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1、第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法v一、一、问题的提出问题的提出v二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值v三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法v四、小结四、小结实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果
2、汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值1、定义、定义(1)(2)(3)例例1 1例例例例2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：解解求最值的一般方法求最值
3、的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值解解如图如图,解解 由由无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决
4、定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法先看最简单的情形求函数（目标函数（目标函数)在约束条件在约束条件（约束方程）（约束方程）分析一下函数分析一下函数在点在点下的条件极值，下的条件极值，取得条件极值取得条件极值的必
5、要条件。的必要条件。因为因为是条件极值点，所以有是条件极值点，所以有设函数设函数都在点都在点的某个邻域内具有的某个邻域内具有连续的偏导数，并且连续的偏导数，并且。由隐函数存在定理。由隐函数存在定理可知，方程可知，方程确定了一个具有连续导数的函数确定了一个具有连续导数的函数，把它代入目标函数后就得到，把它代入目标函数后就得到由于由于在在处取得条件极值，这就相当于求函数处取得条件极值，这就相当于求函数在在处取得极值，由一元可导函数取得极值处取得极值，由一元可导函数取得极值必要条件可知，必有必要条件可知，必有而由隐函数求导公式，有而由隐函数求导公式，有，将其代入上式，将其代入上式就得就得上两式就是函数上两式就是函数在点在点取得条件极值取得条件极值的必要条件的必要条件若记若记则上述必要条件就可写成则上述必要条件就可写成由以上分析结果，引入拉格朗日函数由以上分析结果，引入拉格朗日函数其中参数其中参数叫做拉格朗日乘子。叫做拉格朗日乘子。条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值解解则则多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案