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1、楚水实验学校高一数学备课组数列的应用数列的应用2等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项求和求和a n+1 a n=da n =a 1+(n 1)da n =a 1 q n 1(a 1,q0)2)a n=a m+(n m)d2)a n=a m q n m知识回顾：知识回顾：就是将数学就是将数学结论转译成结论转译成实际问题的实际问题的结论。结论。就是对实际问题就是对实际问题的结论作出回答的结论作出回答实际问题实际问题数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解抽象概括抽象概括推推理理演演算算还原说明还原说明应以审题应以审题(即明确题意即明确题意)开始，通开始，通过分析
2、和抽象找出题设与结论的过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。数学关系，建立合理的数学模型。求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：示意图表示为：答答采用数学方法，采用数学方法，解决数学模型所解决数学模型所表达的数学问题。表达的数学问题。某房地产开发公司原计划每年比上年某房地产开发公司原计划每年比上年多建相同数量的住宅楼，三年共建住多建相同数量的住宅楼，三年共建住宅数宅数15栋，随房改政策出台及经济发栋，随房改政策出台及经济发展需要，实际上这连续三年分别比原展需要，实际上这连续三年分别比原来计划多建住宅楼来计划多建住宅楼1
3、栋、栋、3栋和栋和9栋，栋，结果使这三年建住宅楼的数量每年比结果使这三年建住宅楼的数量每年比上一年增长的百分率恰好相同，则该上一年增长的百分率恰好相同，则该房地产公司原计划第一年建住宅楼的房地产公司原计划第一年建住宅楼的栋数为栋数为 ()_ 问题问题、按复利计算利息的一种储蓄，、按复利计算利息的一种储蓄，本金为本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，设本利和，设本利和为为y,存期为存期为x，写出本利和，写出本利和y随随x变化变化的函数式。如果存入本金的函数式。如果存入本金10000元，元，每期利率每期利率2.25%，试计算，试计算5期后本利期后本利和是多少？和是多少？解：解：1期后：期后：y=
4、a(1+r)2期后：期后：y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2 x期后：期后：y=a(1+r)x当当a=10000,r=0.0225,x=5时，时，y=10000(1+0.0225)5 某公司投资某公司投资100万元，有两种获利可供万元，有两种获利可供选择，一种是年利率选择，一种是年利率10%，按单利计，按单利计算，算，5年后收回本金和利息；另一种是年后收回本金和利息；另一种是年利率年利率9%，按复利计算，按复利计算，5年后收回年后收回本金和利息，问哪种选择对该公司更本金和利息，问哪种选择对该公司更有利？有利？一个水池有若干出水相同的水龙头，一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有
5、的水龙头同时放水，那么如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的个水龙头放水时间的5倍，问最后倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？关闭的这个水龙头放水多少时间？解：解：设设每个水每个水龙头龙头放水放水时间时间依次依次为为x1,x2,xn,x1+x2+xn=24n;即即n(x1+xn)/2=
6、24n x1+xn=48,又又xn=5x1,xn=40.即最后一个水即最后一个水龙头龙头放水放水时间时间是是40分分钟钟。由已知由已知x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1,xn为等差数列，又每个水龙头每分钟为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是放水时间是1/(24n),某林场原有森林木材量为某林场原有森林木材量为a，木材，木材以每年以每年25%的增长速度增长，而的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为每年要砍伐的木材量为r,为使经过为使经过20年木材存量翻两番，求每年的年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量最大砍伐量x（取（取lg2=0.3)依题意：依题意：a 204x(11.2520)=4
7、a,又设又设y=1.2520lgy=20lg1.25=20(13lg2)=2 y=100,即即1.2520=100 x=8a/33.答：每年的最大砍伐量为答：每年的最大砍伐量为8a/33.解解:第一年存量：第一年存量：1.25ax;第二年存量：第二年存量：1.25(1.25ax)x =a 2x(1+1.25);第三年存量：第三年存量：1.25 a 2x(1+1.25)x =a 3x(1+1.25+1.252);第第20年末存量：年末存量：a 20 x(1+1.25+1.252+1.2519)=a 204x(11.2520)例例:某人从某人从2003年起年起,每年每年1月月1日到日到银行新存入银
8、行新存入a元元(一年定期一年定期),若年利率为若年利率为r保持不变保持不变,且每年到期存款均自动且每年到期存款均自动 转转为新为新 的一年定期的一年定期,到到2007年年1月月1日将所日将所有的存款及利息有的存款及利息全部取回全部取回,他可取回的他可取回的钱数为多少元钱数为多少元?每年利息按复利计算每年利息按复利计算（即上年利息要计入下年本金）。（即上年利息要计入下年本金）。解解:2003年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a2004年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)+a+a2006年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a 200
9、7年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)2007年可取钱数为:a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)2005年年1月月1日银行钱数为日银行钱数为:a(1+r)2+a(1+r)一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇相遇.美国老太太说美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子她住了一辈子的宽敞房子,也辛也辛苦了一辈子苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老而中国老太太却叹息地说太太却叹息地说,她三代同堂一辈子她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的昨天
10、刚把买房的钱攒足钱攒足.指出：指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁我国现代都市人的消费观念正在变迁花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物物,分期付款已深入我们生活分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？幽默故事幽默故事:随着住房制度改革的深入，个人购房渐成气随着住房制度改革的深入，个人购房渐成气候。居民如何挑选自己称心如意的住房，如何看目前的房候。居民如何挑选自己称心如意的住房，如何看目前的房地产市场？近日国家统计局经济景气
11、监测中心就此问题进地产市场？近日国家统计局经济景气监测中心就此问题进行了调查。结果显示，绝大多数人愿意采用分期付款的方行了调查。结果显示，绝大多数人愿意采用分期付款的方式购房。对于如何支付高额的购房费用，式购房。对于如何支付高额的购房费用，478的人希的人希望选择十年分期付款，望选择十年分期付款，254的人希望选择二十年分期的人希望选择二十年分期付款，付款，204的人希望选择一次付清。这说明多数人已的人希望选择一次付清。这说明多数人已经认可分期付款的购房方式，经认可分期付款的购房方式，“花明天的钱买今天的房花明天的钱买今天的房”，不仅会使大部分居民圆了住房梦，而且也会推动房地产，不仅会使大部分
12、居民圆了住房梦，而且也会推动房地产市场向前发展。市场向前发展。购买后购买后2个月第个月第1次付款次付款,再过再过2个月第个月第2次付次付款款购买后购买后12个月第个月第6次付款；次付款；购买后购买后1个月第个月第1次付款次付款,过过1个月第个月第2次付款次付款购买后购买后12个月第个月第12次付款；次付款；购买后购买后4个月第个月第1次付款次付款,再过再过4个月第个月第2次付次付款款,再过再过4个月第个月第3次付款。次付款。问题：问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除万元，除一次性付款方式外，商家还提供在一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部
13、年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案还清的前提下三种分期付款方案(月利率为月利率为1%)：你能帮他们参谋选择一下吗？你能帮他们参谋选择一下吗？解决问题的过程：解决问题的过程：1启迪思维，留有余地：启迪思维，留有余地：问题问题1 1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？问题问题2 2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分按各种方案付款每次需付款额分别是多少？别是多少？（显然不是，而会偏高显然
14、不是，而会偏高）（利息利息）（它等于各次付款额之和它等于各次付款额之和）设为设为x x。解决问题的过程：解决问题的过程：2搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=解决问题的过程：解决问题的过程：3独立探究方案：可将问题进一步分解为：1.商品售价增值到多少？2.各期所付款额的增值状况如何？方案12个月付个月付1次款次款方案21个月付个月付1次款次款方案34个月付个月付1次款次款3.当贷款全部付清时，电脑售价与
15、各期付款额有什么关系？解决问题的过程：解决问题的过程：4提出解答,并给答辩：由商品价格及售价增值=付款额及利息，得方案方案3:4个月付个月付1次款次款方案方案1:2个月付个月付1次款次款方案方案2:1个月付个月付1次款次款1785.86元元3607.62元方案类别付款次数付款方法每期所付款表达式每期付款付款总额16每隔2个月付款1次，付6次1785.861785.8610721.1610721.16212每月付款1次，付12次888.49888.4910661.8510661.8533每隔4个月付款1次，付3次3607.623607.6210822.8510822.85解决问题的过程：解决问题
16、的过程：5结论分析：结论分析：方案方案1中，中，x=元，付款总额元，付款总额6x=元；元；方案方案2中，中，x=元，付款总额元，付款总额12x=元；元；方案方案3中，中，x=元，付款总额元，付款总额3x=元。元。解决问题的过程：解决问题的过程：6创建数学模型：创建数学模型：比较以上方案结果，经过猜想得：比较以上方案结果，经过猜想得：分期付款购买售价为分期付款购买售价为a元的商品元的商品,分分n次经过次经过m个月还清贷款个月还清贷款,每月每月还款还款x元元,月利率为月利率为p,则则 方案方案3:4个月付个月付1次款次款方案方案1:2个月付个月付1次款次款方案方案2:1个月付个月付1次款次款某某人
17、人购购买买安安居居工工程程集集资资房房92m2，单单价价为为1000元元/m2，一一次次性性国国家家财财政政补补贴贴28800元元，单单位位补补贴贴14400元元，余余款款由由个个人人负负担担，房房地地产产开开发发公公司司对对教教师师实实行行分分期期付付款款，每每期期一一年年，等等额额付付款款，计计签签购购房房合合同同后后一一年年付付款款一一次次，再再经经过过一一年年又又付付款款一一次次，等等等等，共共付付10次次，10年年后后付付清清，如如果果按按年年利利率率7.5%，每每年年按按复复利利计计算算，那那么么每每年年应应付付款款多多少少元元？(计计算算结结果果精精确确到到百百元元，91.921，10，112.221)分期付款中的有关计算