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1、医用高等数学医用高等数学 教案教案 第四章多元函数微积分第四章多元函数微积分第一节第一节 多元函数多元函数第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值第五节第五节 二重积分二重积分10/30/20221第一节第一节 多元函数多元函数 一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续10/30/20222一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介1.右手法则右手法则2.点的坐标点的坐标 P(x,y,z)3.任意两点任意两点之间的之间的距离距离
2、P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)则则10/30/20223几类几类常见的方程常见的方程4.Ax+By+Cz+D=0(平面方程平面方程)(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=R 2(球面方程球面方程)x 2+y 2 =R 2(柱面方程柱面方程)z=x 2+y 2 (椭圆抛物面椭圆抛物面)z 2=x 2+y 2 (圆锥面圆锥面)见图见图 4-3见图见图 4-4见图见图 4-5见图见图 4-610/30/20224图形图形:球球面面方方程程柱柱面面方方程程椭椭圆圆抛抛物物面面圆圆锥锥面面10/30/20225二、多元函数的概念二、多元函数的概念定义定义4-1其中其中x、y
3、 称为称为自变量自变量,z 称为称为因变量因变量.函数值函数值 z0=f(x0,y0)在在 xOy 平面上使函数平面上使函数 f(x,y)有定义有定义的一切的一切点的集合点的集合叫做函数的叫做函数的定义域定义域.10/30/20226多元函数多元函数.(补充补充):邻域邻域类似地类似地可定义三元及三元以上函数可定义三元及三元以上函数10/30/20227补充补充例例求求 的定义域的定义域.解解所求定义域为所求定义域为10/30/20228二元函数二元函数 z=f(x,y)的图形的图形（如下页图）（如下页图）10/30/20229二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.10/3
4、0/202210例如例如,例如例如,图形如右图图形如右图.右下图球面右下图球面.单值分支单值分支:10/30/202211三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续1.二元函数的极限二元函数的极限定义定义4-2 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,P(x,y)是定义域内任是定义域内任一点一点,当点当点 P(x,y)以任何路径无限接近于点以任何路径无限接近于点 P0(x0,y0)时时,f(x,y)无限接近于一个无限接近于一个定数定数 A,则称则称 A 是函数是函数 f(x,y)当当 xx0、yy0 或或 P(x,y)P0(x0,y
5、0)时的时的极限极限,也称为也称为二重极限二重极限(double limit).记作记作10/30/202212说明说明:确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：(1)定义中定义中 P P0 的方式是任意的；的方式是任意的；(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似.10/30/202213补充补充例例证证又又当当 x0,y0 时时,10/30/202214例例4-9证证1o 当当(x,y)沿沿 x 轴趋于轴趋于(0,0)时时,2o 当当(x,y)沿直线沿直线 y=kx 趋于趋于(0,0)时时,f(x,y)=0;其值随其值随 k 值的不同而变化值的不同而
6、变化,故故 f(x,y)的的极限不存在极限不存在.10/30/202215补充补充例例:求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立10/30/202216补充补充例例:证证证明证明 不存在不存在.取取其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，故故 极限不存在极限不存在10/30/202217 观察观察不存在不存在.播放播放10/30/2022182.二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义4-3 如果二元函数如果二元函数 z=f(x,y)满足满足:(1)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义;(2)极限极限 存在存在;则称函数则称函数 z=f(x,y)在在点
7、点 P0(x0,y0)处处连续连续.如果函数如果函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内的内的每一每一点点上都连续上都连续,则称函数则称函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内内连续连续.函数的不连续点叫做函数的不连续点叫做间断点间断点.10/30/202219补充补充例例:讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性.解解取取其值随其值随k的不同而变化的不同而变化,极限不存在极限不存在.故故 函数在函数在(0,0)处不连续处不连续.10/30/202220多元初等函数：多元初等函数：由多元由多元多项式多项式及及基本初等基本初等函数经过函数经过有限次的四则运算有限次的四则运算和和复合复合
8、步骤所步骤所构成的可用构成的可用一个式子一个式子所表示的多元函数叫所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数.一切多元初等一切多元初等函数在其函数在其定义区域内定义区域内是是连续连续的的.定义区域定义区域是指包含在是指包含在定义域内定义域内的的区域区域或或闭区域闭区域10/30/202221 一般地一般地,补充补充例例:解解10/30/202222第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数三、高阶偏导数四、全微分四、全微分10/30/202223一、偏导数的概念一、偏导数的概念定义定义4-410/30/202
9、224记为记为:10/30/202225偏导函数偏导函数,常简称为常简称为偏导数偏导数10/30/202226偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 10/30/202227例例4-16证证原结论成立原结论成立10/30/202228例例4-18证证10/30/202229有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：(1)、(2)、例如例如求分界点、不连续点处的偏导数要求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；用定义求；解解10/30/202230(3)、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不
10、连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续.10/30/202231二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义如图如图10/30/202232几何意义几何意义:10/30/202233三、高阶偏导数三、高阶偏导数定义定义:纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导二阶二阶及及二阶以上二阶以上的偏导数统称为的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.10/30/202234补充补充例例解解10/30/202235定理定理4-1问题问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
11、件才相等？10/30/202236四、全微分四、全微分由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得10/30/202237全增量的概念全增量的概念10/30/202238全微分的定义全微分的定义10/30/202239习惯上习惯上,记全微分为记全微分为全微分的全微分的定义可推广定义可推广到三元及三元以上函数到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分通常我们把二元函数的全微分等于等于它它的的两个偏微分之和两个偏微分之和这件事称为二元函数的这件事称为二元函数的微分微分符合符合叠加原理叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况10/
12、30/202240例例解解所以所以10/30/202241补充补充例例解解所求全微分所求全微分10/30/202242可微的条件可微的条件:定理定理(1)（必要条件必要条件）10/30/202243说明说明：定理定理(2)（充分条件充分条件）多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，全微分存在，10/30/202244多元函数多元函数连续连续、可导可导、可微可微的的关系关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导10/30/202245第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法一、复合函数微分法一、复合函数微分法二、隐函数微分法二、
13、隐函数微分法10/30/202246一、复合函数微分法一、复合函数微分法定理定理4-2 设函数设函数 z=f(u,v)是变量是变量 u,v 的函数的函数,而而 u 和和 v 又是变量又是变量 x,y 的函数的函数,u=u(x,y),v=v(x,y),则则z=f u(x,y),v(x,y)是自变量是自变量x,y 的的二元复合函数二元复合函数.10/30/202247函数变量之间的复合关系图函数变量之间的复合关系图:10/30/202248类似地再类似地再推广推广:10/30/202249特例特例:10/30/202250上定理的结论可上定理的结论可推广推广到到中间变量多于两个中间变量多于两个的的
14、情况情况.全导数全导数.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为10/30/202251例例4-25解解10/30/202252补充补充例例分析分析 z 是以是以 x,y 为自变量为自变量,以以u,v 为中间变为中间变量的复合函数量的复合函数,其复合关系图示意如下其复合关系图示意如下:10/30/202253解解而而因此因此同理同理10/30/202254例例4-26分析分析证明证明:z 是以是以 x,y 为自变量的抽象函数为自变量的抽象函数.则则 z=f(u)是以是以 u 为中间变量为中间变量,x、y 为为自变量的复合函数自变量的复合函数,其复合关系图示意如其复合关系图示意如下下:10
15、/30/202255证证已知已知 f(u)为可微函数为可微函数,于是于是故故10/30/202256例例4-28 设设z=arctan(xy),而而 y=e x,解解10/30/202257特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似10/30/202258补充补充(例例4-25)-1解解10/30/202259多元函数多元函数(一阶一阶)微分形式不变性微分形式不变性全微分形式不变性的全微分形式不变性的实质实质:无论无论 z 是自变量是自变量 x、y 的函数或中间变量的函数或中间变量u、v 的函数，它的全微分的函数，它的全微分形式形式是是一样一样的的.10/30/20226
16、0二、隐函数微分法二、隐函数微分法(1)若若 F(x,y)=0,其中其中 y=f(x).由全导数公式由全导数公式:即即则有则有10/30/202261(2)F(x,y,z)=0,其中其中 z=f(x,y).则则10/30/202262例例4-30 求由方程求由方程 y xe y+x=0 所确定的所确定的 y 作为作为 x 的函数的导数的函数的导数.解解 令令得得10/30/202263例例4-31 求由方程求由方程 e z-xyz=0 所确定的函数所确定的函数 z 的偏导数的偏导数.解解令令 F(x,y,z)=e z-xyz,则则于是于是10/30/202264第四节第四节 多元函数的极值多元
17、函数的极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、条件极值二、条件极值10/30/202265一、二元函数的极值一、二元函数的极值播放播放10/30/202266定义定义4-6极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.二元函数极值的定义二元函数极值的定义10/30/202267补充例补充例:例例(3)(1)(2)(3)例例(1)例例(2)10/30/202268定理定理4-34-3 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)证证10/30/202269类似地可证类似地可证推广推广 10/30/202270驻点驻点.定理定理4-4(
18、极值存在的充分条件极值存在的充分条件)仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的时为零的点，均称为函数的驻点驻点极值点极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意:10/30/202271又又则则10/30/202272求函数求函数 z=f(x,y)极值的一般极值的一般步骤步骤:10/30/202273多元函数的多元函数的最值最值求求最值的一般最值的一般方法方法：将函数在将函数在 D D 内的内的所有驻点处所有驻点处的函数的函数值及在值及在 D D 的的边界上的边界上的最大值和最小值相最大值和最小值相互互比较比
19、较，其中，其中最大者最大者即为最大值，即为最大值，最小最小者者即为最小值即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函与一元函数相类似，我们可以利用函数的数的极值极值来来求求函数的函数的最大最大值和值和最小最小值值.10/30/202274例例4-32 求函数求函数 f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x 的极值的极值.解解解方程组解方程组得得驻点驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)10/30/202275列表讨论如下列表讨论如下:(x0,y0)ABCB2ACf(x0,y0)(1,0)120672极小值极小值 5(1,2)120672不是极值不是极值(-3,0)120
20、672不是极值不是极值(-3,2)120672极大值极大值 3110/30/202276例例4-33解解 显然显然,函数在圆周函数在圆周 x2+y2=1 上的值到处上的值到处是是为求驻点为求驻点,令令解得解得 x=0,y=0.这是函数在圆内的这是函数在圆内的唯一驻点唯一驻点,对应的函数值是对应的函数值是 f(0,0)=2 所以函数在点所以函数在点(0,0)处取得处取得最大值最大值 2.10/30/202277二、条件极值二、条件极值(注：此小节内容不讲注：此小节内容不讲,略略 )10/30/202278第五节第五节 二重积分二重积分一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质二、二重积分的
21、计算二、二重积分的计算10/30/202279一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.10/30/202280播放播放:播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示10/30/202281步骤如下：步骤如下：2.用若干个小平顶用若干个小平顶柱体体积之和近柱体体积之和近似表示曲顶柱体似表示曲顶柱体的体积的体积.1.先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域并取典型小
22、区域;曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积10/30/202282*求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量10/30/2022832.二重积分的概念二重积分的概念定义定义4-710/30/202284(续上页定义续上页定义)积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素10/30/202
23、285对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值10/30/202286直角坐标系中的面积元素直角坐标系中的面积元素 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为10/30/2022873.二重积分的性质二重积分的性质性质性质4-1性质性质4-2当当 为常数时为常数时，（二重
24、积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）10/30/202288性质性质4-3性质性质4-5对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质4-4 若若 为为D的面积，的面积，若在若在D上上特殊地特殊地则有则有10/30/202289性质性质4-6性质性质4-7（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）10/30/202290二、二重积分的计算二、二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.X型型10/30/202291(Y型)如果积分区
25、域为如果积分区域为:Y型型10/30/202292讨论讨论:应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得10/30/202293区域的特点区域的特点 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.10/
26、30/202294例例4-36解解由图知由图知,10/30/202295例例积分区域积分区域D由由 y=x+2,y=x,y=0,y=2 所围成的区域所围成的区域.解解由由 D 的图可知的图可知,10/30/202296例例4-38解法解法1 其中其中D是由双曲线是由双曲线 x y=1,直线直线 y=x 和和 y=2 所围成的区域所围成的区域.先积先积 y 后积后积 x.由图可知上曲线为由图可知上曲线为 y=2,下曲线下曲线是由是由 y=和和 y=x 共同构成的共同构成的,将将D分割分割成两个区域成两个区域 D1=(x,y)|y2,x1 D2=(x,y)|xy2,1x2 10/30/202297
27、(续上页解法续上页解法1)1)10/30/202298解法解法2先积先积 x 后积后积 y.由图可知右曲线由图可知右曲线 x右右=y,左曲线左曲线 x左左=,1 y210/30/202299例例4-39如如先对先对 y 后对后对 x 积分积分,其中其中D是由是由 y=x,y=1 与与 y 轴轴 所围成的区域所围成的区域.解解由图可知由图可知,上曲线为上曲线为 y上上=1,下曲线为下曲线为 y下下=x,于是于是由于函数由于函数 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,通常称通常称是积不出的是积不出的,因此二重积分因此二重积分化为化为先对先对 y 后对后对 x 的二次的二次积分积分,计算不出计算
28、不出.10/30/2022100考虑考虑先对先对 x 后对后对 y 的的积分积分,左曲线为左曲线为 x左左=0,右曲线为右曲线为 x右右=y,因此因此由图可知由图可知,10/30/2022101补充例补充例1解解 积分区域如图积分区域如图10/30/2022102补充例补充例2解解 积分区域如图积分区域如图10/30/2022103补充例补充例3解解原式原式10/30/2022104补充例补充例4解解10/30/20221052.极坐标系下的二重积分的计算极坐标系下的二重积分的计算10/30/2022106二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图10
29、/30/2022107区域特征如图区域特征如图10/30/2022108二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图10/30/2022109二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积区域特征如图区域特征如图10/30/2022110补例补例 1其中区域其中区域D=(x,y)|1x 2+y 2 4解解如图如图,积分区域积分区域D为为:12,02.10/30/2022111补例补例 2(x,y)|1x 2+y 2 9 且且 y x 解解如图如图,积分区域积分区域D为为:13,其中区域其中区域D=10
30、/30/2022112补例补例 3其中区域其中区域D=(x,y)|x 2+y 2 2x 解解如图如图,积分区域积分区域D为为:01,0 2.区域边界可用区域边界可用(x-1)2+y2=110/30/2022113补充例补充例1解解10/30/2022114补充补充解解10/30/2022115(续上页续上页)10/30/2022116(续上页续上页)10/30/2022117补充例补充例4解解10/30/2022118补充补充解解10/30/2022119补充补充解解10/30/2022120(续上页续上页)10/30/2022121二重积分的几何意义二重积分的几何意义为曲顶为曲顶,有界闭区域有界闭区域 D 为底的曲顶柱体的体积为底的曲顶柱体的体积其中其中 D 为柱体在为柱体在 xOy 平面上的投影平面上的投影.10/30/2022122补充补充例例7求球体求球体 x 2+y 2+z 2=R 2 的体积的体积.解解第一卦限第一卦限部分球面在部分球面在xOy 平面上的投影区域平面上的投影区域其曲顶柱体的方程其曲顶柱体的方程则则 球体的体积球体的体积作极坐标变换作极坐标变换:于是于是10/30/2022123