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1、8.6 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 主要内容主要内容1、多元函数泰勒公式、多元函数泰勒公式2、多元函数的极值和最值、多元函数的极值和最值3、条件极值拉格朗日乘数法、条件极值拉格朗日乘数法 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：8.6 多元函数泰勒公式与极值多元函数泰勒公式与极值一、问题的提出一、问题的提出引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 利
2、用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx (*),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC )1(,),(!1),(! 21),(),
3、(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf )2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn公公式式)1(称称为为二二元元函函数数),(yxf在在点点),(00yx的的 n 阶阶泰泰勒勒公公式式, ,而而nR的的表表达达式式)2(称称为为拉拉格格朗朗日日型型余余项项. .定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且有有直直到到1 n阶阶的的连连续续偏偏导导数数, , ),(00kyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点, ,则则有有二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式 )
4、10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfnn)()(22khoRnn ),(00yxfykxh ),(002yxfykxh 一般地一般地,记号记号表示表示),(00yxfykxhm 00(,)0.mmppm pxypm pmpfh kxyC0000(,)(,),xyhfxykfxy22000000(,)2(,)(,),xxxyyyh fxyhkfxyk fxy )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由
5、)3(式式可可知知, ,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. .当当0 n时时, ,公公式式)1(成成为为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.推推论论 如如果果函函数数),(yxf的的偏偏导导数数),(yxfx, ,),(yxfy在在某某一一邻邻域域内内都都恒恒等等于于零零, ,则则函函数数),(yxf在在该该区区域域内内为为一一常常数数. .例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. .解解1( ,
6、)( , ),1xyfx yfx yxy,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p(0,0)(0,0)(0,0),xyxyfxfyfxyxy2222(0,0)(0,0)2(0,0)(0,0) () ,xxxyyyxyfx fxyfy fxyxy 332233(0,0)(0,0)3(0,0)3(0,0)(0,0)2() ,xxxxxyxyyyyyxyfxyx fx yfxy fy fxy又又0)0 , 0( f, ,故故,
7、)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR阶阶）展展开开成成泰泰勒勒公公式式（到到二二把把函函数数的的邻邻域域内内按按皮皮亚亚诺诺余余项项在在点点例例221),()0 , 0(2yxyxf )(),(),(2),(!21),(),(),(),(200002000000000022nyxyxxokyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxf 解解：1)0 , 0( f01)0 , 0()0,0(22 yxxfx0)0 , 0( yf1)1(1)0 , 0()0,0(232222 yxyfx1)
8、0 , 0(2 yf0)1()0 , 0()0,0(2322 yxxyfxy)(),(),(2),(!21),(),(),(),(2200002000000000022 okyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfyxyxx22222111( 1)()2!xyxyo 022 yx ykxh ,令令 特别的：二元函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx的的某邻域内有定义，对于该邻域内异于某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的的点点),(yx：若满足不等式：若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数在则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式有极大值；
9、若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、多元函数极值的定义、多元函数极值的定义 设设P P R Rn n, , 函数函数u=f(p)u=f(p)在在p p0 0的某邻域的某邻域U(pU(p0 0, , ) )内有内有定义，对任何定义，对任何p p U(p U(p0 0, , ), ), , , 都有都有f(p)f(pf(p)f(p)f(p0 0), ), 称称函数函数 u=f(p)u=f(p)在在p p0 0点有极小值。点有极小值。0pp(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz
10、例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. .使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0
11、xx 处有极大值处有极大值,例例, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的唯唯一一驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.注：注：1）极值点处的切平面平行于）极值点处的切平面平行于xoy平面；平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点如何判定驻点是否为极值点？如何判定驻点是否为极值点？注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，令，令: : Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极
12、值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值也可能没有极值求求函函数数z z= =f f( (x x, ,y y) )极极值值的的一一般般步步骤骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符
13、号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.在点在点（0 0，0 0）处，）处，A=B=C=A=B=C= - -2 2，B B2 2-AC=0-AC=0，此时应用极值定义判断此时应用极值定义判断 f(0,0)=0f(0,0)=0 是否为极值是否为极值对足够小的正数对足够小的正数 ，有，有 f(f( ，0)=0)= 2 2（ 2 2-1-1）0, 0 0这说明在点这说明在点（0 0，0 0）的任一邻域内，既有函数值大于）的任一邻域内，既有函数值大于f(0f(0, ,0)0)的点，又有函数值小于的点，又有函数值小于 f(0f(0，0)0)的点，故的点，故f(0f(0，0)0)非极值非极值. .求
14、最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值例例: : 求函数求函数 z=f(z=f(x,y)=xx,y)=x2 2+4y+4y2 2+9+9 在区域在区域 D D：x x2 2+y+y2 24 4 上的上的最大值最大值 M 和最小值和最小值 m. .解解 第一步，求第一步，求 f f 在域内的可能极值点的函数值为此解在域内的可能极值点的函
15、数值为此解: : f fx x( (x,y)=2xx,y)=2x=0=0，f fy y( (x,y)=x,y)=8 8y y=0=0，驻点，驻点(0,0), f(0,0)=9.(0,0), f(0,0)=9.第二步，求第二步，求 f f 在边界上的可能最值点的函数值在边界在边界上的可能最值点的函数值在边界 x x2 2+y+y2 2= =4 4 上，上，z=xz=x2 2+y+y2 2+3y+3y2 2+9=3y+9=3y2 2+13+13，2 2y y2 2， 令：令：06 ydydz, , 得得 y=0 y=0，z=13;z=13; y y= =2 2 时，时，z z=25=25 第三步，
16、比较以上两步所得各函数值，最大者为第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为最小者为m故故M=25=25，m=9=9解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxD在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx,
17、 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD(舍去舍去x1)例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由 x=y即即边边界界上上的的值值为为零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极
18、值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 张三有张三有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200
19、108 yx四、条件极值拉格朗日乘数法四、条件极值拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值, , ,x yx y解出其中就是可能的极值点的坐标.例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 2x=3y, y=2z例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切
20、平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF, 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件1220220220 czbyax下
21、求下求 V 的最小值的最小值,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu 由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 333abc当切点坐标为，时，1. 在椭圆在椭圆 上求一点，使其到直线上求一点，使其到直线4422 yx0632 yx的距离最短。的距离最短。解解 设设P(x，y)为椭圆为椭圆 上任意一点，则
22、上任意一点，则P到直线到直线4422 yx0632 yx的距离为的距离为13|632| yxd),44()632(131),(222 yxyxyxF 求求d 的最小值点即求的最小值点即求 的最小值点。作的最小值点。作2d由由Lagrange乘数法，令乘数法，令0, 0, 0 FyFxF得方程组得方程组 . 044, 08)632(136, 02)632(13422yxyyxxyx 解此方程组得解此方程组得53,58;53,582211 yxyx于是于是.1311,131),(),(2211 yxyxdd由问题的实际意义最短距离存在，因此由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求点。即为所求点
23、。 53,58 0440)83(22yxyx ),(zyx解：设点解：设点zd 则则)1543()1(),(22212 zyxyxzzyxF 设设32),(21 xzyxFx42),(21 yzyxFy52),(2 zzyxFz0 0 0 yx86 122 yx又又43,55xy 1285,123521 zz)1235,53,54(距离最短点距离最短点之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz3.3.解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:222
24、2( , , ), ,102261(22) )6P x y zx y zxyzdxyzdxyz本题实际为求一点，使得满足且使即最小),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,
25、41(思思 考考 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.4fxyztxyztC求函数在限制条件下的极值.:Lagrange解：作函数4( , , , , )()F x y z txyztxyztC 41111xyztFyztFxz
26、tyztxztxytxyzFxytFxyzxyztC 结合33241,( ,)1()( ,)2() .,( ,)0.xyztCC C C CCdFdxdydzdtyztdxxztdyxytdzxyzdtCC C C CFd Fdxdydydzdxdzdt dxdydzdx dy dz dtCxyztCC C C Cdxdydzdtdt 且，则点是可能的极值点.以下为判断过程：在点处 的二阶微分为：其中仍受限制两端微分，点处有即：22222();2()1 ()0( ,)4dxdydzd Fdxdydydzdxdzdt dxdydzCdxdydzdxdydzCfC C C CC 从而有因此，函数 在点达到极小值，极小值为