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1、新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第第36讲讲数列模型及应用数列模型及应用1.认认识识数数列列的的函函数数特特性性，能能结结合合方方程程、不不等等式式、解解析析几几何何、算算法法等等知知识识解决一些数列问题解决一些数列问题.2.掌掌握握与与等等差差数数列列、等等比比数数列列有有关关的实际应用问题的解法的实际应用问题的解法.1.某某种种细细胞胞开开始始有有2个个，1小小时时后后分分裂裂成成4个个并并死死去去1个个，2小小时时后后分分裂裂成成6个个并并死死去去1个个，3小小时时后后分分裂裂成成10个个并并死死去去1个个，按按此此
2、规规律律进进行行下下去去，6小小时时后后细细胞胞存存活活的的个个数是（数是（）B 设设开开始始的的细细胞胞数数和和每每小小时时后后的的细细胞胞数数构构成成的的数数列列为为an，则则有有a1=2，an+1=2an-1，即，即 =2.所所以以数数列列an-1是是首首项项为为1，公公比比为为2的的等等比数列比数列.因此，因此，an-1=2n-1，即，即an=2n-1+1.所以所以a7=26+1=65.2.在在一一个个凸凸多多边边形形中中，最最小小内内角角为为120，各各内内角角度度数数成成等等差差数数列列，公公差差为为5，则则这一凸多边形的边数为这一凸多边形的边数为()A或或或或10 设设凸凸多多边
3、边形形边边数数为为n,其其内内角角和和为为180(n-2),依题意依题意,有有n120+n(n-1)5=180(n-2),化简得化简得n2-25n+144=0，解得，解得n=9或或n=16.当当n=16时，最大内角为时，最大内角为120+(16-1)5=1950,180)，故，故n=16舍去，舍去，当当n=9时时,最大内角为最大内角为120+(9-1)5=160.3.若若 =110(xN*),则则x=.10 因为因为1+3+5+(2x-1)=x2，+=1-+-+-=,所以所以 =110，即，即x(x+1)=110，解得，解得x=10.4.椭椭圆圆 +=1上上有有n个个不不同同的的点点P1，P2
4、，Pn，椭椭圆圆的的右右焦焦点点为为F，数数列列|PnF|是是公公差差不不小小于于 的的等等差差数数列列，则则n的的最最大值为大值为()D|P1F|a-c=1,|PnF|max=a+c=3,所以所以1+(n-1)d3,所以所以n-1 ,因为因为d ,100,所以所以n-1200,故故n201.5.弹弹子子跳跳棋棋共共有有60颗颗大大小小相相同同的的球球形形弹弹子子，现现在在棋棋盘盘上上将将它它叠叠成成正正四四面面体体球球垛垛，使使剩剩下下的的弹弹子子尽尽可可能能的的少少，那那么么剩剩下下的的弹弹子有子有()B颗颗 颗颗颗颗 颗颗 熟熟悉悉正正四四面面体体的的特特征征，由由题题设设构构造造模模型
5、型：第第k层层为为k个个连连续续自自然然数数的的和和；化化简简通通项项再用分组求和法再用分组求和法.依题设依题设,第第k层正四面体为层正四面体为1+2+3+k=,则前则前k层共有层共有 (12+22+k2)+(1+2+k)=60,k最大为最大为6,剩下剩下4颗颗,故选故选B.1.数列实际应用题常见的数学模型数列实际应用题常见的数学模型(1)复利公式复利公式.按按复复利利计计算算利利息息的的一一种种储储蓄蓄，本本金金为为a元元，每每期期利利率率为为r,存存期期为为x期期，则则本本利利和和y=.(2)单利公式单利公式.利利用用按按单单利利计计算算,本本金金为为a元元,每每期期利利率率为为r,存期为
6、存期为x,则本利和则本利和y=.a(1+r)xa+arx(3)产值模型产值模型.原原来来产产值值的的基基数数为为N，平平均均增增长长率率为为p，对于时间，对于时间x的总产值的总产值y=.(4)递推与猜证型递推与猜证型递递推推型型有有an+1=f(an)与与Sn+1=f(Sn)类类，猜猜证证型型主主要要是是写写出出前前若若干干项项，猜猜测测结结论论，并并根据题设条件加以证明根据题设条件加以证明.2.数数列列与与其其他他知知识识综综合合，主主要要有有数数列列与与不等式、数列与函数、数列与解析几何等不等式、数列与函数、数列与解析几何等N(1+p)x例例1题型一题型一 等差、等比数列的实际应用等差、等
7、比数列的实际应用 某某企企业业进进行行技技术术改改造造，有有两两种种方方案案，甲甲方方案案：一一次次性性贷贷款款10万万元元，第第一一年年便便可可获获利利1万万元元，以以后后每每年年比比前前一一年年增增加加30%的的利利润润；乙乙方方案案：每每年年贷贷款款1万万元元，第第一一年年可可获获利利1万万元元，以以后后每每年年比比前前一一年年增增加加5千千元元.两两种种方方案案的的使使用用期期都都是是10年年，到到期期一一次次性性归归还还本本息息.若若银银行行两两种种形形式式的的贷贷款款都都按按年年息息5%的的复复利利计计算算，试试比比较较两两种种方方案案中中，哪哪种种获获利利更更多多？(参参考考数数
8、据据：101010=57.665)甲方案是等比数列甲方案是等比数列,乙方案是等差数列乙方案是等差数列,甲方案获利：甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9 =42.63(万元万元)，银行贷款本息：银行贷款本息：10(1+5%)1016.29(万元万元)，故甲方案纯利：故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34(万元万元)，乙方案获利：乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5)=101+0.5=32.50(万元万元);银行本息和：银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9 =1.05 13.21(万元万元)，故乙方
9、案纯利：故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元万元);综上可知，甲方案更好综上可知，甲方案更好.这这是是一一道道比比较较简简单单的的数数列列应应用用问问题题，由由于于本本息息与与利利润润是是熟熟悉悉的的概概念念，因因此此只只建建立通项公式并运用所学过的公式求解立通项公式并运用所学过的公式求解.例例2题型二题型二 数列与平面向量等的综合数列与平面向量等的综合 已已知知点点A(1,0),B(0,1)和和互互不不相相同同的的点点列列P1,P2,P3,Pn,且满足且满足 =an +bn (nN*),其其中中an、bn分分别别为为等等差差数数列列和和等等比比数数列列，O为为坐坐标标原原点
10、，若点，若P1是线段是线段AB的中点的中点.(1)求求a1,b1的值；的值；(2)讨论讨论:点点P1，P2，P3，,Pn,是否共线是否共线.(1)因为因为P1是线段是线段AB的中点，的中点，所以所以 =+,又又 =a1 +b1 ,且且 ,不共线，不共线，由平面向量基本定理，知由平面向量基本定理，知a1=b1=.(2)由由 =an +bn (nN*)，得得 =(an,bn).设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q,则由于则由于P1,P2,P3,Pn,互不相同，互不相同，所以所以d=0,q=1不会同时成立不会同时成立.1若若d=0且且q1，则，则an=a1=(nN*)P1,P2,P3,
11、Pn,都在直线都在直线x=上；上；2若若q=1且且d0，则，则bn=为常数列为常数列P1,P2,P3,Pn,都在直线都在直线y=上；上；3若若d0且且q1，P1,P2,P3,Pn,共线共线 =(an-an-1,bn-bn-1)与与 =(an+1-an,bn+1-bn)共线共线(n1,nN*)(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0(bn+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,与与q1矛盾，矛盾，所以当所以当d0且且q1时时,P1,P2,P3,Pn,不共线不共线.本本题题是是数数列列与与平平面面向向量量综综合合的
12、的基基本本题题型型，以以平平面面向向量量共共线线为为载载体体构构造造数数列列递递推推关关系系或或等等式式，从从而而得得到到数数列列通通项项及及属属性性，使得问题得到解决使得问题得到解决.例例3题型三题型三 数列与算法的创新整合数列与算法的创新整合 读读下下列列算算法法，指指出出当当输输入入的的四四个个数数依次为依次为1,1,0,0时，输出的结果是什么？时，输出的结果是什么？S1：输入：输入a,b,c,n；S2：n=n+1；S3：a=2a；S4：b=b+2；S5：c=c+ab；S6：若：若c500，则转，则转S2；S7：输出：输出n，c.从从数数列列的的角角度度看看算算法法，则则S3可可以以看看
13、作作an+1=2an；S4可可以以看看作作bn+1=bn+2；S5可可以以看看作作cn+1=cn+anbn，输输入入的的四四个个数数依依次次为为1,1,0,0，即，即a0=1,b0=1,c0=0,n=0,故故an=2n，bn=2n+1,cn=a1b1+a2b2+anbn=32+522+723+(2n+1)2n.因为因为c1=32=6,c2=6+54=26,c3=26+78=82,c4=82+916=226,c5=226+1132=578500,执执 行行S7,故输出的结果是故输出的结果是5,578.数数列列中中的的递递推推关关系系与与算算法法中中的的循循环环结结构构简简直直就就是是“天天造造地
14、地设设的的一一对对”，同同学学们应重视们应重视.某某个个网网络络QQ群群体体中中有有n名名同同学学在在玩玩一一个个数数字字哈哈哈哈镜镜游游戏戏，这这些些同同学学依依次次编编号号为为1，2，n，且且在在哈哈哈哈镜镜中中，每每个个同同学学看看到到的的像像可可用用数数对对(p,q)(p0)的切线的切线ln，切点为，切点为Pn(xn,yn).(1)求数列求数列xn与与yn的通项公式；的通项公式；(2)证明证明:x1x3x5x2n-1 sin .曲线曲线Cn:(x-n)2+y2=n2是圆心为是圆心为(n,0),半径为半径为n的圆的圆,切线切线ln:y=kn(x+1).(1)依题意有依题意有 =n,解得解
15、得kn2=.又切点为又切点为(xn,yn),得得xn2-2nxn+yn2=0,yn=kn(xn+1),联立可解得联立可解得xn=,yn=.(2)证明：由证明：由(1)知，知，=,sin =sin .先证先证:x1x3x5x2n-1 .运用数学归纳法运用数学归纳法:当当n=1时时,x1=,命题成立命题成立;假设假设n=k时时,命题成立命题成立,即即x1x3x5x2k-1 ,则当则当n=k+1时时,x1x3x5x2k-1x2k+11,故故 =.所以所以,当当n=k+1时时,命题成立命题成立.故故x1x3x5x2n-1 成立成立.(另证：另证：x1x3x5x2n-1=.)下证：下证：sin .不妨设不妨设t=(0,.令令f(t)=t-sint,则则f(t)=1-cost0在在t(0,时恒成立时恒成立.故故f(t)=t-sint在在(0,上单调递减上单调递减,从而从而f(t)=t-sintf(0)=0,即即 sin .综上综上,x1x3x5x2n-1 sin 成立成立.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来