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1、 数列的综合应用数列的综合应用 三门中学三门中学 辛颖辛颖 2007 03 30 2007 03 30 星期五星期五课课 题题 数学应用题解题数学应用题解题,一般分为三个步骤一般分为三个步骤:(1)审题审题;(2)建立数学模型建立数学模型;(3)求解数学模型。求解数学模型。其中审题是基础其中审题是基础,建模是关键建模是关键,解题是解题是目标目标。实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型实际结果实际结果数学问题的解数学问题的解反演反演分析分析,联想联想转化转化,抽象抽象数学数学方法方法(一）产值的增长问题一）产值的增长问题例、例、某工厂去年的产值是100万元，计划今后3年内一年比一年产值增长从今
2、年起的第三年，这个工厂的年产值是 万年这三年的总产值是 万元（精确到万元）分析：如果原产值是分析：如果原产值是增长后的产值为增长后的产值为 那么从那么从增长到增长到的增长率的增长率 并且并且这是处理有关增长这是处理有关增长率问题的基本知识率问题的基本知识解：设去年的产值为解：设去年的产值为万元，今年的产值以及万元，今年的产值以及万元，万元，万元万元，故数列，故数列是等比数列，则第三年该厂的年产值为是等比数列，则第三年该厂的年产值为以后各年的产值依次为以后各年的产值依次为由于由于（万元）（万元）这三年的总产值为这三年的总产值为（万元）（万元）(二二):银行储蓄问题银行储蓄问题 例例:某人从某人从
3、1998年起年起,每年每年1月月1日到银行新存入日到银行新存入a元元(一年定期一年定期),若年利率为若年利率为r保持不变保持不变,且每年到期存款均自且每年到期存款均自动动 转为新转为新 的一年定期的一年定期,到到2002年年1月月1日将所有的存款及利日将所有的存款及利息息全部取回全部取回,他可取回的钱数为多少元他可取回的钱数为多少元?每年利息按复每年利息按复利计算（即上年利息要计入下年本金）。利计算（即上年利息要计入下年本金）。解解:1998年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a1999年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)+a+a2001年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a
4、(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a 2002年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)2002年可取钱数为年可取钱数为:a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)2000年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)2+a(1+r)例:某人从1998年起,每年每年1月1日到银行新存入a元(一年定期一年定期),若年利率为r保持不变,且每年到期存款均自动 转为新 的一年定期,到2002年1月1日将所有的存款及利息全部取回全部取回,他可取回的钱数为多少元?每年利息按复利计算（上年利息要计入下年本金）。另解另解:
5、1998年年1月月1日新存入日新存入a元元2002年年1月月1日日 a(1+r)41999年年1月月1日新存入日新存入a元元2000年年1月月1日新存入日新存入a元元2001年年1月月1日新存入日新存入a元元2002年年1月月1日日 a(1+r)22002年年1月月1日日 a(1+r)32002年年1月月1日日 a(1+r)2002年年1月月1日可取钱数为日可取钱数为:a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)(三三)养老保险养老保险例、某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险例、某人大学毕业参加工作后，计划参加养老保险.若每年年末等差额年金若每年年末等差额年金 元，即第一年
6、年末存入元，即第一年年末存入元，第二年年元，第二年年元，元，第，第年年末存入年年末存入元年利率为元年利率为问第问第年年初他可一次性年年初他可一次性末存入末存入获得养老金本利合计多少元？获得养老金本利合计多少元？分析：分期存款，分析：分期存款，应应利用利用“本利和本利和=本金本金（1+利率）利率）”分段分段计计算：第算：第1年年末存入的年年末存入的 元元现现金，到第金，到第年年初，共年年初，共年，逐年年，逐年获获得本利和依次构成公比得本利和依次构成公比为为的等比数列，即的等比数列，即同理，第二年末存入同理，第二年末存入 元，元，第，第年末存入年末存入 元元，问题问题即即为为数列求和数列求和的本利
7、和，依次为的本利和，依次为(四四)分期付款分期付款小王想用分期付款的小王想用分期付款的 方式购买一套价值方式购买一套价值48万元万元的商品房的商品房,首付首付 ,贷款期限为贷款期限为20年年,银行住房银行住房贷款年利率为贷款年利率为 ,按复利计息按复利计息,如果小王按年如果小王按年还款还款,每年还款的数额相同每年还款的数额相同,那么每年需要还款多那么每年需要还款多少元少元?小王为购房共要付房款多少元小王为购房共要付房款多少元?(精确到精确到1元元)五、住房面积增长问题五、住房面积增长问题例、某地现有居民住房的总面积为例、某地现有居民住房的总面积为需要拆除的旧房面积占了一半，当地有需要拆除的旧房
8、面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧房的关部门决定在每年拆除一定数量旧房的情况下，仍以情况下，仍以（1）如果）如果10年后该地区住房面积正年后该地区住房面积正 好比好比 目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房 面积应是多少？面积应是多少？（2）过）过10年还未拆除的旧房面积占当时年还未拆除的旧房面积占当时 住房总面积的百分比是多少？（保留小住房总面积的百分比是多少？（保留小 数点后第一位，计算时可取数点后第一位，计算时可取 为为）其中其中的增长率建设新房的增长率建设新房 作业本（作业本（B）等比数列的前等比数列的前 n项和（二）项和（二）作业布置：作
9、业布置：简介：现在购房的消费群体中，消费者多采用按揭付款，但很多人简介：现在购房的消费群体中，消费者多采用按揭付款，但很多人却对还贷方式了解不多。以下就大概介绍一下目前的两种还贷方式却对还贷方式了解不多。以下就大概介绍一下目前的两种还贷方式的区别：两种还款方式，并无绝对好坏！等额本息还款法和等额本的区别：两种还款方式，并无绝对好坏！等额本息还款法和等额本金还款法各有特点，是为不同消费者设定的，不能简单判断好或不金还款法各有特点，是为不同消费者设定的，不能简单判断好或不好：好：1、计算方法不同。等额本金还款法：借款人每月以相等的额、计算方法不同。等额本金还款法：借款人每月以相等的额度偿还贷款本金
10、，利息随本金逐月递减，每月还款额亦逐月递减，度偿还贷款本金，利息随本金逐月递减，每月还款额亦逐月递减，因此也简称因此也简称“递减法递减法”。等额本息还款法：按照贷款期限把贷款本。等额本息还款法：按照贷款期限把贷款本息平均分为若干等份，每月还款额度相等，因此也简称息平均分为若干等份，每月还款额度相等，因此也简称“等额法等额法”。2、还款前几年的利息、本金比例不一样。、还款前几年的利息、本金比例不一样。“本息还款法本息还款法”前几年前几年还款总额中利息占的比例较大；还款总额中利息占的比例较大；“本金还款法本金还款法”的本金平摊到每的本金平摊到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高时也就各占一
11、次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高时也就各占50%左右。左右。“等额本息法等额本息法”还款压力均衡，而还款压力均衡，而“等额本金法等额本金法”还款初还款初期压力较重，以后随着还款次数的增多，压力逐渐降低。选择期压力较重，以后随着还款次数的增多，压力逐渐降低。选择“等等额本息额本息”还是还是“等额本金等额本金”关键要看还款能力。一般来说，关键要看还款能力。一般来说，“等额等额本息还款法本息还款法”适合年轻人，他们现在收入稳定，对未来几十年收入适合年轻人，他们现在收入稳定，对未来几十年收入的增长也有很好的预期；的增长也有很好的预期；“等额本金还款法等额本金还款法”则适合中老年人，有则适合中老年人，有一定积蓄，但家庭负担将日益加重，且有退休的压力。一定积蓄，但家庭负担将日益加重，且有退休的压力。”其实选其实选择哪一种方式并没有太大的要求，就看申请人的实际情况来确定就择哪一种方式并没有太大的要求，就看申请人的实际情况来确定就可以了。