线都将受到影响。7.4.2 Bezier7.4.2 Bezier曲线的性质曲线的性质 1.1.端点性质端点性质在闭区间在闭区间0 0，1 1内，将内，将t t0 0和和 t t1 1代入代入式（式（7-127-12），得到），得到p(0)p(0)P0P0和和p(1)p(1)P Pn n。说明说明BezierBezier曲线的起点和终点分别位于曲线的起点和终点分别位于顶点顶点P0P0和和P Pn n上。
14、上。2.2.一阶导数一阶导数n 将式（将式（7-127-12）求导，有）求导，有n 在闭区间0，1内，将t0和t1代入上式，得到 3.3.凸包性质凸包性质n由公式（由公式（7-137-13）可以看出，在闭区间）可以看出，在闭区间0 0，1 1内，内，而且而且 。n说明说明BezierBezier曲线位于控制多边形构成的曲线位于控制多边形构成的凸包之内。凸包之内。7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 nBezierBezier曲线的可分割性可用德卡斯特里奥曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（De CasteliauDe Casteliau）算法表达如下。）算法
15、表达如下。n给定空间给定空间n+1n+1个点个点P Pi i（i=0i=0，1 1，2 2n n）及）及参数参数t t，有，有n例如，当例如，当n=3n=3时，有时，有 n三次三次BezierBezier曲线递推如下：曲线递推如下：n其中：规定：其中：规定：根据该式可以绘制Bezier曲线，取t=0，t1/3，t2/3，t=1，点的运动轨迹形成Bezier曲线。图7-8绘制的是t=1/3的点。图7-9绘制的是t=2/3的点。7.5.1 Bezier7.5.1 Bezier曲面的定义曲面的定义 nBezierBezier曲面是由曲面是由BezierBezier曲线拓广而来，以曲线拓广而来，以两组
16、正交的两组正交的BezierBezier曲线控制点构造空间网曲线控制点构造空间网格来生成曲面。格来生成曲面。mnmn次次BezierBezier曲面的定义曲面的定义如下：如下：（u，v）0，10，1 n依次用线段连接点列依次用线段连接点列P Pi,ji,j（i i0 0，1 1，m m；j j0 0，1 1，n n）中相邻两点所形成的）中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格，当空间网格称为控制网格，当m m3 3，n n3 3时时由由44441616个控制点构成控制网格，曲面个控制点构成控制网格，曲面称为双三次称为双三次BezierBezier曲面曲面7.5.2 7.5.2 双三次双三次Bez
17、ierBezier曲面的定义曲面的定义 n双三次双三次BezierBezier曲面定义如下：曲面定义如下：（u，v）0，10，1 7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线 nBezierBezier不足之处不足之处n确定了控制多边形的顶点个数（确定了控制多边形的顶点个数（n+1n+1个），也个），也就确定了曲线的次数（就确定了曲线的次数（n n次）次）n控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差高，逼进程度越差n曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响到整条曲线，原因是到整条曲线，原因是BernsteinBern
18、stein基函数在整个基函数在整个开区间（开区间（0 0，1 1）内均不为零）内均不为零7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线 nGordonGordon和和RiesenfeldRiesenfeld于于19741974年用年用B B样条基函样条基函数代替了数代替了BernsteinBernstein基函数，构造了基函数，构造了B B样条样条曲线。曲线。n比比BezierBezier曲线更贴近控制多边形，曲线更曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生光滑（很容易产生C C2 2连续性），曲线的次数连续性），曲线的次数可根据需要指定可根据需要指定n增加了对曲线的局部修改功能，增加了对曲线的局部修
19、改功能，B B样条曲线样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。曲线的控制灵活而直观。7.6.1 B7.6.1 B样条曲线的定义样条曲线的定义 nB B样条曲线分为均匀样条曲线分为均匀B B样条曲线和非均匀样条曲线和非均匀B B样条曲线，本书只讨论均匀样条曲线，本书只讨论均匀B B样条曲线。样条曲线。n给定给定n+1n+1个控制点个控制点P Pi i（i i0 0，1 1，2 2，n n），），n n次次B B样条曲线段的参数表达式为：样条曲线段的参数表达式为：式中为式中为n n次次B B样条基函数，其形式为：样条基函数，其形式为：7
20、.6.1 B7.6.1 B样条曲线的定义样条曲线的定义 n依次用线段连接控制点依次用线段连接控制点P Pi i（i i0 0，1 1，2 2，n n）组成的多边形称为）组成的多边形称为B B样条曲线控制样条曲线控制多边形。在工程实际中，二次多边形。在工程实际中，二次B B样条曲线样条曲线和三次和三次B B样条曲线应用得较为广泛。样条曲线应用得较为广泛。7.6.2 二次B样条曲线 1.1.矩阵表示矩阵表示二次二次B样条曲线样条曲线n二次二次B B样条曲线的分段参数表达式样条曲线的分段参数表达式n矩阵形式为：矩阵形式为：二次二次B样条曲线样条曲线2.2.几何性质几何性质一阶导数为：一阶导数为：以以
21、t=0t=0，1 1，1/21/2代入代入二次二次B样条曲线样条曲线2.2.几何性质几何性质二次二次B样条曲线样条曲线一般情况下：一般情况下：n曲线不经过控制点；曲线不经过控制点；n起点只与前两个控制起点只与前两个控制点有关，终点只与后点有关，终点只与后两个控制点有关两个控制点有关2.2.几何性质几何性质 n n二次二次二次二次B B B B样条曲线的起点样条曲线的起点样条曲线的起点样条曲线的起点p(0)p(0)p(0)p(0)位于位于位于位于P P P P0 0 0 0P P P P1 1 1 1边的中点处，且其边的中点处，且其边的中点处，且其边的中点处，且其切矢量切矢量切矢量切矢量P P
22、P P1 1 1 1P P P P0 0 0 0沿沿沿沿P P P P0 0 0 0P P P P1 1 1 1边的走边的走边的走边的走向向向向n n终点终点终点终点p(1)p(1)p(1)p(1)位于位于位于位于P P P P1 1 1 1P P P P2 2 2 2边的中点边的中点边的中点边的中点处，且其切矢量处，且其切矢量处，且其切矢量处，且其切矢量P P P P2 2 2 2P P P P1 1 1 1沿沿沿沿P P P P1 1 1 1P P P P2 2 2 2边的走向边的走向边的走向边的走向n nP(1/2)P(1/2)P(1/2)P(1/2)正是正是正是正是P(0)P(0)P(
23、0)P(0)、P1P1P1P1、P(1)P(1)P(1)P(1)这三点所构成的三角这三点所构成的三角这三点所构成的三角这三点所构成的三角形的中线形的中线形的中线形的中线P1PmP1PmP1PmP1Pm的中点的中点的中点的中点2.2.几何性质几何性质 n np(1/2)p(1/2)p(1/2)p(1/2)处的切线平行于两处的切线平行于两处的切线平行于两处的切线平行于两个端点的连线个端点的连线个端点的连线个端点的连线p(0)p(1)p(0)p(1)p(0)p(1)p(0)p(1)n n 三个顶点三个顶点三个顶点三个顶点P P P P0 0 0 0P P P P1 1 1 1P P P P2 2 2
24、 2确定一段确定一段确定一段确定一段二次二次二次二次B B B B样条曲线，该段曲线样条曲线，该段曲线样条曲线，该段曲线样条曲线，该段曲线是一段抛物线。一般情况是一段抛物线。一般情况是一段抛物线。一般情况是一段抛物线。一般情况下，下，下，下，B B B B样条曲线不经过控制样条曲线不经过控制样条曲线不经过控制样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前二个点，曲线起点只与前二个点，曲线起点只与前二个点，曲线起点只与前二个控制点有关，终点只与后控制点有关，终点只与后控制点有关，终点只与后控制点有关，终点只与后二个控制点有关。二个控制点有关。二个控制点有关。二个控制点有关。7.6.3 7.6.3 三次三次
25、B B样条曲线样条曲线 1.1.矩阵表示矩阵表示控制多边形有四个顶点控制多边形有四个顶点P1,P2,P3,P4P1,P2,P3,P4三次三次B样条曲线样条曲线1.1.矩阵表示矩阵表示三次三次B B样条曲线的分段表示为：样条曲线的分段表示为：三次三次B样条曲线样条曲线1.1.几何性质几何性质求一阶导数和二阶导数求一阶导数和二阶导数三次三次B样条曲线样条曲线以以t=0t=0，1 1代入代入三次三次B样条曲线样条曲线以以t=0t=0，1 1代入代入 2.2.几何性质几何性质n曲线的起点曲线的起点p(0)p(0)位于位于 P P0 0P P1 1P P2 2底边底边P P0 0P P2 2的中的中线上
26、，且距线上，且距P P1 1点三分之点三分之一处。该点处的切矢量一处。该点处的切矢量p(0)p(0)平行于平行于 P P0 0P P1 1P P2 2的的底边底边P P0 0P P2 2，且长度为其，且长度为其二分之一。该点处的二二分之一。该点处的二阶导数阶导数p”(0)p”(0)沿着中线沿着中线P P1 1P Pmm方向，长度等于方向，长度等于中线的两倍。中线的两倍。2.2.几何性质几何性质n曲线终点曲线终点p(1)p(1)位于位于 P P1 1P P2 2P P3 3底边底边P P1 1P P3 3的的中线上距中线上距P P2 2点三分之点三分之一处。该点处的切矢一处。该点处的切矢量量p(
27、1)p(1)平行于平行于 P P1 1P P2 2P P3 3的底边的底边P P1 1P P3 3，且长度为其二分之，且长度为其二分之一。该点处的二阶导一。该点处的二阶导数数p”(1)p”(1)沿着中线方沿着中线方向，长度等于中线的向，长度等于中线的两倍。两倍。2.2.几何性质几何性质nB B样条曲线不经过样条曲线不经过控制点，曲线起点控制点，曲线起点只与前三个控制点只与前三个控制点有关，终点只与后有关，终点只与后三个控制点有关。三个控制点有关。实际上，实际上，B B样条曲样条曲线都具有这种控制线都具有这种控制点的邻近影响性点的邻近影响性7.6.4 B7.6.4 B样条曲线的性质样条曲线的性质
28、1.1.连续性连续性n给定给定m+n+1m+n+1个控制点个控制点PiPi（i=0,1,m+ni=0,1,m+n），可），可定义定义m+1m+1段段n n次的次的B B样条曲线样条曲线n控制点控制点P Pi i，P Pi+1i+1，P Pi+2 i+2，确定的第，确定的第i i段曲线，段曲线，C1C1连连续续二次B样条曲线的连续性 三次B样条曲线的连续性 7.6.4 B7.6.4 B样条曲线的性质样条曲线的性质例如：例如：9 9个控制点个控制点由几段二次曲线构成？由几段二次曲线构成？由几段三次曲线构成？由几段三次曲线构成？B样条曲线的性质样条曲线的性质1.1.连续性连续性n控制点控制点P Pi
29、 iP Pi+1i+1P Pi+2 i+2 P Pi+3i+3，确定的第，确定的第i i段三次曲线，段三次曲线，C2C2连续连续B样条曲线的性质样条曲线的性质2.2.局部性局部性n每段每段B B样条曲线受样条曲线受n+1n+1个控制点影响，改变一个个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响控制点的位置，最多影响n+1n+1个曲线段，其它部个曲线段，其它部分得形状保持不变。分得形状保持不变。7.6.5 构造特殊三次构造特殊三次B样条曲线样条曲线1.1.两顶点重合两顶点重合n使使B B样条线和控制多边形的边相切样条线和控制多边形的边相切构造特殊三次构造特殊三次B样条曲线样条曲线2.2.三顶点重合
30、三顶点重合n曲线上出现尖点曲线上出现尖点构造特殊三次构造特殊三次B样条曲线样条曲线3.3.三顶点共线三顶点共线n用来处理连接两段弧用来处理连接两段弧构造特殊三次构造特殊三次B样条曲线样条曲线4.4.四顶点共线四顶点共线n可用来接入一条可用来接入一条直线直线7.7.1 B7.7.1 B样条曲面的定义样条曲面的定义 nB B样条曲面是样条曲面是B B样条曲线的二维推广，给定样条曲线的二维推广，给定(m(m1)(n+1)1)(n+1)个控制点个控制点P Pi,ji,j(i=0,1,(i=0,1,m,m；j=0,1,j=0,1,n),n)，其表达式为：，其表达式为：7.7.2 7.7.2 双三次双三次
31、B B样条曲面的定义样条曲面的定义 n双三次双三次B B样条曲面定义如下：样条曲面定义如下：展开式有：展开式有：n双三次双三次B B样条曲面是由三次样条曲面是由三次B B样条曲线交织样条曲线交织而成。曲面生成时可以通过固定而成。曲面生成时可以通过固定u,u,变化变化v v得到一簇三次得到一簇三次B B样条曲线；固定样条曲线；固定v v，变化，变化u u得到另一簇三次得到另一簇三次B B样条曲线。与三次样条曲线。与三次B B样条样条曲线相似，双三次曲线相似，双三次B B样条曲面一般情况下样条曲面一般情况下不通过控制网格的任何一个顶点。不通过控制网格的任何一个顶点。7.7.3 7.7.3 双三次双三次B B样条曲面的连续性样条曲面的连续性 n双三次双三次B B样条曲面的优点是极为自然地解样条曲面的优点是极为自然地解决了曲面片之间地连接问题，例如，只要决了曲面片之间地连接问题，例如，只要将控制网格沿某一个方向延伸一排，就可将控制网格沿某一个方向延伸一排，就可以决定另一个曲面片，此时曲面片理所当以决定另一个曲面片，此时曲面片理所当然地保证二者之间达到了然地保证二者之间达到了C C2 2连续性。连续性。