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1、一、多元函数的极值一、多元函数的极值一、多元函数的极值一、多元函数的极值1.1.二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值定义定义定义定义 1 1 设函数设函数设函数设函数 z z=f f(x x,y y)在点在点在点在点 (x x0 0,y y0 0)的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于如果对于该邻域内异于如果对于该邻域内异于如果对于该邻域内异于 (x x0 0,y y0 0)的点的点的点的点 (x x,y y)都有都有都有都有(或或或或 )，极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极大值和极小
2、值统称为极值极值极值极值.则称则称则称则称 f f(x x0 0,y y0 0)为函数为函数为函数为函数 f f(x x,y y)的的的的极大值极大值极大值极大值(minimal minimal extremumextremum)(或极小值或极小值或极小值或极小值maximal maximal extremumextremum).).设函数设函数设函数设函数 z z=f f(x x,y y )在点在点在点在点 P P0 0(x x0 0,y y0 0)的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数 极大值点和极小值极大值点和极小值极大值点和极小值极大值点和极小值点统称为点统称为点统称为点统称为极值点极值点极
3、值点极值点.称为极大值点称为极大值点称为极大值点称为极大值点(或极小值点或极小值点或极小值点或极小值点)，使函数取得使函数取得使函数取得使函数取得极大值的点极大值的点极大值的点极大值的点(或或或或极小值的点极小值的点极小值的点极小值的点)()(x x0 0,y y0 0)，定理定理定理定理 1 1(极值存在的必要条件极值存在的必要条件极值存在的必要条件极值存在的必要条件)且在点且在点且在点且在点 P P0 0 处有极值，处有极值，处有极值，处有极值，则在该点的偏导数必为则在该点的偏导数必为则在该点的偏导数必为则在该点的偏导数必为零，零，零，零，即即即即使得偏导数为使得偏导数为使得偏导数为使得偏
4、导数为 0 0 点称为函数的点称为函数的点称为函数的点称为函数的驻点驻点驻点驻点(stationary pointstationary point).存在，存在，存在，存在，例例1 1 函数函数处有极小值处有极小值在在例例函数函数处有极大值处有极大值在在处有极大值处有极大值在在例例例例3 3 3 3处无极值处无极值处无极值处无极值在在在在函数函数函数函数鞍点鞍点鞍点鞍点 saddle pointsaddle point 设设设设 P P0 0(x x0 0,y y0 0)是函数是函数是函数是函数 z z=f f (x x,y y)的驻点，的驻点，的驻点，的驻点，且函数在点且函数在点且函数在点且
5、函数在点 P P0 0 的某个邻域内二阶偏导数连续，的某个邻域内二阶偏导数连续，的某个邻域内二阶偏导数连续，的某个邻域内二阶偏导数连续，定理定理定理定理 2 2(极值存在的充分条件极值存在的充分条件极值存在的充分条件极值存在的充分条件)令令令令 则，则，则，则，(1 1)当当当当 0 0 且且且且 A A 0 0 时时时时,f f(x x0 0,y y0 0)是是是是极大值极大值极大值极大值，当当当当 0 0 0 时，时，时，时，f f(x x0 0,y y0 0)是是是是极小值极小值极小值极小值；也也可能可能没有极值没有极值.函数函数 f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)可能可能有极值，
6、有极值，(3)当当 =0 时，时，(2)当当 0 时，时，不是不是极值；极值；(1)(1)先先先先求偏导数求偏导数求偏导数求偏导数 (2)(2)解方程组解方程组解方程组解方程组求出驻点求出驻点求出驻点求出驻点；(3)(3)确定确定确定确定驻点处驻点处驻点处驻点处据此据此据此据此判断判断判断判断出极值点，出极值点，出极值点，出极值点，并求出极值并求出极值并求出极值并求出极值.若函数若函数若函数若函数 z z=f f(x x,y y)的二阶偏导数连续，的二阶偏导数连续，的二阶偏导数连续，的二阶偏导数连续，就可以就可以就可以就可以按照下列按照下列按照下列按照下列步骤步骤步骤步骤求该函数的极值：求该函
7、数的极值：求该函数的极值：求该函数的极值：及及及及 的的的的符号符号符号符号，的的的的值值值值例例4.4.求函数求函数求函数求函数解解:第一步第一步第一步第一步 求驻点求驻点求驻点求驻点.得驻点得驻点得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2):(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步第二步第二步 判别判别判别判别.在点在点在点在点(1,0)(1,0)处处处处为极小值为极小值为极小值为极小值;解方程组解方程组解方程组解方程组的极值的极值的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数求二阶偏导数求二阶偏导数在点在点在点在点(3 3,0),0)处处处处不是极值不是极值不
8、是极值不是极值;在点在点在点在点(3 3,2),2)处处处处为极大值为极大值为极大值为极大值.在点在点在点在点(1,2)(1,2)处处处处不是极值不是极值不是极值不是极值;20122012年考研数一年考研数一年考研数一年考研数一练习：求函数 的极值。先求驻点：先求驻点：先求驻点：先求驻点：得驻点得驻点得驻点得驻点x=x=e,ye,y=0.0.再确定再确定再确定再确定A A、B B、C C：最后确定取得极值情况最后确定取得极值情况最后确定取得极值情况最后确定取得极值情况：取得极大值取得极大值取得极大值取得极大值 .练习：练习：练习：练习：求函数求函数求函数求函数 的极值的极值的极值的极值.解解(
9、1 1)求偏导数求偏导数求偏导数求偏导数(2 2)解方程组解方程组解方程组解方程组 得得得得 (0,0)(0,0)及及及及 (2,(2,2).2).(3)列表判断极值点列表判断极值点.驻点驻点(x0,y0)(0,0)(2,2)结结 论论极大值极大值 f(0,0)=1 f(2,2)不是极值不是极值A4B22C+驻点（驻点（0,0）（2,2）.二、二、多元函数的最大值及最小值多元函数的最大值及最小值例例例例 5 5 使它到三点使它到三点使它到三点使它到三点 P P1 1(0,(0,0)0)、P P2 2(1,0)(1,0)、P P3 3(0,1)(0,1)距离的平方和为最小距离的平方和为最小距离的
10、平方和为最小距离的平方和为最小.解解解解 l l 为为为为 P P 到到到到 P P1 1、P P2 2、P P3 3 三三三三点距离的平方和，点距离的平方和，点距离的平方和，点距离的平方和，即即即即因为因为因为因为在在在在 x y x y 坐标面上找出一点坐标面上找出一点坐标面上找出一点坐标面上找出一点 P P，设设设设 P P(x x,y y)为所求之点，为所求之点，为所求之点，为所求之点，对对对对 x x ，y y 求偏导数，求偏导数，求偏导数，求偏导数，有有有有令令令令即即即即解方程组得驻点解方程组得驻点解方程组得驻点解方程组得驻点所以所以所以所以由问题的实际意义，由问题的实际意义，到
11、三点距离平方和最小的到三点距离平方和最小的点一定存在，点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，可微，又只有一个驻点，因此因此 即为所求之点即为所求之点.练习：练习：练习：练习：某工厂生产甲乙两种产品，出售单价分别为某工厂生产甲乙两种产品，出售单价分别为某工厂生产甲乙两种产品，出售单价分别为某工厂生产甲乙两种产品，出售单价分别为1010元元元元和和和和9 9元，生产元，生产元，生产元，生产x x单位的甲和单位的甲和单位的甲和单位的甲和y y单位的乙总成本单位的乙总成本单位的乙总成本单位的乙总成本C C(x x,y y)为为为为 400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)求两种产品应该如何
12、安排生产量，以使得总利润最大？求两种产品应该如何安排生产量，以使得总利润最大？求两种产品应该如何安排生产量，以使得总利润最大？求两种产品应该如何安排生产量，以使得总利润最大？解：解：解：解：设设设设P P(x x,y,y)为表示产品甲与乙分别生产为表示产品甲与乙分别生产为表示产品甲与乙分别生产为表示产品甲与乙分别生产x x与与与与y y单位时所得单位时所得单位时所得单位时所得的总利润因为总利润等于总收入减去总成本，所以的总利润因为总利润等于总收入减去总成本，所以的总利润因为总利润等于总收入减去总成本，所以的总利润因为总利润等于总收入减去总成本，所以P(x,y)=(10 x+9y)-400+2x
13、+3y+0.01(3x2+xy+3y2)=8x+6y-0.01(3x2+xy+3y2)-400由由由由 P Px x(x x,y y)=8)=80.01(60.01(6x x+y y)=0)=0 P Py y(x x,y y)=6)=6 0.01(0.01(x x+6+6y y)=0)=0 得驻点（得驻点（得驻点（得驻点（120,80120,80）再由再由再由再由 P Pxxxx(x x,y y)=)=0.060,0.060,P Pxyxy(x x,y y)=)=0.0100.010 P Pyyyy(x x,y y)=)=0.060 0.060 得得得得B B2 2 ACAC=(0.01)=(
14、0.01)2 2(0.06)0.06)2 200,0,y0)0)内取得。又函数内取得。又函数在在D内只有唯一的驻点，因此可断定当内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为时，时，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题极值问题极值问题无条件极值无条件极值无条件极值无条件极值:条条条条 件件件件 极极极极 值值值值 :条件极值的求法条件极值的求法条件极值的求法条件极值的求法:方法方法方法方法1 1 代入法代入法代入法代入法.求一元函数求一元函数求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题的无条件极值问
15、题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如例如例如 ,转转转转化化化化方法方法方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法如方法如方法 1 1 所述所述所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题的极值问题的极值问题
16、,极值点必满足极值点必满足极值点必满足极值点必满足设设设设 记记记记例如例如例如例如,故故故故 故有故有故有故有引入辅助函数引入辅助函数引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数F F 称为拉格朗日称为拉格朗日称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)函数函数函数函数.利用拉格利用拉格利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足极值点必满足极值点必满足则则则则极值点满足极值点满足极值点满足极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.可用下面步
17、骤来求：可用下面步骤来求：(1)构造辅助函数构造辅助函数(2)解联立方程组解联立方程组 在实际问题中，在实际问题中，往往就是所求的极值点往往就是所求的极值点.即即得可能的极值点得可能的极值点(x,y)，例例 6 6 将正数将正数12分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23=为最大为最大.解解解得唯一驻点解得唯一驻点)2,4,6(，则则故最大值为故最大值为 哪一个哪一个平面平面例例 9经过点经过点(1,1,1)的所有平面中，的所有平面中，在第一卦限与坐标面所围的立体的体积最小，在第一卦限与坐标面所围的立体的体积最小，并求此最小体积并求此最小体积.解解设所求平面方程为设所求平面方程为 所以该点所以该点坐标满足方程，坐标满足方程，因为平面过点因为平面过点(1,1,1)，即即 又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围立体的体积为立体的体积为 V，所以所以xyzabcO