《高等数学微积分第4章第4节函数的极值与最值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学微积分第4章第4节函数的极值与最值.ppt（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第四节第四节 函数的极值与最值函数的极值与最值一一.函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数在点在点的某邻域内有定义的某邻域内有定义,如果对该邻域内的任意点如果对该邻域内的任意点总有总有则称则称是函数是函数的极大值的极大值,点点称为函数称为函数的极大值点的极大值点;如果对该邻域内的任意点如果对该邻域内的任意点总有总有则称则称是函数是函数点点称为函数称为函数的极小值点的极小值点.的极小值的极小值,(1)极大值、极小值统称为极值；极大值、极小值统称为极值；极大值点、极小值点统称为极值点；极大值点、极小值点统称为极值点；(2)极值是函数值极值是函数值,极值点是自变量的值极值点是自变量的值.(3)极
2、值是一个局部性概念极值是一个局部性概念.(4)只有区间内部的点才有可能成为只有区间内部的点才有可能成为极值点极值点.点点是函数是函数的极值点的必要的极值点的必要条件为条件为或者或者不存在不存在.证证设设在在处可导处可导,点点为函数为函数的极大值点的极大值点故故从而命题成立从而命题成立.定理定理4.7不存在不存在驻点驻点注注 一般来说圈中的一般来说圈中的点为有限多个点为有限多个.设函数设函数在点在点的某个空心邻域的某个空心邻域内可导内可导,且在且在处连续处连续.如果在点如果在点左邻域内有左邻域内有在点在点右邻域内有右邻域内有则则是是的极大值点的极大值点;如果在点如果在点左邻域内有左邻域内有在点在
3、点右邻域内有右邻域内有则则是是的极小值点的极小值点;如果在点如果在点的某个空心邻域内的某个空心邻域内,不变号不变号,则则不是不是的极值点的极值点.的的的的定理定理4.8例例1 求函数求函数的单调区间和极值的单调区间和极值.解解 定义域为定义域为令令得得另外另外时时不存在不存在不存在不存在极大值极大值极小值极小值设函数设函数在点在点的某个邻域的某个邻域内可导内可导,且且存在存在若若则则在点在点取得极大值取得极大值;若若则则在点在点取得极小值取得极小值.证证因因则在点则在点的某个空心邻域内的某个空心邻域内在点在点取得极大值取得极大值.定理定理4.9例例2求函数求函数的极值的极值.解解令令得得定义域
4、为定义域为故故在在处取得极小值处取得极小值建建 议议:1.如果可能的极值点只有导数等于零的点如果可能的极值点只有导数等于零的点,建议用定理建议用定理4.92.如果可能的极值点既有导数等于零的点如果可能的极值点既有导数等于零的点又有导数不存在的点又有导数不存在的点,建议用定理建议用定理4.8二二.函数的最值函数的最值1.闭区间闭区间上的连续函数上的连续函数求最值求最值.不存在不存在驻点驻点极值点极值点例例3求函数求函数上的最值上的最值.解解令令得得在在另外另外时时不存在不存在故最大值故最大值最小值最小值2.闭区间闭区间上的单调函数上的单调函数求最值求最值.3.例例4 要造一个容积为要造一个容积为
5、的无盖圆柱形桶的无盖圆柱形桶,其底用铝制造其底用铝制造,侧面用铁制造侧面用铁制造,已知铝已知铝与铁的单位面积价格比为与铁的单位面积价格比为问桶的底半径问桶的底半径与高与高各为多少时各为多少时,才能使桶的造价最低才能使桶的造价最低?解解设桶的造价为设桶的造价为设每平方米铁皮的价格为设每平方米铁皮的价格为则每平方米铝皮的价格为则每平方米铝皮的价格为则则令令得得又又故故是唯一极值点且为极小值点是唯一极值点且为极小值点,从而从而是最小值点是最小值点.此时此时例例5 某产品总成本某产品总成本(单位单位:万元万元)为年产量为年产量(单位单位:万元万元)的函数的函数其中其中为待定系数为待定系数,已知固定成本
6、为已知固定成本为4万元万元,且当年产量且当年产量百吨时百吨时,总成本总成本万元万元,问年产量多少时才能使平均单位成本问年产量多少时才能使平均单位成本最低最低.解解由由及及知知令令得得又又故故是唯一极值点且为极小值点是唯一极值点且为极小值点,从而是最小值点从而是最小值点.所以年产量为所以年产量为4百吨时百吨时,平均单位成本最低平均单位成本最低.例例6某厂生产某种产品某厂生产某种产品,年产量为年产量为(百台百台),总成本为总成本为(万元万元),其中固定成本为其中固定成本为2万元万元,每生产每生产1百台成本增加百台成本增加1万元万元,市场上每年市场上每年可销售此种商品可销售此种商品4百台百台,其销售
7、总收入其销售总收入是是的函数的函数问每年生产多少台时总利润最大问每年生产多少台时总利润最大?值是多少值是多少?解解令令得得又又故故是唯一极值点且为极大值点是唯一极值点且为极大值点,从而是最大值点从而是最大值点.所以所以解解 每年分每年分则则某工厂生产过程中每年需要一种零件某工厂生产过程中每年需要一种零件8000个个,分若干批进货分若干批进货,零件的消耗是均匀的零件的消耗是均匀的,例例7 每次进货费为每次进货费为已知每个零件每年已知每个零件每年的库存费为的库存费为4元元,如果如果问零件分几批进货问零件分几批进货,能使库存费与进货费最省能使库存费与进货费最省?批进货批进货,总费用为总费用为 则则令令得得又又故故是唯一极值点且为极小值点是唯一极值点且为极小值点,从而是最小值点从而是最小值点.所以所以利用最值证明不等式利用最值证明不等式例例8 设设且且证明证明证证 因因则则则则又又设设令令得唯一解得唯一解又又故故是唯一极值点且是极小值点是唯一极值点且是极小值点从而是最小值点从而是最小值点因此因此所以所以令令得唯一解得唯一解又又作业题作业题习题四习题四(A)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27.