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1、无穷小量无穷小量的比较 无穷大量1.定义极限为零的变量称为无穷小.一、无穷小例如,注:0 无穷小是变量,不能与很小的数混淆;0 零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小的运算性质:定理1.1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.定理1.3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小2.无穷小与函数极限的关系:证 必要性充分性例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限1.4.2 无穷小的
2、比较定义:例1解例2解常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,定理(等价无穷小替换定理)证等价无穷小代换例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4解解错例5解例6例71.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.小结思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答不能例当 时都是无穷小量但不存在故当 时绝对值无限增大的变量称为无穷大.1.4.3 无穷大量特殊情形：正无穷大，负无穷大注:0 无穷大是变量,
3、不能与很大的数混淆;0 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大无界，证定理5 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证三、无穷小与无穷大的关系意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.1、主要内容:两个定义;2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.小结A）无穷小；B）无穷大；C）有界但不是无穷小；D）无界但不是无穷大。选D.1.4.4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理证例如,注:函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.例7证二者不相等,