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1、多元函数的极值ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望播放播放8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件多元函数的极值概念和极值的必要条件1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义例例1 1例例例例2 2、多元函数取得极值的必要条件、多元函数取得极值的必要条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点（或者临界点）驻点（或者临界点）.驻点驻点极值点极值点注意：
2、注意：且偏导存在且偏导存在8.8.2 极值的充分条件极值的充分条件极值可极值可疑点疑点 注注：对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按 极值定义判定之极值定义判定之.解解例例4 讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此为极小值为极小值.正正负负0在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 可能为可能为求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点及不可导点处的函数内的所有驻点及不可
3、导点处的函数值及在值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用多元函与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值数的极值来求多元函数的最大值和最小值.8.8.3.多元函数的最大值、最小值问题多元函数的最大值、最小值问题解解如图如图,解解 由由无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.例例7 用一块面积为用一块面积为 12 平方米的铁皮制作一个无盖的平方米的铁皮
4、制作一个无盖的长方体形状的水柜长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大水柜的容积最大?解：设水柜的长、宽、高分解：设水柜的长、宽、高分别为别为x，y，z，则则 xyz因此，长、宽、高分别为因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，最大容时容积最大，最大容积为积为4。条件极值条件极值：对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制实例实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到
5、最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质问题的实质：求：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点8.8.4 条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法一般地，求函数一般地，求函数 (目标函数目标函数),在条件在条件 (约束条件约束条件)下的极值问题称为下的极值问题称为条件极值问题条件极值问题.条件极值条件极值：对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 1 代入法代入
6、法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题例例:转转化化方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法1 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记故故 故有故有引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数L L称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数,极值点必满足极值点必满足则极值点满足则极值点满足:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 实数实数 称为称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数.则极值点满足则极值点满足:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形
7、个约束条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件推广推广:例例8 求函数求函数f(x,y)=x2+2y2在条件在条件x2+y2=1下的最值下的最值.解解目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：x2+y2=1例例9 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 z=x2+2y2 与平面与平面 3x+6y+2z=27 的交线上与的交线上与xOy平面的最短的距离平面的最短的距离.解解解解则则xyz解解可得可得由由数学数学模型模型(目标函数目标函数)(约束条件约束条件)多元函数的极值多元函数的极值求条件极值的拉格朗日乘数法求条件极值的拉格朗日乘数法（取得无条件极值的必要条件、充分条件）（取得无条件极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值小小 结结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案